极坐标与参数方程高考题的几种常见题型.doc

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极坐标与参数方程高考题的几种常见题型

一、极坐标方程与直角坐标方程的互化

例1（2007海南宁夏）⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为，．

（I）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（II）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

解：

（I），，由得．所以．

即为⊙O1的直角坐标方程．同理为⊙O2的直角坐标方程

（II）解:

由,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．

二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型

例2（2014贵州贵阳高三适应性监测考试,23）以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度.已知直线的方程为，曲线的参数方程为，点是曲线上的一动点.

（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；（Ⅱ）求曲线上的点到直线的距离的最小值.

[解析]（Ⅰ）设中点的坐标为，依据中点公式有（为参数），

这是点轨迹的参数方程，消参得点的直角坐标方程为.（5分）

（Ⅱ）直线的普通方程为，曲线的普通方程为，

表示以为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心到直线的距离减去半径，设所求最小距离为d，则.因此曲线上的点到直线的距离的最小值为.

三、求曲线的交点坐标

例3（2010东北三校第一次联合考试）在极坐标系下，已知圆和直线。

（1）求圆和直线的直角坐标方程；当时，求直线于圆公共点的极坐标。

解：

（1）圆，即

圆的直角坐标方程为：

，即

直线，即则直线的直角坐标方程为：

，即。

（2）由得故直线与圆公共点的一个极坐标为。

四、根据条件求直线和圆的极坐标方程

例4（2009辽宁）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。

（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；

（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。

解：

（Ⅰ）由C直角方程为（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为P点的直角坐标为直线OP极坐标方程为

五、参数方程的问题

例5（2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，23）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.

[解析]

（1）由曲线：

 得两式两边平方相加得：

即曲线的普通方程为：

     由曲线：

得：

所以 即曲线的直角坐标方程为:

（2）由

（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为      

所以当时，的最小值为，此时点的坐标为

1.（2014山西太原高三模拟考试

（一），23）  在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为，且曲线C1上的点M（2，）对应的参数.且以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点.  （I）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；[ （Ⅱ）若是曲线C1上的两点，求的值.

2.（2014福州高中毕业班质量检测,21

（2））在平面直角坐标系中,以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为,直线l的参数方程为:

（为参数），两曲线相交于,两点.

（Ⅰ）写曲线直角坐标方程和直线普通方程;（Ⅱ）若,求的值．

[解析]（Ⅰ）（曲线的直角坐标方程为,直线的普通方程.（4分）

（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数）,代入,得到,,对应的参数分别为,，则

3.（2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测

（二），23）已知直线的参数方程为：

，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）当时，求直线与曲线交点的极坐标.

[解析]（Ⅰ）由，可得

所以曲线的直角坐标方程为，标准方程为，

曲线的极坐标方程化为参数方程为（5分）

（Ⅱ）当时，直线的方程为，化成普通方程为，

由，解得或，所以直线与曲线交点的极坐标分别为，；,.

4.（2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，23）  已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.

[解析]（Ⅰ）直线的普通方程为，C直角坐标方程为.（Ⅱ）设点，则，

所以的取值范围是.（10分）

5.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，23）选修4—4:

坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．

6.（2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题,23）  已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（t是参数）．

 （I）将曲线C的极坐标方程和直线的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；

（Ⅱ）若直线与曲线C相交于A，B两点，且，试求实数m的值．

7.（2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，23）已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）若是直线与圆面≤的公共点，求的取值范围．

[解析]

（1）圆的极坐标方程为所以又所以所以圆的普通方程

（2）设由:

所以圆的圆心是，半径是将代入得

又直线过，圆的半径是，所以即的取值范围是

8.（2014周宁、政和一中第四次联考，21）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）（Ⅰ）将的方程化为普通方程；（Ⅱ）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线的极坐标方程是，求曲线与交点的极坐标.

[解析]（Ⅰ）依题意，的普通方程为，（Ⅱ）由题意，的普通方程为，代入圆的普通方程后得，解得，，点、的直角坐标为，，从而，.  （7分）

9.（2014江苏苏北四市高三期末统考,21C）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为.由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.

[解析]因为圆的极坐标方程为，所以，

所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1,（4分）

因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C引切线长是，

所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是.（10分）

10.（2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测,23）已知曲线（t为参数），（为参数）（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;

（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B两点，求.

[解析] 解（Ⅰ）曲线为圆心是，半径是1的圆.

曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆.（4分）

     （Ⅱ）曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）

将其代入曲线整理可得：

，设对应参数分别为，

则所以.         （10分）

11.（2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试,23）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）判断点与直线的位置关系，说明理由；

（Ⅱ）设直线与直线的两个交点为、，求的值.

[解析]（Ⅰ）直线即，:

，点在上.（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程为，

将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，有，设两根为，.（10分）

12.（2014兰州高三第一次诊断考试,23）在直角坐标系中，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.

   （Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；

   （Ⅱ）求曲线C上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标.

[解析]（Ⅰ）由得，则直线的普通方程为.由得曲线的普通方程为.   （5分）

（Ⅱ）在 上任取一点，则点到直线的距离为

 ，当，即时，，此时点.  （10分）

14.（河南省商丘市2014届高三第三次模拟考试数学（理）试题）在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r=．（I）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）若，直线的参数方程为（t为参数），直线交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．

解：

（Ⅰ）直角坐标，所以圆的直角坐标方程为，……2分

由得，圆C的直角坐标方程为．……5分

（Ⅱ）将，代入的直角坐标方程，

得，则，设Ａ，Ｂ对应参数分别为，，则

，，

因为，所以所以，所以的取值范围为

15.（南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学试题）

在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆＋＝1上在第一象限的点，A（2，0），B（0，2）是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．

解：

设M（2cosθ，2sinθ），θ（0，）．由题知OA＝2，OB＝2，……………2分

∴四边形OAMB面积S＝×OA×2sinθ＋×OB×2cosθ＝2sinθ＋2cosθ＝2sin（θ＋）所以当θ＝时，四边形OAMB的面积的最大值为2．……………………10分

16.（甘肃省张掖市2014届高三第三次诊断考试数学（理）试题）

在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为．

（Ⅰ）写出直线的普通方程与圆的直角坐标方程；

（Ⅱ）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.

【解析】:

（Ⅰ）,曲线C:

……………4分

（Ⅱ）因为圆极坐标方程，所以，

所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1,

因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C引切线长是

所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是．…………………10分

17.（黑龙江省大庆市2014年高三第次模拟考试数学（理）试卷）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），为直线与曲线的公共点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求点的极坐标；

（II）将曲线上所有点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）后得到曲线，过点作直线，若直线被曲线截得的线段长为，求直线的极坐标方程.

解：

（I）的普通方程为。

将代入上式整理得，解得

故点的坐标为，其极坐标为.………………………5分

（II）坐标变换式为故的方程为，即…7分

当直线的斜率存在时,设其方程为，即，

由圆心到直线距离得，，∴直线为，

当直线的斜率不存在时，其方程为，显然成立.

故直线的极坐标方程为或.…………………10分

18.（2014年长春市高中毕业班第二次调研测试）已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）若是直线与圆面≤的公共点，求的取值范围．

【解析】：

（1）圆的极坐标方程为∴

又，所以

所以圆的普通方程

（2）『解法1』：

设由圆的方程

所以圆的圆心是，半径是将代入得

又直线过，圆的半径是，所以，所以

即的取值范围是

19.（昆明第一中学2014届高三第五次月考）以直角坐标