第一讲：函数及其基本性质.doc

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函数及其基本性质

第一讲：

函数的基本概念

设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作，.其中叫做自变量，与值相对应的y值叫做函数值.

函数三要素：

定义域、对应关系、值域（判断两个函数是否相等的依据）

对函数的三要素的理解：

（i）函数定义域，是使函数式有意义的一切实数的集合

常见定义域从以下几个方面考虑

分母不能为零，对数真数大于零，三角函数，零指数幂底数不能为零

求函数的定义域：

复合函数定义域的求法

已知的定义域，求的定义域

典型例题1-1：

的定义域是，求的定义域

已知的定义域，求的定义域

典型例题1-2：

的定义域是，求的定义域

已知的定义域，求的定义域

典型例题1-3：

的定义域是，求的定义域

注：

不管是给定还是需要求的定义域，都是x的取值范围

（ii）函数的值域

配方法典型例题2-1：

已知，求的值域

换元法典型例题2-2：

已知，求的值域

变量分离法典型例题2-3：

已知，求的值域

（iii）函数的解析式，求函数解析式的常见方法如下

代入法典型例题3-1：

已知，则

换元法典型例题3-2：

，求

典型例题3-2-1：

，求

待定系数法典型例题3-3：

已知为一次函数，已知，求

解方程组法典型例题3-4：

已知满足条件，求

分段函数

典型例题4：

已知函数，则_______

练习题4-1：

已知函数，若，则=_______

练习题4-2：

已知函数，若，则=_______

第二讲：

函数的基本性质

函数的单调性

一般地，设函数的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量，当时，都有（或），那么就说函数在区间D上是增函数（或减函数）．

注意在判断单调性时，第一是定义域的某个区间，第二是任意两个数

典型例题1：

已知函数，求函数的定义域并判断其在定义域上的单调性.

典型例题2：

若函数在区间上是单调函数，求的取值范围.

典型例题3：

函数的单调增区间为_______

典型例题4：

函数是定义在上的增函数，求方程的解集.

用定义求函数单调性的基本步骤：

设—差—比—定.

典型例题5：

用单调性的定义证明函数在区间是增函数

典型例题6：

已知函数对于任意的，总有，且当时，总有，,求证：

在R上是减函数；求在区间上的最大值和最小值.

单调性练习题

1、已知函数的定义域为（0，+），且在其上为增函数，对满足，，试解关于不等式

2、已知对于任意的不等式恒成立，则的取值范围为______

3、函数是R上的增函数，则的取值范围为__________

4、已知关于不等式解集为空集，则的取值范围为________

5、若存在实数满足不等式，则实数的取值范围是　

函数的最值

对于函数，假定其定义域为A，则若存在，使得对于任意，恒有（）成立，则称是函数的最大值（最小值）.

注：

求解函数的最值一般是先确定其在区间的单调性

典型例题1：

求函数在上的最值

函数的奇偶性

如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，则称为奇函数；如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，则称为偶函数．如果函数不具有上述性质，则不具有奇偶性；如果函数同时具有上述两条性质，则既是奇函数，又是偶函数．

判断奇偶函数的条件：

（i）定义域（ii）的关系

典型例题1：

判断下列函数奇偶性

典型例题2：

如果函数为奇函数，则是否正确，若正确，请推导；如果不正确，请说明理由.

典型例题3：

已知、分别为定义在R上的奇函数和偶函数，若，求、的表达式

典型例题4-1：

已知函数是定义在R上的偶函数，且有，求函数的表达式.

典型例题4-2：

已知函数是定义在R上的奇函数，且有，求函数的表达式.

典型例题5：

在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数在区间上是_________函数，区间上是_______函数（填“增”、“减”）

典型例题6：

已知函数是定义在上的奇函数，且

（I）求函数的解析式；（II）用定义证明在上是增函数；

（III）解不等式.

基本性质练习题

1、若函数为偶函数，则实数=_________

2、

3、已知为定义在R上的奇函数，当时，（为常数），则______________

4、已知、分别为定义在R上的奇函数和偶函数，若（），若，求、的表达式

5、已知为定义在R上的奇函数，，若，____

6、已知函数是定义在R上的奇函数，且有，求函数的表达式

7、是定义在（-1,1）上的奇函数，且时为增函数，求解关于的不等式的解集

8、已知函数的值域是，则函数的值域是______

9、若是R上的偶函数，且在上是减函数，则与的大小关系为______________

10、已知是上的减函数，则的取值范围是____

函数的周期：

典型例题1：

设是周期为2的奇函数，当时，，=______

周期练习题

1、已知函数定义在R上，则

2、函数满足：

，，则

3、已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则___________

B．

指对数以及函数应用

第一讲：

指数函数与对数函数

指数函数基本概念：

函数的图象、定义域、值域、单调性

对数函数基本概念：

换底公式

函数图象、定义域、值域、单调性

典型例题1：

_______

典型例题2：

已知，试用表示

典型例题3：

函数，则经过的定点为_____

典型例题4：

已知函数若，则的取值范围是_______

典型例题5：

已知定义域为R的函数是奇函数

（i）求的值

（ii）若对于任意的，不等式恒成立，求k的取值范围

典型例题6：

已知关于的方程在区间上有实数根，则实数的取值范围是______________

典型例题7：

已知满足式子，求满足的关系式

典型例题8：

已知且满足式子，，，，则的大小关系为______________

指数对数练习题

1、已知，，试用表示

2、已知函数是以2为周期的偶函数，且当时，，则____________

3、设函数，已知，则___________

4、已知函数，求在区间上的值域

5、当不等式恒成立，则a的取值范围是________

第二讲：

零点定理和根的分布

零点定理

典型例题1：

函数的零点所在区间为______

（A）（B）（C）（D）

典型例题2：

函数的图像与函数的图像的交点个数是_________

典型例题3：

已知函数为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数所有零点之和为_____________

零点练习题

1、函数在区间上零点的个数为________

2、函数在区间上零点的个数为________

3、若函数有两个零点，则实数的取值范围为________

4、已知函数，当时，函数的零点，则=____________

5、已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是_____________

6、已知是定义在上奇函数，，则关于的函数的所有零点之和为____________

7、已知是定义在R上的偶函数，在区间上为增函数，且，则不等式的解集为________

8、若函数，则函数的零点的个数为______

9、已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为________

根的分布：

函数，六种分布情况

根的分布（m＜n＜p为常数）

图象

满足条件

x1＜x2＜m

m＜x1＜x2

x1＜m＜x2

f（m）＜0

m＜x1＜x2＜n

n＜x2＜p

只有一根在

（m，n）之间

或f（m）·f（n）＜0

典型例题：

关于的一元二次方程，当为何实数时

（1）有两不同正根；

（2）不同两根在之间；

（3）有一根大于2，另一根小于2；（4）在内有且只有一解

课后练习题

1、方程的两个根均大于1，求实数的取值范围.

2、若函数的两个零点分别在区间和区间内，则实数的取值范围是__________

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