初中数学竞赛第二十四讲探索性问题含解答Word下载.docx
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∠MOB=∠POB;
∠MBO=∠COP等.
（2）角的互补:
∠A+∠D=180°
;
∠ABC+∠BCD=180°
.
（3）角的互余:
∠MBO+∠MOB=90°
∠BOP+∠COP=90°
等.
（4）线段的垂直:
OM⊥AB;
ON⊥CD:
OP⊥BC;
OB⊥OC.
（5）共线点:
N、O、M三点在一条直线上.
（6）线段的相等:
BM=PB=MA;
CN=CP=ND;
OP=OM=ON;
BC=BM+CN;
AB+CD=AD+BC=2AD.
（7）三角形全等:
△MBO≌△PBO;
△NOC≌△POC.
（8）三角形相似:
△OCB∽△MOB（或△PBO）∽△NOC（或△PCO）.
（9）比例线段:
通过相似三角形对应边成比例,可找到多组成比例线段关系.
（10）作为比例中项的线段:
OP是BP与CP的比例中项,也是MB与NC的比例中项;
MN是AB与CD的比例中项;
OB是MB与BC的比例中项;
OC是NC与BC的比例中项.
点评
解此问题时最好要有条理性,先从某个角度进行分析,待不能再挖掘出新的对等或成比例的关系后,应及时地换一个角度再思考.
例2如图,EB是⊙O的直径,且EB=6.在BE的延长线上,取点P,使EP=EB.A是PE上一点,过A作⊙O的切线AD,切点为D.过D作DF⊥AB于点F,过B作AD的垂线BH,交AD的延长线于点H.连结ED和FH.
（1）若AE=2,求AD的长;
（2）当点A在EP上移动（点A不与点E重合）时,①是否总有
?
试证明你的结论.
②设ED=x,BH=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
解析
（1）∵AD切⊙O于D,AE=2,EB=6,∴AD2=AE·
AB=2×
（2+6）=16.∴AD=4;
（2）①无论点A在EP上怎么移动（点A不与点E重合）,总有
证明连结BD,交FH于G.∵AH是⊙O的切线,D为切点,∴∠3=∠4.
又∵BH⊥AH,BE为直径,∴∠BDE=90°
∴∠1=90°
-∠3=90°
-∠4=∠2.
在△DFB和△DHB中,∠DHB=90°
∠1=∠2,DB=DB,
∴△DFB≌△DHB.∴BF=BH.∴△BHF是等腰三角形.
∵∠1=∠2,∴BG⊥FH,即BD⊥FH.
∵BD⊥DE,∴ED∥FH,∴
②设ED=x,BH=y,BE=6,BF=BH,
∴EF=6-y.
∵DF是Rt△BDE斜边上的高,∴△DFE∽△BDE,
∴
即ED2=EF·
EB.
∴x2=6（6-y）,即y=-
x2+6.
∵点A不与点E重合,∴ED=x>
0,
当点A从点E向左移动,ED逐渐增大,A和P重合时,ED最大,
这时,连结OD,则OD⊥PH,∴OD∥BH.
又∵PO=PE+EO=6+3=9,PB=12,
BH=
=4,
∴BF=BH=4.
EF=EB-BF=6-4=2.
由ED2=EF·
EB,得x2=2×
6=12.
∵x>
0,∴x=2
∴0<
x≤2
故所求的函数关系式为y=-
x2+6,自变量x的取值范围是0<
此题根据动点,建立有关函数关系,揭示了函数的本质;
函数是研究运动变化的两个变量间的关系问题,此题第
（2）题的第①小题是一个结论探索问题,它要求先探索出结论,再证明出结论成立.在实际问题中,建立的函数关系式,必须注意求出自变量的取值范围,即使题目中没有明确提出这个要求.
【好题妙解】
佳题新题品味
例1如图,直线L上有两点A、B,AB=4cm,过L外一点C作CD∥L,射线BC与L所成的锐角∠1=60°
线段BC=2cm,动点P、Q分别从B、C同时出发,P以1cm/s的速度沿由B向C的方向运动,Q以2cm/s的速度沿由C向D的方法运动,设P、Q运动的时间为t（s）,当t>
2时,PA交CD于E.
（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长.
（2）求△APQ的面积S和t的函数关系式;
（3）当QE恰好平分△APQ的面积时,QE的长是多少厘米?
解析
（1）∵BP=t,CQ=2t,PC=t-2,
由EC∥AB,且AB=4,得△PEC∽△PAB,
即EC=
QE=QC-EC=2t-
=
（2）过P作PE⊥L,垂足为F,交QC的延长线于点G,
因∠1=60°
∴PF=PB.sin60°
t.
又∵CD∥L,故PG⊥CD.
∴S△APQ=S△EQA+S△EPQ
QE·
GF+
PG=
QE（GF+GP）=
.PF
·
t=
（t2-2t+4）;
（3）因为△APQ是由△QEA和△QEP组成,又这两个三角形具有公共的底QE,
所以只须G平分PF,即当C为PB的中点时,QE即平分△PAQ的面积,
于是由t-2=2,可得t=4,从而有:
QE=
=6（cm）.
这是一个点以定速沿规定方向移动的几何问题,求解此题的关键是抓住动点移动的时间与各量之间的关系.
例2AB是⊙O的直径,把AB分成n条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,设AB=a,那么⊙O的周长L=
a,
计算:
（1）如图1,把AB分成两条相等的线段,每个圆的周长L2=
a=
L;
（2）如图2,把AB分成三条相等的线段,每个小圆的周长L3=_______;
（3）把AB分成四条相等的线段,每个小圆的周长L4=_____.
（1）
（2）（3）
（4）如图3,把AB分成n条相等的线段,每个小圆的周长Ln=__________.
结论:
把大圆的直径分成n条相等的线段以每条线段为直径分别画小圆,那么每个小圆的周长是大圆周长的________.
请依照上面的探索方法和步骤,计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系.
解析
（2）
L（3）
L（4）
L;
结论;
又由直径与面积的关系,得:
面积关系为,每个小圆面积是大圆面积的
此题先给出了特殊范例,然后要求归纳出一般性的规律,这类问题的解法因题而异,没有固定的解题模式,只有多练习多思考,提高观察、推理,归纳能力,遇到这类问题才会很快找到解法.
中考真题欣赏
例1（2003年北京市中考题）如图,ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF,请你以F为端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）.
证明∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∴∠DAE=∠BCF.
在△BCF和△DAE中,CB=AD,∠BCF=∠DAE,CF=AE,
∴△BCF≌△DAE.
∴BF=DE.
本题是一个常见的几何基本图形,可创设新的图形背景,使之成为我们合情推理能力的生长点.
例2（2003年吉林省中考题）如图,AB是半圆O的直径,点M是半径OA的中点,点P在线段AM上运动（不与点M重合）,点Q在半圆O上运动,且总保持PQ=PO,过点Q作半圆O的切线交BA的延长线于点C.
（1）∠QPA=60°
时,请你对△QCP的形状做出猜想,并给予证明;
（2）当QP⊥AB时,△QCP的形状是_______三角形.
（3）由
（1）、
（2）得出的结论,请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时,△QCP一定是_________三角形.
解析
（1）△QCP是等边三角形.
证明连结OQ,则CQ⊥OQ,
∵PQ=PO,∠QPC=60°
∴∠POQ=∠PQO=30°
∴∠C=90°
-30°
=60°
∴∠CQP=∠C=∠QPC=60°
∴△QPC是等边三角形.
（2）等腰直角三角形.
（3）等腰三角形.
本题设计精灵,考查我们的推理能力,并且探求方式扩展到了由特殊到一般的归纳推理模式,使数学学习经历从合情推理到演绎推理的完整过程.
竞赛样题展示
例1（2000年黄冈市数学竞赛试题）如图,堆放在车厢里的两根圆木紧紧挨在一起,两根圆木的半径分别为9dm和4dm,为了有效地利用空间,现要在两根圆木的间隙处插进一根半径为1.5dm的小圆木,问能否做到?
解析⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r.
连结O1O2,O1C,O2B,O3G,过O2作O2D⊥O1C交O1C于点D,
过O3作O2D的平行线交O2B,O1C于点E、F.
设⊙O3的半径为x,则在Rt△O2O3E中,E=
=2
又∵BG=O3E,在Rt△O1O3F中
CG=O3F=
∴O2D=EF=BC=2
+2
①
在Rt△O1O2D中,（R+r）2-（R-r）2=O2D2,
∴O2D=2
②
由①、②,得:
2
∴
即x=
当R=9和r=4时,x=
∵
<
故半径为
的圆木不能插进两圆木的间隙.
本题实质上是求⊙O1和⊙O2相外切同时⊙O1、⊙O2又和直线（截面图形）相切的⊙O3,在此情况下,已知⊙O1、⊙O2的半径,⊙O3的半径也就可求出来了.
例2（江苏省初中数学竞赛题）如图,AB是半圆的直径,AC⊥AB,AC=AB.在半圆上任取一点D,作DE⊥CD,交AB于点E,BF⊥AB交AD的延长线于点F.
（1）设AD是x°
的弧,若要使点E在线段BA的延长线上,求x的取值范围;
（2）不论点D取在半圆的什么位置,图中除AB=AC外,还有两条线段一定相等,指出这两条相等的线段,并予以证明.
解析
（1）当E点由右趋向于点A时,△ADB将成为等腰直角三角形,即D点为OS与⊙O的交点,这里OS⊥AB,
所以,点E从右运动到点A时,AD是45°
的弧,即x=45.
当点E离开点A在BA的延长线时,离点A越近,点D越接近于点A,
因此x接近于0,D为A点时,x=0,
所以满足题设要求的x的范围是0≤x<
45.
（2）由题意,知∠CDE=90°
∠CAB=∠EBF=90°
∠ADB=90°
∵AC为圆的切线,∴∠CAD=∠ABD.
∵∠DEB=180°
-∠AED=180°
-（360°
-180°
-∠C）=∠C,
∴△ACD∽△EBD,
又∵∠ABD=∠BFD,所以△ABD∽△BFD,
所以
∵AB=AC,∴BE=BF.
此题是探索结论问题,是在给定的条件下,探求相应的结论,解这类问题的思路是:
从给定的条件出发,进行探索,归纳,猜想出结论,然后对猜想出的结论进行证明.
全能训练
A级
1.请你观察思考下列计算过程:
因112=121,所以
=11;
同样,1112=12321,因为
……由此猜想:
=_________.
2.观察一列数:
3,8,13,18,23,28…,依此规律,在此数列中比2000大的最小整数是__________.
3.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律,拼成若干个图案:
问:
（1）第4个图案中有白色地面砖_________块.
（2）第n个图案中有白色地面砖_________块.
4.将一张长方形的纸对折,如图所示可得到一条折痕（图中虚线）,继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到______条折痕,如果对折n次,可以得到________条折痕.
5.已知,如图,线段AM∥DN,直线L与AM、DN分别交于点B、C,直线L绕BC的中点P旋转（点C由点D向点N方向移动）.
（1）线段BC与AD、AB、CD围成的图形,在初始状态下,形状是△ABD（即△ABC）请你写出变化过程中其余的各种特殊四边形名称;
（2）任取变化过程中的两个图形,测量AB、CD长度后分别计算同一个图形的AB+CD（精确到1cm）,比较这两个和是否相同?
试加以证明.
6.如图,AB是⊙O的直径,⊙O过AC的中点D,DE⊥BC,垂足为E.
（1）由这些条件,你能推出哪些正确结论?
（要求:
不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中,不写推理过程写出4个结论即可）;
（2）若∠ABC为直角,其他条件不变,除上述结论外,你还能推出哪些正确结论?
并画出图形（要求:
写出6个结论即可,其他要求同
（1））.
A级（答案）
1.111111111.
2.2003.
3.
（1）18;
（2）4n+2.
4.15,2n-1或1+2+22+23+…+2n-1.
5.
（1）一般梯形,等腰梯形、直角梯形和平行四边形;
（2）经测量计算,两个图形的AB+CD都是相等的.
6.
（1）第一类:
如图,连结BD,可得结论:
①AB=BC（或∠A=∠C）;
②DE2=BE·
EC;
③DE是AD和BE的比例中项;
④DC2=EC·
BC（或AD2=EC·
BC）;
……、第二类:
连结OD,可得结论;
⑤OD∥BC;
⑥OD⊥DE;
⑦DE是⊙O的切线……从中任选4个结论即可.
（2）如图,第一类:
不添加辅助线,可得结论:
①BC是⊙O的切线;
②DE∥AB;
③CE=EB;
④△CDE∽△CAB;
⑤CB2=CD·
CA;
⑥CD=DA=CE:
EB;
⑦S△CDE:
S△CAB=1:
4;
……
第二类:
作辅助线.第一种情形:
连结BD,可得结论:
⑧DE=BE=CE;
⑨∠A=∠C=45°
第二种情形:
连结OD,可得结论,⑩CE=DE=BE=AO=BO;
（11）.DE是⊙O的切线……从中任选6个结论即可.
B级
1.如图1,△ABC中,∠C=90°
AC=8cm,AB=10cm,点P由点C出发以2cm/s的速度沿线段CA向点C运动（不运动至点A）,⊙O的圆心在BP上,且⊙O分别与AB、AC相切,当点P运动2s时,⊙O的半径是（）
A.
cmB.
cmC.
cmD.2cm
2.如图2,直径AB过⊙O的圆心,与⊙O相交于A、B两点,点C在⊙O上,且∠AOC=30°
点E是直线AB上的一个动点（与点O不重合）,直线EC交⊙O于点D,则使DE=DO的点E共有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.如图3,直角梯形ABCD中,AB=7,AD=2,BC=3,若点P在边AB上移动,使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似,则符合条件的P点有（）
4.如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°
点E平分BC,点P在BD上,且PE+PC=1,探求边AB的最大值.
5.已知如图,在△ABC中,∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆于点D,连结BD、CD、CE,且∠BDA=60°
（1）求证:
△BDE是等边三角形;
（2）若∠BDC=120°
猜想四边形BDCE是怎样的四边形,并证明你的猜想.
B级（答案）
1.A.
2.C.
3.C.设AP=x,则PB=7-x.
①若△PAD∽△PBC,则
∴x=
7,符合条件;
②若△PAD∽△CBP,则
x1=1,x2=6也符合条件.故满足条件的P点有3个.
4.如图,不论P如何移动,因为∠BAD=120°
所以△ADC是等边三角形,取AD的中点F,
连结PF,可得PF=PE.连CF可得CF⊥AD,
根据题意,得PF+PC≥FC,（当点P在FC与BD的交点上时,取等号）.
又∵PF+PC=PE+PC=1,
∴FC≤1,AB≤
所以AB的最大值是
5.
（1）如图,∵AD平分∠BAC,∴∠3=∠4.
又∵∠4=∠5,∴∠3=∠5,
∵∠DBE=∠2+∠5,∠BED=∠1+∠3,∠1=∠2,
∴∠DBE=∠BED.∴DB=DE.
又∵∠BDE=60°
.∴△BDE是等边三角形;
（2）猜想四边形BDCE是菱形,
∵∠BDC=120°
∠BDE=60°
∴∠EDC=60°
∵∠BED=60°
∴BE∥CD.
∵∠3=∠4,∴BD=DC,∴BD=DC,
又∵BD=BE,∴BE
DC,
∴四边形BDCE是平行四边形,
又BD=DC,∴BDCE是菱形.
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