第4章作业Word文档格式.docx

1、32.947.684.7利用上述数据，确定停车行驶距离随速度变化的函数关系，并估计使一辆以110km/h速度行驶的汽车停止下来需要行驶的距离。题目分析：停车距离=思考距离+刹车距离，根据题目中的数据，可得停车距离与速度的对应关系为：停车距离m10.620.832.147.464.3107.1在MATLAB中作出这6个点的散图%the scatter plotX=30 45 60 75 90 120; %the speedY=10.6 20.8 32.1 47.4 64.3 107.1; %the stopping distanceset（0,defaultfigurecolor,w）; %se

2、t the background color to whitescatter（x,y,*b）xlabel（Speed （km/h）ylabel（Stopping distance （m）hold on图形如下：下面分别使用插值法和拟合法两类方法对一辆以110km/h速度行驶的汽车停止下来需要行驶的距离作出预测。Lagrange插值法n次基本插值多项式为：Lagrange插值多项式取为基函数，令其权重系数为，则插值函数如下：本题中一共有6个点，故采用5次插值。MATLAB代码如下%Lagrange polynomialformat long %speed %stopping distancesy

3、ms la x;m=length（X）; %the number of known pointsla=sym（0）;for i=1:m temp=sym（Y（i）; for j=1: if j=i temp=temp*（x-X（j）/（X（i）-X（j）; end la=la+temp;endla=expand（la）;la=vpa（p,5）计算得到的插值函数为：将代入插值函数，得停车距离的估计值为88.7m。（该插值函数与五次多项式拟合结果相同）使用MATLAB作该函数的图像scatter（X,Y,ezplot（p,20 130）图像如下所示：分析：可以看到，该插值函数是在各个节点处是不太光

4、滑的，这不符合实际上的情况，在之后的三次样条插值法会对此作出改善。Newton插值法Newton插值法与Lagrange插值法计算结果是相同的，此处不再赘述，下面仅提供计算方法和MATLAB代码%Newton interpolation polynomialsyms fx x;f=zeros（m,m）;f（:,1）=Y;for i=2: for j=i: f（j,i）=（f（j,i-1）-f（j-1,i-1）/（X（j）-X（j-i+1）;p=f（1,1）; t=1;i-1 t=t*（x-X（j）; p=p+f（i,i）*t;p=expand（p）;p=vpa（p,5）三次样条差值设f（x）

5、是区间a, b上的一个二次连续可微函数。在区间上给定一组节点：，设函数：满足条件：（1） S（x）在区间a,b上存在二阶（m-1阶）的连续导数；（2） 每个子区间xi1,xi上Si（x）都是一个不高于3次（m次）的多项式；（3） 满足插值条件S（xi） = f （xi） ，i=0,n。则称S（x）为函数f（x）关于节点x0、x1、xn的三次（m次）样条插值函数，简称三次（m次）样条。由于三次样条曲线有连续的一阶和二阶导数，比较符合实际情况，因此主要采取三次样条插值。使用MATLAB内置函数csape，代码如下x=30 45 60 75 90 120;y=10.6 20.8 32.1 47.4

6、64.3 107.1;pp=csape（x,y,second） %use natural boundary conditionsco=pp.coefssyms ts1=co（1,1）*（t-30）3+co（1,2）*（t-30）2+co（1,3）*（t-30）+co（1,4）s2=co（2,1）*（t-45）3+co（2,2）*（t-45）2+co（2,3）*（t-45）+co（2,4）s3=co（3,1）*（t-60）3+co（3,2）*（t-60）2+co（3,3）*（t-60）+co（3,4）s4=co（4,1）*（t-75）3+co（4,2）*（t-75）2+co（4,3）*（t-75

7、）+co（4,4）s5=co（5,1）*（t-90）3+co（5,2）*（t-90）2+co（5,3）*（t-90）+co（5,4）最终解得样条函数为代入插值函数中，得停车距离的估计值为91.9m。使用MATLAB作该插值函数的图像：%Cubic Spline Interpolationt=20:0.01:130;plot（x,y,*,t,spline（x,y,t）线性拟合线性拟合的函数形式为，在本题中，自变量为速度，因变量为停车距离。根据最小二乘法的原理，拟合函数中各项系数的计算方法如下：此时系数矩阵为，%linear fitA=m sum（X）;sum（X） sum（X.2）;b=sum（

8、Y）;sum（X.*Y）;coe=Ab %the value of coefficient计算结果为，则线性拟合函数为代入该拟合函数中，得停车距离的估计值为89.8m。使用MATLAB作出该拟合函数的图像：fplot（-27.7900+1.0691*x,20 130）拟合的图形如下二次多项式拟合二次多项式拟合的函数形式为为，同样根据最小二乘原则，函数中各项系数的方程如下所示：利用MATLAB计算：%quadratic polynomial fitA=m sum（X） sum（X.2）;sum（X） sum（X.2） sum（X.3）;sum（X.2） sum（X.3） sum（X.4）;sum

9、（X.*Y）;sum（X.2.*Y）;可解得，则函数表达式为代入该拟合函数中，得停车距离的估计值为91.6m。-0.3650+0.1985*x+0.0058*x2三次多项式拟合原理同线性拟合和二次拟合，不再赘述，MATLAB代码如下：%cubic polynomialA=m sum（X） sum（X.2） sum（X.3）; sum（X） sum（X.2） sum（X.3） sum（X.4）; sum（X.2） sum（X.3） sum（X.4） sum（X.5）; sum（X.3） sum（X.4） sum（X.5） sum（X.6）;sum（X.2.*Y）;sum（X.3.*Y）;解得拟合

10、函数为代入该拟合函数中，得停车距离的估计值为82.8m。作出三次多项式拟合函数的图像：-2.3783+0.3011*x+0.0043*x2+0在三次多项式拟合中，求系数的方程组的系数方程组的系数矩阵（即MATLAB代码中的A）的谱条件数为2.005*1014，显然此时已经是病态方程组，当拟合次数更高时，谱条件数更大，方程组也更加地病态。从拟合的函数可以看到，最高次项的系数已经为0了；从图形中也可以看到，当x较大时，拟合曲线已经偏离了样本点，所以此时已经的拟合函数是没有意义的，或者说是不准确的。小结：各方法对速度为110km/h时的停车距离的估计值如下表所示：方法Lagrange/ Newton

11、插值法三次样条插值法估值88.791.989.891.682.8首先，三次多项式拟合及更高次数的多项式拟合是显然不合适的，前文已有说明，所以显然不能采用该方法。对于本问题，由于对思考距离、停车距离的测量计算在实际操作中显然是有较大的误差的，而插值法将所取的测量值当做精确值来计算，保留了全部误差，所以结果可能有较大误差。而拟合法的主要思想是逼近测量数据，使各数据点从总体上最贴近，不要求拟合曲线通过数据点，所以能够在一定程度上消除误差，得到更加客观的结果。线性拟合和二次多项式拟合的图像如下所示，可以看出，二次拟合的函数曲线与数据点更为贴近，所以在本题中认为二次多项式拟合的估计结果91.6m为最佳估计值。