高中数学:向量法解立体几何总结.doc
《高中数学:向量法解立体几何总结.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学:向量法解立体几何总结.doc(3页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
向量法解立体几何
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴.直线的方向向量:
若A、B是直线上的任意两点,则为直线的一个方向向量;与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
⑵.平面的法向量:
若向量所在直线垂直于平面,则称这个向量垂直于平面,记作,如果,那么向量叫做平面的法向量.
⑶.平面的法向量的求法(待定系数法):
①建立适当的坐标系.
②设平面的法向量为.
③求出平面内两个不共线向量的坐标.
④根据法向量定义建立方程组.
⑤解方程组,取其中一组解,即得平面的法向量.
2、用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行。
设直线的方向向量分别是,则要证明∥,只需证明∥,即.
⑵线面平行。
设直线的方向向量是,平面的法向量是,则要证明∥,只需证明,即.
⑶面面平行。
若平面的法向量为,平面的法向量为,要证∥,只需证∥,即证.
3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直。
设直线的方向向量分别是,则要证明,只需证明,即.
⑵线面垂直
①(法一)设直线的方向向量是,平面的法向量是,则要证明,只需证明∥,即.
②(法二)设直线的方向向量是,平面内的两个相交向量分别为,若
⑶面面垂直。
若平面的法向量为,平面的法向量为,要证,只需证,即证.
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则
⑵求直线和平面所成的角
求法:
设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,与的夹角为, 则为的余角或的补角
的余角.即有:
⑶求二面角
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O,分别在两个半平面内作射线,则为二面角的平面角.
O
A
B
O
A
B
l
如图:
求法:
设二面角的两个半平面的法向量分别为,再设的夹角为,二面角的平面角为,则二面角为的夹角或其补角
根据具体图形确定是锐角或是钝角:
如果是锐角,则,即;
如果是钝角,则,即.
5、利用法向量求空间距离
⑴点Q到直线距离
若Q为直线外的一点,在直线上,为直线的方向向量,=,则点Q到直线距离为
⑵点A到平面的距离
若点P为平面外一点,点M为平面内任一点,平面的法向量为,则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.
即
⑶直线与平面之间的距离
当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等。
由此可知,直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离。
即
⑷两平行平面之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。
即
⑸异面直线间的距离
设向量与两异面直线都垂直,则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。
即