等差数列前n项和的最值求解方法.doc

等差数列前n项和的最值求解方法.doc

《等差数列前n项和的最值求解方法.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等差数列前n项和的最值求解方法.doc（3页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

等差数列前n项和的最值求解方法

例1设等差数列{}的前n项和为，已知=12，>0,,

（1）求公差d的取值范围；

（2）指出，，…，中哪一个值最大，并说明理由.

解析

（1）由=12，得：

+2d=12,即=12-2d,

由>0，得：

12+，所以d>-,

由,得：

13+，所以d<-3,

因此，d的取值范围为（-,-3）.

（2）解法一：

=12-2d+（n-1）d

=12+（n-3）d

令，得：

n<3-,

由

（1）知：

所以，，

又,故由等差数列的单调性可知：

当时，；

当n>6时，，因此，最大.

解法二：

由题意可得：

=n+=n（12-2d）+

=

显然d0,是关于自变量n的二次函数，

由

（1）知：

d<0,

二次函数的图像抛物线的对称轴为n=,

由

（1）知：

，

所以6<<,

又因为n,

故当n=6时，最大，

即最大.

例2已知等差数列{},,=.若，求数列{}的前n项和的最小值.

分析：

①由与的关系，可写出之间的关系，两式作差，即可得出与间的关系；

②{}的前n项和最小，估计{}的前n项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最小.

解=-=-，

即8=（+2-（+2，

所以（-2-（+2=0，

即（+）（--4）=0，

因为，所以+0，即--4=0，

所以-=4，

因此等差数列{}的公差大于0.

==,解得=2.

所以=4n-2,则=2n-31.

即数列{}也为等差数列且公差为2.

由

，解得，

因为n，所以n=15,

故{}的前15项为负值，

因此最小，

可知=-29，d=2,

所以数列{}的前n项和的最小值为

==-225.

小结：

若{}是等差数列，求前n项和的最值时：

①若>0,d<0,当满足时，前n项和最大；

②若<0,d>0,当满足时，前n项和最小；

除以上方法外，还可将{}的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数问题，利用二次函数的图象或配方法求解，另外还可利用与n的函数关系，进行求导数求最值.

高考资源网