第一讲：函数及其基本性质.doc

1、 函数及其基本性质第一讲：函数的基本概念设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作 ，.其中叫做自变量，与值相对应的y值叫做函数值.函数三要素：定义域、对应关系、值域（判断两个函数是否相等的依据）对函数的三要素的理解：（i）函数定义域，是使函数式有意义的一切实数的集合常见定义域从以下几个方面考虑分母不能为零，对数真数大于零，三角函数，零指数幂底数不能为零求函数的定义域： 复合函数定义域的求法已知的定义域，求的定义域典型例题1-1：的定义域是，求的定义域已知的定义域，求的定义域

2、典型例题1-2：的定义域是，求的定义域已知的定义域，求的定义域典型例题1-3：的定义域是，求的定义域注：不管是给定还是需要求的定义域，都是x的取值范围（ii）函数的值域配方法 典型例题2-1：已知，求的值域换元法 典型例题2-2：已知，求的值域变量分离法 典型例题2-3：已知，求的值域（iii）函数的解析式，求函数解析式的常见方法如下代入法 典型例题3-1：已知，则换元法 典型例题3-2：，求典型例题3-2-1：，求待定系数法 典型例题3-3：已知为一次函数，已知，求解方程组法 典型例题3-4：已知满足条件 ，求分段函数典型例题4：已知函数，则_练习题4-1：已知函数，若，则=_练习题4-2：

3、已知函数，若，则=_第二讲：函数的基本性质函数的单调性一般地，设函数的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量，当时，都有（或），那么就说函数在区间D上是增函数（或减函数）注意在判断单调性时，第一是定义域的某个区间，第二是任意两个数典型例题1：已知函数，求函数的定义域并判断其在定义域上的单调性.典型例题2：若函数在区间上是单调函数，求的取值范围.典型例题3：函数的单调增区间为_典型例题4：函数是定义在上的增函数，求方程的解集.用定义求函数单调性的基本步骤：设差比定.典型例题5：用单调性的定义证明函数在区间是增函数典型例题6：已知函数对于任意的，总有，且当时，总有，,求证：在

4、R上是减函数；求在区间上的最大值和最小值.单调性练习题1、已知函数的定义域为(0，+)，且在其上为增函数，对满足，试解关于不等式2、已知对于任意的不等式恒成立，则的取值范围为_3、函数是R上的增函数，则的取值范围为_4、已知关于不等式解集为空集，则的取值范围为_5、若存在实数满足不等式，则实数的取值范围是 函数的最值对于函数，假定其定义域为A，则若存在，使得对于任意，恒有（）成立，则称是函数的最大值（最小值）.注：求解函数的最值一般是先确定其在区间的单调性典型例题1：求函数在上的最值函数的奇偶性如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，则称为奇函数；如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，则称为

5、偶函数如果函数不具有上述性质，则不具有奇偶性；如果函数同时具有上述两条性质，则既是奇函数，又是偶函数判断奇偶函数的条件：（i）定义域 （ii）的关系典型例题1：判断下列函数奇偶性 典型例题2：如果函数为奇函数，则是否正确，若正确，请推导；如果不正确，请说明理由.典型例题3：已知、分别为定义在R上的奇函数和偶函数，若，求、的表达式典型例题4-1：已知函数是定义在R上的偶函数，且有，求函数的表达式.典型例题4-2：已知函数是定义在R上的奇函数，且有，求函数的表达式.典型例题5：在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数在区间上是_函数，区间上是_函数（填“增”、“减”）典型例题6：已知函

6、数是定义在上的奇函数，且(I)求函数的解析式； (II)用定义证明在上是增函数；(III)解不等式.基本性质练习题1、若函数为偶函数，则实数=_2、3、已知为定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则_ 4、已知、分别为定义在R上的奇函数和偶函数，若（），若，求、的表达式5、已知为定义在R上的奇函数，若，_6、已知函数是定义在R上的奇函数，且有，求函数的表达式7、是定义在（-1,1）上的奇函数，且时为增函数，求解关于的不等式的解集8、已知函数的值域是，则函数的值域是_9、若是R上的偶函数，且在上是减函数，则与的大小关系为_10、已知是上的减函数，则的取值范围是_函数的周期：典型例题1：设是周期为

7、2的奇函数，当时，=_周期练习题1、已知函数定义在R上，则2、函数满足：，则3、已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则_B 指对数以及函数应用第一讲：指数函数与对数函数指数函数基本概念：函数的图象、定义域、值域、单调性对数函数基本概念： 换底公式函数图象、定义域、值域、单调性典型例题1：_典型例题2：已知，试用表示典型例题3：函数，则经过的定点为_典型例题4：已知函数若，则的取值范围是_典型例题5：已知定义域为R的函数是奇函数(i)求的值(ii)若对于任意的，不等式恒成立，求k的取值范围典型例题6：已知关于的方程在区间上有实数根，则实数的取值范围是_典型例题7：已知满足式子，求满足

8、的关系式典型例题8：已知且满足式子，则的大小关系为_指数对数练习题1、已知，试用表示2、已知函数是以2为周期的偶函数，且当时，则_3、设函数，已知，则_4、已知函数，求在区间上的值域5、当不等式恒成立，则a的取值范围是_第二讲：零点定理和根的分布零点定理典型例题1：函数的零点所在区间为_（A） （B） （C） （D）典型例题2：函数的图像与函数的图像的交点个数是_典型例题3：已知函数为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数所有零点之和为_零点练习题1、函数在区间上零点的个数为_2、函数在区间上零点的个数为_3、若函数有两个零点，则实数的取值范围为_4、已知函数，当时，函数的零点，则=_5、已

9、知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是_6、已知是定义在上奇函数，则关于的函数的所有零点之和为_7、已知是定义在R上的偶函数，在区间上为增函数，且，则不等式的解集为_8、若函数，则函数的零点的个数为_9、已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为_根的分布：函数，六种分布情况根的分布(mnp为常数)图象满足条件x1x2mmx1x2x1mx2f(m)0mx1x2nnx2p只有一根在(m，n)之间或f(m)f(n) 0典型例题：关于的一元二次方程，当为何实数时(1)有两不同正根； (2)不同两根在之间；(3)有一根大于2，另一根小于2； (4)在内有且只有一解课后练习题1、方程的两个根均大于1，求实数的取值范围.2、若函数的两个零点分别在区间和区间内，则实数的取值范围是_8