正弦定理知识点与典型例题.doc

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正弦定理

【基础知识点】

1.三角形常用公式：

A＋B＋C＝π；S＝absinC＝bcsinA＝＝casinB；

sin（A+B）=sinC,cos（A+B）=-cosC,

sin（A+B）/2=cosC/2,cos（A+B）/2=sinC/2

2．三角形中的边角不等关系:

A>Ba>b,a+b>c,a-b

3．【正弦定理】：

＝＝＝2R（外接圆直径）；

正弦定理的变式：

；　a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．

asinB=bsinAbsinC=csinBasinC=csinA

sinA=a/2RsinB=b/2RsinC=c/2R

4．正弦定理应用范围：

　　①已知两角和任一边，求其他两边及一角．

　　②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．

③几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．

已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：

（1）A为锐角

一解两解一解

（2）A为锐角或钝角

当时有一解.

也可利用正弦定理进行讨论．

如果sinB>1，则问题无解；如果sinB＝1，则问题有一解；

如果求出sinB<1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断

典型例题：

例1、在中，求B的大小。

例2、在△ABC中，已知，，B=45°求A、C及c.

例3、在△ABC中，a=15,b=10,A=,则cosB的值

例4、在△ABC中，，，AC=2，求△ABC的面积。

例5、在△ABC中已知acosB=bcosA,试判断△ABC的形状.

例6、在△ABC中，，试判断△ABC的形状

例7、在△ABC中，cos2＝（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为？

例8、在△ABC中，tanA＝，cosB＝，若最长边为1，则最短边的长

例9、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos＝，·＝3.

（1）求△ABC的面积；

例10、设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosC＋c＝b.

（1）求角A的大小；

（2）若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．

例11、在△ABC中，sin（C-A）=1,sinB=.（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=求△ABC的面积.

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