洛必达法则详述与其在高考中的实际运用.docx

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一．L’Hospital法则（洛必达法则）

法则1设函数和在点a的某个去心邻域内有定义，且满足：

（1）及；

（2）和在内可导，且；

　　（3）（A为常数，或为∞）

则有=。

法则2设函数和在点a的某个去心邻域内有定义，且满足：

（1）；

（2）和在内可导,且；

　　（3）（A为常数，或为∞）

则有=

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。

2.洛必达法则可处理，，，，，，型。

3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

型：

=（化为型）

=（化为型，但无法求解）

型：

===0（通分后化为型）

型：

===（化为型）

型：

====1（化为型）

型：

===1（化为型）

变形举例:

==-1（不变形求导无法求出）

二．高考题处理

1.（2010年全国新课标理）设函数。

（1）若，求的单调区间；

（2）若当时，求的取值范围

原解：

（1）时，，.

当时，；当时，.故在

单调减，在单调增

（II）

由（I）知，当且仅当时等号成立.故，

从而当，即时，，而，

于是当时，.

由可得.从而当时，

，

故当时，，而，于是当时，

.

综合得的取值范围为

原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：

另解:

（II）当时，，对任意实数a,均在；

当时，等价于

令（x>0）,则，

令，

则，，

知在上为增函数，；

知在上为增函数，；

，g（x）在上为增函数。

由洛必达法则知，，

故

综上，知a的取值范围为。