高中数学不等式性质平均不等式.docx
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高中数学不等式性质平均不等式
一.实数集的有关知识
2°两实数的运算性质
3°比较实数的大小的法则
实数与数集上的点是一一对应的。
定义：
应用：
可以比较实数的大小，即判断差即可。
二.不等式的性质
定理1.
证明：
定理2.
证明：
定理3.
证明：
推论1.
推论2.
推论3.
定理4.
证明：
推论1.
推论2.
推论3.
定理5.
证明：
（反证法）
三.算术平均数与几何平均数
1.结论：
（当且仅当a=b时取“等号”）
证明：
当且仅当a=b时取“=”
2.定理1.
（当且仅当a=b时取“=”）
证明：
故定理可表述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
证法二：
以a+b长的线段为直径作圆，在直径AB上取一点C，使AC=a，CB=b，过C作垂直于AB的弦DD′，连AD、DB
故定理可表述为：
（几何意义：
半径不小于半弦。
）
则定理可表述为：
两个正数的等差中项、不小于它们的等比中项。
4.定理推广：
（当且仅当a=b=c时取等号）
结论：
（当且仅当a=b=c时取“=”）
证明：
另证：
当a=b时取“=”
同理：
以上结论得：
推广：
［例题选讲］
例1.
分析：
比较两个实数的大小，可以用作差法，依据就是教材中方框内的三个等价关系。
也可以先恒等变形，然后进行比较。
解：
小结：
两个实数比较大小，常用作差法，或通过变形后进行比较；有时也可利用数轴来比较，直观而简明。
例2.
分析：
分别展开后即可看出，比较这两式的大小，实质上只要比较2a1b1a2b2与a12b22+a22b12的大小，而这两式作差后即为完全平方式，从而可得结论。
解：
小结：
作差比较时，常用公式法，配方法，因式分解法等，这样做便于判断差的符号。
例3.
分析：
观察两式的结构特征，可以先作差，再配方，然后判断。
解：
小结：
对于比较复杂的式子在应用作差、配方法时，注意运用换元法和整体思想，如本题把x2+y2、xy分别看做两个数处理则十分简捷，但若把两式直接展开，就会十分繁琐，也难以配方。
例4.
分析：
这类问题的求解，除利用不等式性质外，还可用中间值法，即在要比较大小的两数之间插入一数作为中间值，通过比较两数与中间值的大小，确定原来两数的大小。
常用作中间值的有0，±1等。
解：
小结：
是很有用的。
例5.
分析：
此时用作差比较法难以奏效，注意到分子有理化后，两式的分子均为1，这样转化为比较分母的大小就可化难为易了。
解：
小结：
对于类似的根式比较大小的问题，常考虑用分子有理化的方法。
例6.
（1）求证：
1-a>a2；
（2）比较A、B、C、D的大小。
分析：
又易知A、B、C、D均大于零，故可用作差法，也可用作商法比较大小。
解：
显然D>0，
故B小结：
在解答
（2）时，利用
（1）的结论可简化解题过程。
例7.
分析：
若从左边出发，则根据本节定理有
。
三式相加可证。
若从右边出发，
证明：
∵a、b、c都是正数，
小结：
与本题类似的问题还有很多，像这种关于三个字母轮换对称的不等式，常用先两两比较，再把所得的几个同向不等式相加的方法求解。
例8.
分析：
的最小值，事实上只要求x+y的最小值。
利用本节例1“积为定值，和有最小值”即可求得最值。
解：
小结：
应用平均值定理求最值时，不能只注意结果而忽视了定理成立的条件。
例9.
分析：
像这样的不等式要拆成两个不等式分别证明。
具体说来，可先展开
证明：
小结：
这组不等式提供了三实数和的平方、平方的和以及两两乘积之和的大小关系，在解题中十分有用。
另有两实数和的平方、平方和以及乘积之间的大小关系是
例10.
解法一：
解法二：
解法三：
小结：
这是一道灵活性较强且易出错的试题，有同学用连续两次均值不等式求解其错误在于两次取“=”的条件不同。
【模拟试题】
1.已知：
，下面结论正确的是（）
A.B.
C.D.
2.下列命题中正确的是（）
A.函数的最小值为2
B.函数的最小值为2
C.函数的最大值为
D.函数的最小值为
3.若______________。
4.若，则一定成立的不等式是（）
A.
B.
C.
D.
5.设，且（）
A.
B.
C.
D.
6.不等式能同时成立的充要条件是（）
A.
B.
C.
D.
7.若中最大的是（）
A.B.C.D.
8.已知则下列不等式恒成立的是（）
A.B.
C.D.
9.，下列命题中正确的是（）
A.若
B.若
C.若
D.若
10.设，试比较的大小。
11.已知，试求的取值范围。
【试题答案】
1.解析：
用特例法，取a=2，b=3，m=1，只有A正确。
答案：
A
2.解析：
当
答案：
C
3.答案：
4.解析：
当c=0时，A不成立；
答案；C
5.解法一：
举反例否定A、B、C有误。
解法二：
答案：
D
6.解析：
答案：
B。
7.解析：
，
答案：
B。
8.解析：
答案：
C
9.解析：
答案：
C
10.解：
（的正负取决于与1的大小关系，故需分以下三种情况讨论）
（1）当时，
11.解：
解得
评述：
解此类题常见的错误是：
依题意得
用
（1）
（2）进行加减消元，得
由
其错误原因在于由
（1）
（2）得（3）时，不是等价变形。
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