高考数学平面解析几何Word下载.docx

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文·

题5）

经过点作圆的弦，使点为弦的中点，则弦所在直线方程为（）

A．B．

C．D．

【解析】A；

设圆心为，则垂直于，，故，选A．

7．（西城·

题13）（西城·

题7）

已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为_________．

，设，，又，故，

于是，当时，取到最小值．

8．（东城·

直线过双曲线的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若原点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是．

，要使原点在以为直径的圆外，只需原点到直线的距离大于半径即可，于是，，故．

9．（东城·

已知圆与抛物线的准线相切，则的值等于（）

抛物线的准线为，将圆化为标准方程，圆心到直线的距离为．

10．（东城·

经过点且与直线垂直的直线方程为．

直线的斜率为，故所求直线的斜率为，从而所求直线方程为．

11．（东城·

点是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为，当在第一象限时，点的纵坐标为．

3【解析】；

，．

12．（宣武·

题6）

若椭圆与双曲线均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（）

【解析】C；

由题设可知，再由椭圆和双曲线的定义有及，两个式子分别平方再相减即可得．

13．（宣武·

设圆的圆心在双曲线的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆被直线截得的弦长等于，则的值为（）

圆的圆心，双曲线的渐近线方程为，到渐近线的距离为，故圆方程．由被圆截得的弦长是及圆的半径为可知，圆心到直线的距离为，即．

14．（崇文·

若直线与圆相切，则的值为（）

【解析】B；

．

15．（朝阳·

已知点是双曲线渐近线上的一点，是左、右两个焦点，若，则双曲线方程为（）

不妨设，于是有．

于是．排除A，B．又由D中双曲线的渐近线方程为，点不在其上．排除D．

16．（朝阳·

题10）（朝阳·

圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为．

【解析】．

圆心到直线的距离为．不妨设劣弧所对的圆心角为，于是．解得．

17．（朝阳·

在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则的值为．

【解析】2；

由抛物线的几何性质，有．

二、解答题

18．（海淀·

题19）

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上．

⑴求椭圆的方程；

⑵过的直线与椭圆相交于、两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．

2【解析】⑴设椭圆的方程为，由题意可得：

椭圆两焦点坐标分别为，．

∴．

∴，又，，

故椭圆的方程为．

⑵当直线轴，计算得到：

，，

，不符合题意．

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：

，

由，消去y得．

显然成立，设，，

则，．

又

即，

又圆的半径．

所以，

化简，得，即，解得．

所以，．

故圆的方程为：

⑵另解：

设直线的方程为，

由，消去得，恒成立，

设，，则，．

所以．

又圆的半径为．

所以，解得，

19．（海淀·

已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且点0在该椭圆上．

⑵过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于、两点，若的面积为，求圆心在原点且与直线相切的圆的方程．

3【解析】⑴设椭圆C的方程为，

由题意可得，又，所以

因为椭圆经过，代入椭圆方程有，解得

所以，故椭圆的方程为．

⑵解法一：

当直线轴时，计算得到：

，

由，消去，得

则，

即

又圆的半径

所以

化简，得，即，

解得，（舍）

所以，故圆的方程为．

⑵解法二：

因为恒成立，设，，

则

化简得到，即，

解得（舍）

又圆的半径为

所以，故圆的方程为：

20．（丰台·

在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和．

⑴求轨迹的方程；

⑵当时，求与的关系，并证明直线过定点．

1【解析】⑴∵点到，的距离之和是，

∴的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦中为的椭圆，

其方程为．

⑵将，代入曲线的方程，整理得

因为直线与曲线交于不同的两点和，

所以①

设，，则，②

且

显然，曲线与轴的负半轴交于点，

由，得．

将②、③代入上式，整理得．

所以，即或．经检验，都符合条件①

当时，直线的方程为．

显然，此时直线经过定点点．

即直线经过点，与题意不符．

显然，此时直线经过定点点，且不过点．

综上，与的关系是：

，且直线经过定点点．

21．（丰台·

在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是，直线与轨迹交于不同的两点和．

⑵是否存在常数，？

若存在，求出的值；

若不存在，请说明理由．

3【解析】⑴∵点到，的距离之和是，

∴的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦距为的椭圆，

其方程为．

⑵将，代入曲线的方程，

整理得①

设，由方程①，得

，②

又③

若，得

将②、③代入上式，解得．

又因的取值应满足，即（*），

将代入（*）式知符合题意．

22．（石景山·

已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线交椭圆于不同的两点，．

⑵若，且，求的值（点为坐标原点）；

⑶若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．

【解析】⑴设椭圆的半焦距为，依题意，解得．

由，得

∴所求椭圆方程为

⑵∵，∴．

设，其坐标满足方程，消去并整理得

则

故．

∵，

∴

∴，经检验满足式．

⑶由已知，，可得

将代入椭圆方程，整理得

∴．

当且仅当，即时等号成立．

经检验，满足（*）式．

当时，

综上可知，

所以，当最大时，的面积取得最大值．

23．（石景山·

已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点，．

由，得

设，其坐标满足方程，

消去并整理得，

则，解得

⑶由已知，可得．

．

经检验，满足式．

综上可知

∴当最大时，的面积取最大值．

24．（西城·

题18）

椭圆：

的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．

⑵设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率．

2【解析】⑴由已知，

又，解得，

所以椭圆的方程为；

⑵根据题意，过点满足题意的直线斜率存在，设，

联立，消去y得，

令，解得．

设、两点的坐标分别为，

ⅰ）当为直角时，

则，

因为为直角，所以，即，

所以，解得．

ⅱ）当或为直角时，不妨设为直角，

此时，，所以，即……①

又…………②

将①代入②，消去得，

解得或（舍去），

将代入①，得所以，

经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和．

25．（西城·

的离心率为，且过点．

⑵设直线：

与椭圆交于两点，为坐标原点，若直角三角形，求的值．

1【解析】⑴已知，

所以，又，所以，

所以椭圆C的方程为．

⑵联立，消去y得，

令，即，解得．

设A，B两点的坐标分别为，

i）当为直角时，则，

所以，解得；

ii）当或为直角时，不妨设为直角，

由直线的斜率为，可得直线的斜率为，

所以，即，

又，所以．

依题意，且，

经检验，所求值均符合题意，综上，的值为和．

26．（东城·

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．

⑵设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；

⑶在⑵的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．

2【解析】⑴由题意知，所以．即．

又因为，所以，．

⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．

由得．①

设点，，则．

直线的方程为．

令，得．

将，代入整理，得．②

由①得，代入②整理，得．

所以直线与轴相交于定点．

⑶当过点直线的斜率存在时，

设直线的方程为，且，在椭圆上．

由得．

易知．

所以，，．

则．

因为，所以．

当过点直线的斜率不存在时，其方程为．

解得，．此时．

所以的取值范围是．

27．（东城·

已知椭圆：

的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

⑴求椭圆C的方程；

⑵设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；

⑶在⑵的条件下，证明直线与轴相交于定点．

4【解析】⑴由题意知，

又因为，所以，

故椭圆的方程为：

⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为①

联立消去得：

由得，

又不合题意，

所以直线的斜率的取值范围是或．

⑶设点，则，

直线的方程为，

令，得，

将代入整理，得．②

由得①代入②整理，得，

28．（宣武·

已知椭圆的离心率为．

⑴若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；

⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点．

i）当，求的值；

ii）对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式．

【解析】⑴∵，∴．

∵，∴．

∵，∴，解得．

椭圆的方程为．

⑵

i）∵，∴，椭圆的方程可化为

…………①

易知右焦点，据题意有：

………②

由①，②有：

…………③

设，

∴

ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立．

∵，∴

又点在椭圆上，∴……………④

由③有：

……………⑤

又在椭圆上，故有…………⑥

将⑥，⑤代入④可得：

29．（宣武·

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是其左顶点，点在椭圆上且．

⑵若平行于的直线和椭圆交于两个不同点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．

【解析】⑴设椭圆的标准方程为，

∵左顶点．

∴，

又∵在椭圆上，

∴椭圆的标准方程为．

⑵设

∵的斜率为，∴设直线的方程为，

代入，得．

又到直线的距离，

∴的面积，

当且仅当时取等号，此时满足题中条件，

∴直线的方程为．

30．（崇文·

已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点．

⑴证明：

直线的斜率互为相反数；

⑵求面积的最小值；

⑶当点的坐标为，且．根据⑴⑵推测并回答下列问题（不必说明理由）：

①直线的斜率是否互为相反数？

②面积的最小值是多少？

【解析】⑴设直线的方程为．

由可得．

设，则．

又当垂直于轴时，点关于轴，显然．

综上，．----------------5分

⑵=．

当垂直于轴时，．

∴面积的最小值等于．----------------10分

⑶推测：

①；

②面积的最小值为．

31．（崇文·

已知椭圆短轴的一个端点，离心率．过作直线与椭圆交于另一点，与轴交于点（不同于原点），点关于轴的对称点为，直线交轴于点．

⑵求的值．

【解析】⑴由已知，．

所以椭圆方程为．

⑵设直线方程为．令，得．

由方程组可得，即

令，得．

所以=．

32．（朝阳·

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆在第一象限相切于点．

⑵求直线的方程以及点的坐标；

⑶是否存过点的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？

若存在，求出直线的方程；

【解析】⑴设椭圆的方程为，由题意得

解得，故椭圆的方程为．

⑵因为过点的直线与椭圆在第一象限相切，所以的斜率存在，故可设直线的方程为．

由

得．①

因为直线与椭圆相切，所以．

整理，得．解得．

所以直线的方程为．

将代入①式，可以解得点横坐标为，故切点坐标为．

⑶若存在直线满足条件的方程为，代入椭圆的方程得

因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，

又，

因为，即，

因为为不同的两点，所以．

于是存在直线满足条件，其方程为．

33．（朝阳·

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆相交于不同的两点．

⑵是否存直线，满足？

【解析】⑴设椭圆的方程为，

由题意得

解得，

故椭圆的方程为5分

⑵若存在直线满足条件，设直线的方程为

得

因为直线与椭圆相交于不同的两点．

设两点的坐标分别为

整理，得

解得．

且．即．

解得．所以．

于是，存在直线满足条件，其方程为．