高中数学不等式初步.docx
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高中数学不等式初步
不等式基础必备
一、基本不等式的公式
1、均值定理：
（当且仅当
时取等号）
注解：
平方平均值：
；
算术平均值：
；
几何平均值：
；
调和平均值：
，即：
其中，
例如：
，
，求
、
、
、
，并比较它们的大小.
解：
；
；
；
可见：
有
从大到小的顺序是：
平方算术，几何调和
2、指数不等式：
（当且仅当
时取等号）
注解：
由于要求不等式右边
，故：
记忆方法见函数图.
曲线
在
区间都处在直线
的上方，仅在
处相切.即：
，当且仅当
时取等号.
例如：
时，左边
，右边
故：
3、对数不等式：
（当且仅当
时取等号）
注解：
由于0和负数没有对数，所以：
记忆方法见函数图.
曲线
在
区间都处在直线
的下方，仅在
处相切.即：
，
当且仅当
时取等号
也可以由
得：
两边取对数：
，即：
例如：
时，左边
，右边
，故：
著名的对数不等式是：
（
）
4、柯西不等式：
（当且仅当
时取等号）
注解：
设向量
，向量
，
其中：
为
在正交系中的各分量；
为
正交系中的各分量.
则
，
，
由向量公式：
得：
两边自乘得：
将上面的结果代入得：
这正是柯西不等式.
例如：
，
，
，
则：
，
，
；
，
，
；
；
，
，
.
故：
5、琴生不等式：
注解：
设在
区间
为上凸函数，如图
即
的二次导数
，
则：
图中，
点为均值的函数值，
点为函数的均值.
即：
对于上凸函数，函数的均值不大于均值的函数值.
设在
区间
为下凸函数，如图
即
的二次导数
，
则：
图中，
点为均值的函数值，
点为函数的均值.
即：
对于下凸函数，函数的均值不小于均值的函数值.
上面的
式，称为琴生不等式.
例如：
对于函数
，在
区间为上凸函数，
因为
，
（
）
故：
在
区间为上凸函数.
此时，
，
，则
，
，即：
；
而
.故：
例如：
二次函数
因为
，
所以
下凸函数.
在
区间有：
，
，
即：
，
故：
其实，在
区间，都满足
推广为一般形式
对于
的上凸函数，即:
，有：
（
）
对于
的下凸函数，即:
，有：
（
）
这就是琴生不等式.
注意不等号的方向与二次导数的方向一致.
6、伯努利不等式：
（
）
注解：
由二项式定理得：
在
时，
，即：
（仅当
时取等号）
例如：
当
，
时，左边
，右边
故：
7、向量不等式：
向量三角形：
和
向量点乘：
注解：
由
，
，
构成的三角形，由三角形两边之和大于第三边得.
由
，
，
构成的三角形，由三角形两边之差小于第三边得；
由向量积的公式得：
，即：
；
若
，
，则：
上面这几种基本不等式的简单记忆方法：
均值定理四兄弟，对数指数俩伴侣；
柯西琴生伯努利，向量三角点乘积.
上述不等式的解法统称“公式法”.凡解证不等式，首先考虑用上述的不等式，能使用的尽量使用.不能直接使用的，但经过变形后能使用的，也要尽量使用，即尽一切可能使用上述不等式.
二、求不等式的基本方法
1、作差法：
将比较的两对象相减后，其差与0比较大小的方法.
注解：
最常用的是构建函数法.例如，证明
，则构建
2、作商法：
将比较的两正数对象相比后，其商与1比较大小的方法.
注解：
例如，
，
，证明
.将其变形为
与1比大小.
3、公式法：
用前面不等式的公式得到结果的方法.
注解：
即均值定理、柯西不等式等.
4、单调性法：
利用函数在某区间的单调性得出大小的方法.
注解：
例如，函数
在区间
单调递增，则有：
，
.
5、放缩法：
由等式的一边经过放大或缩小将等式变为不等式；或者大者变得更大，小者变得更小；从而使问题得到解决的方法.
注解：
例如，
，原本
，将右边减小变为
式就是放缩法的结果.
6、判别式法：
如果一个二次函数过零点，即在零点存在二次方程的解，那么二次方程有解的条件是：
判别式
.这里就自然出现了不等式.
注解：
本方法用于处理二次函数时，包括二次函数的分式.
7、换元法：
将一个整式、分式或根式整体看做一个量进行处理的方法，主要是简化.
注解：
特别是三角换元法.因为三角函数本身有界，所以自然就有不等式.此法要求常用的三角恒等式必须熟悉.
8、裂项相消法：
将一项式子分裂成两项或多项，在求和过程中有部分项相互抵消，从而得到简明结果的方法.
注解：
例如，在放缩法中的
式，进一步得：
这样，如果是求和
，则可得结果：
其中的
是裂项.
在求和过程中，好多项相互抵消
9、倒序相加法：
将一个多项求和的式子的一个正序列和一个倒序列按序相加的方法.
注解：
例如，求
.其倒序后为：
.
这两个式子按序相加后得：
其中，每个圆括号内的值都是
，共有
项.
故结果是：
，即：
10、极值法（最值法）：
求出函数
在某个区间的极值，加上边界值找出最值，那么函数的最值就是出现不等式的方法.
注解：
函数
在
区间的最大值是8，则有
11、积分法：
积分实际上是求和，是简化求和运算的一种方法.如果函数是单调的，函数的每一小区间内就会出现不等号，求和后依然存在不等号.
注解：
积分法最好要画出简明图，可以看出单调性和不等的量.
上面这几种求不等式的基本方法简单记忆：
作差与0比大小，作商与1比高下；
套用公式得结果，单调放缩有小大；
二次函数过零点，判别式与换元法；
倒序相加来求和，裂项相消去简化；
极值最值亦可得，单调积分好方法.
[例题]已知：
，
，
，求证：
证明：
用均值定理：
即：
同理：
由
两式相加得：
即：
即：
，即：
即：
用琴生不等式
构建函数：
（
）
则：
，
代入琴生不等式
得：
权方和不等式（超纲）
权方和不等式：
若（
，
，
或
）
则：
这就是权方和不等式.
本题：
[例题]不等式
的解集为（）.
解析：
首先将区间按绝对值内各项变号点来分段.
绝对值
内的变号点为
，即：
绝对值
内的变号点为
，即：
于是，整个实数区间被这两个点分成了
段，即：
，
，
在
区间：
，
，
即：
，
，
代入
得：
，
即：
，即：
，即：
满足区间
要求，故：
在
区间：
，
，
即：
，
代入
得：
，
即：
.不满足不等式区间要求，即本区间无解.
在
区间：
，
，
代入
得：
，
即：
，即：
，即：
满足区间
要求，故：
综上，本题的解集为
.本题答案
.
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