高中数学必修5常考题型：数列求和(复习课).doc

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数列求和（复习课）

【知识梳理】

1．公式法（分组求和法）

如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合 而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．

2．裂项求和法

对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：

①＝·（－）；

②若{an}为等差数列，公差为d，

则＝（－）；

③＝－等．

3．错位相减法

若数列{an}为等差数列，数列{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{anbn}的各项乘以公比q，然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．

4．倒序相加法

如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加求和法．

【常考题型】

题型一、分组转化法求和

【例1】　已知数列{cn}：

1，2，3，…，试求{cn}的前n项和．

[解]　令{cn}的前n项和为Sn，

则Sn＝1＋2＋3＋…＋

＝（1＋2＋3＋…＋n）＋

＝＋

＝＋1－n.

即数列{cn}的前n项和为Sn＝＋1－n.

【类题通法】

当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列，那么就可以用分组求和法，即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和．

【对点训练】

1．求和：

Sn＝3＋33＋333＋…＋.

解：

数列3,33,333，…，的通项公式

an＝（10n－1）．

∴Sn＝（10－1）＋（102－1）＋…＋（10n－1）

＝（10＋102＋…＋10n）－

＝×－

＝（10n－1）－.

题型二、错位相减法求和

【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.

（1）求an，bn；

（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.

[解]

（1）由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，

所以an＝4n－1，n∈N*.

由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.

（2）由

（1）知an·bn＝（4n－1）·2n－1，n∈N*，

所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋（4n－1）·2n－1,2Tn＝3×2＋7×22＋…＋（4n－5）·2n－1＋（4n－1）·2n，

所以2Tn－Tn＝（4n－1）2n－[3＋4（2＋22＋…＋2n－1）]＝（4n－5）2n＋5.

故Tn＝（4n－5）2n＋5，n∈N*.

【类题通法】

如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．

在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．

【对点训练】

2．已知an＝，求数列{an}的前n项和Sn.

解：

Sn＝＋＋＋…＋＋，

Sn＝＋＋…＋＋，

两式相减得Sn＝＋＋＋…＋－

＝－＝－－，

∴Sn＝－－＝－.

题型三、裂项相消法求和

【例3】　已知等差数列{an}满足：

a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.

（1）求an及Sn；

（2）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn.

[解]

（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

由于a3＝7，a5＋a7＝26，

∴a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，

解得a1＝3，d＝2.

由于an＝a1＋（n－1）d，Sn＝，

∴an＝2n＋1，Sn＝n（n＋2）．

（2）∵an＝2n＋1，

∴a－1＝4n（n＋1），

因此bn＝＝.

故Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝

＝

＝.

∴数列{bn}的前n项和Tn＝.

【类题通法】

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合使之能消去一些项，最终达到求和的目的．利用裂项法的关键是分析数列的通项，考察是否能分解成两项的差，这两项一定要是同一数列相邻（相间）的两项，即这两项的结论应一致．

【对点训练】

3．在数列{an}中，an＝＋＋…＋，且bn＝，求数列{bn}的前n项的和．

解：

an＝（1＋2＋…＋n）＝，

∵bn＝，

∴bn＝＝8（－），

∴数列{bn}的前n项和为

Sn＝8[（1－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）]＝8（1－）＝.

【练习反馈】

1．已知an＝（－1）n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是（　　）

A．1,1　　　　　 B．－1，－1

C．1,0 D．－1,0

解析：

选D　S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，

S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.

2．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为（　　）

A. B.

C. D.

解析：

选B　依题意bn＝＝＝＝－，所以{bn}的前10项和为S10＝＋＋＋…＋＝－＝，故选B.

3．求和：

Sn＝1＋＋＋1＋＋＋＋…＋＝________.

解析：

被求和式的第k项为：

ak＝1＋＋＋…＋＝＝2.

所以Sn＝2

＝2

＝2

＝2

＝2n＋－2.

答案：

2n＋－2

4．已知数列{an}的通项公式an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于________．

解析：

an＝＝1－

∴Sn＝n－＝n－1＋＝＝5＋，

∴n＝6.

答案：

6

5．已知等比数列{an}中，a2＝8，a5＝512.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.

解：

（1）＝＝64＝q3，

∴q＝4.

∴an＝a2·4n－2＝8×4n－2＝22n－1.

（2）由bn＝nan＝n×22n－1知Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1①，

从而22×Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1②，

①－②得（1－22）×Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n×22n＋1，即Sn＝[（3n－1）22n＋1＋2]．