高中数学复习系列---柯西不等式.doc

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高中数学复习系列---不等式（柯西不等式）

【柯西不等式的主要内容】

1.柯西主要贡献简介：

柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家.他奠定了数学分析的理论基础.数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.

2.二维形式的柯西不等式：

若，则当且仅当时,等号成立.

变式10.若，则或；

变式20.若，则；

变式30.（三角形不等式）设为任意实数，则：

3.一般形式的柯西不等式：

设为大于1的自然数，（1,2,…,），则：

.当且仅当时,等号成立.

（若时，约定，1,2,…,）.

变式10.设则：

.当且仅当时,等号成立.变式20.设则：

.当且仅当时,等号成立.

如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要.而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系.所以,它的重要性是不容置疑的！

☆柯西不等式的应用：

例1.已知实数满足，.试求的最值

例2在实数集内解方程

例3设是三角形内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，

证明：

例4（证明恒等式）已知求证：

。

例5（证明不等式）设求证:

【同步训练】

1.已知，求证：

2.已知是不全相等的正数，求证：

3.已知.

4.设求证：

5.已知实数满足,求的取值范围.

6.已知且求证：

7.已知正数满足证明

8.若n是不小于2的正整数，试证：

。

参考答案:

一般形式的柯西不等式：

设为大于1的自然数，（1,2,…,），则：

，

其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1,2,…,）.

等号成立当且仅当柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的

不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便

地解决一些中学数学中的有关问题。

例1解：

由柯西不等式得，有

即由条件可得，

解得，当且仅当时等号成立，

代入时，

时

例2解：

由柯西不等式，得

①

又.

即不等式①中只有等号成立.

从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

它与联立，可得

例3证明：

由柯西不等式得，

记为的面积，则

故不等式成立。

例4证明：

由柯西不等式，得

当且仅当时，上式取等号，

于是。

例5分析：

这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：

证明：

为了运用柯西不等式，我们将写成

于是

即

故

我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：

不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。

练习

1．证：

∴

∴

2、

3．

4、

5．

6．

7．证明：

利用柯西不等式

又因为在此不等式两边同乘以2，再加上

得：

故

9、证明：

证明：

所以求证式等价于

由柯西不等式有

于是：

又由柯西不等式有

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