初中数学竞赛第二十四讲探索性问题含解答Word下载.docx

1、MOB=POB;MBO=COP等. （2）角的互补:A+D=180;ABC+BCD=180. （3）角的互余:MBO+MOB=90BOP+COP=90等. （4）线段的垂直:OMAB;ONCD:OPBC;OBOC. （5）共线点:N、O、M三点在一条直线上.（6）线段的相等:BM=PB=MA;CN=CP=ND;OP=OM=ON;BC=BM+CN;AB+CD=AD+BC=2AD. （7）三角形全等:MBOPBO;NOCPOC. （8）三角形相似:OCBMOB（或PBO）NOC（或PCO）. （9）比例线段:通过相似三角形对应边成比例,可找到多组成比例线段关系.（10）作为比例中项的线段:OP是B

2、P与CP的比例中项,也是MB与NC的比例中项;MN是AB与CD的比例中项;OB是MB与BC的比例中项;OC是NC与BC的比例中项.点评 解此问题时最好要有条理性,先从某个角度进行分析,待不能再挖掘出新的对等或成比例的关系后,应及时地换一个角度再思考. 例2 如图,EB是O的直径,且EB=6.在BE的延长线上,取点P,使EP=EB.A是PE上一点,过A作O的切线AD,切点为D.过D作DFAB于点F,过B作AD的垂线BH,交AD的延长线于点H.连结ED和FH. （1）若AE=2,求AD的长; （2）当点A在EP上移动（点A不与点E重合）时,是否总有?试证明你的结论.设ED=x,BH=y,求y与x的

3、函数关系式,并写出自变量x的取值范围.解析 （1）AD切O于D,AE=2,EB=6,AD2=AEAB=2（2+6）=16. AD=4; （2）无论点A在EP上怎么移动（点A不与点E重合）,总有 证明 连结BD,交FH于G.AH是O的切线,D为切点,3=4.又BHAH,BE为直径,BDE=90,1=90-3=90-4=2.在DFB和DHB中,DHB=90,1=2,DB=DB,DFBDHB.BF=BH.BHF是等腰三角形.1=2,BGFH,即BDFH.BDDE,EDFH, 设ED=x,BH=y,BE=6,BF=BH, EF=6-y.DF是RtBDE斜边上的高,DFEBDE,即ED2=EFEB. x

4、2=6（6-y）,即y=-x2+6. 点A不与点E重合,ED=x0,当点A从点E向左移动,ED逐渐增大,A和P重合时,ED最大,这时,连结OD,则ODPH,ODBH.又PO=PE+EO=6+3=9,PB=12, ,BH=4,BF=BH=4. EF=EB-BF=6-4=2. 由ED2=EFEB,得x2=26=12. x0,x=2,0x2 故所求的函数关系式为y=-x2+6,自变量x的取值范围是02时,PA交CD于E. （1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长. （2）求APQ的面积S和t的函数关系式;（3）当QE恰好平分APQ的面积时,QE的长是多少厘米?解析 （1）BP=t,CQ=2t,PC

5、=t-2,由ECAB,且AB=4,得PECPAB,即EC=QE=QC-EC=2t-=（2）过P作PEL,垂足为F,交QC的延长线于点G,因1=60,PF=PB.sin60t. 又CDL,故PGCD.SAPQ=SEQA+SEPQQEGF+PG=QE（GF+GP）= .PFt= （t2-2t+4）;（3）因为APQ是由QEA和QEP组成,又这两个三角形具有公共的底QE,所以只须G平分PF,即当C为PB的中点时,QE即平分PAQ的面积,于是由t-2=2,可得t=4,从而有: QE=6（cm）. 这是一个点以定速沿规定方向移动的几何问题,求解此题的关键是抓住动点移动的时间与各量之间的关系. 例2 AB

6、是O的直径,把AB分成n条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,设AB=a,那么O的周长L=a, 计算:（1）如图1,把AB分成两条相等的线段,每个圆的周长L2=a=L; （2）如图2,把AB分成三条相等的线段,每个小圆的周长L3=_;（3）把AB分成四条相等的线段,每个小圆的周长L4=_. （1） （2） （3） （4）如图3,把AB分成n条相等的线段,每个小圆的周长Ln=_. 结论:把大圆的直径分成n条相等的线段以每条线段为直径分别画小圆,那么每个小圆的周长是大圆周长的_. 请依照上面的探索方法和步骤,计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系.解析 （2） L （3） L （4） L ;结

7、论;又由直径与面积的关系,得:面积关系为,每个小圆面积是大圆面积的 此题先给出了特殊范例,然后要求归纳出一般性的规律,这类问题的解法因题而异,没有固定的解题模式,只有多练习多思考,提高观察、推理,归纳能力,遇到这类问题才会很快找到解法.中考真题欣赏例1 （2003年北京市中考题）如图, ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF,请你以F为端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）.证明 四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,ADBC.DAE=BCF.在BCF和DAE中,CB=AD,BCF=DAE,CF=AE,BCF

8、DAE. BF=DE. 本题是一个常见的几何基本图形,可创设新的图形背景,使之成为我们合情推理能力的生长点. 例2 （2003年吉林省中考题）如图,AB是半圆O的直径,点M是半径OA的中点,点P在线段AM上运动（不与点M重合）,点Q在半圆O上运动,且总保持PQ=PO,过点Q作半圆O的切线交BA的延长线于点C. （1）QPA=60时,请你对QCP的形状做出猜想,并给予证明; （2）当QPAB时,QCP的形状是_三角形.（3）由（1）、（2）得出的结论,请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时,QCP一定是_三角形. 解析 （1）QCP是等边三角形. 证明 连结OQ,则CQOQ, PQ=PO

9、,QPC=60 POQ=PQO=30,C=90-30=60 CQP=C=QPC=60 QPC是等边三角形. （2）等腰直角三角形. （3）等腰三角形. 本题设计精灵,考查我们的推理能力,并且探求方式扩展到了由特殊到一般的归纳推理模式,使数学学习经历从合情推理到演绎推理的完整过程.竞赛样题展示例1 （2000年黄冈市数学竞赛试题）如图,堆放在车厢里的两根圆木紧紧挨在一起,两根圆木的半径分别为9dm和4dm,为了有效地利用空间,现要在两根圆木的间隙处插进一根半径为1.5dm的小圆木,问能否做到?解析 O1、O2的半径分别为R、r.连结O1O2,O1C,O2B,O3G,过O2作O2DO1C交O1C于

10、点D,过O3作O2D的平行线交O2B,O1C于点E、F.设O3的半径为x,则在RtO2O3E中,E= =2 又BG=O3E,在RtO1O3F中 CG=O3F= O2D=EF=BC=2+2, 在RtO1O2D中,（R+r）2-（R-r）2=O2D2, O2D=2 由、,得:2 即x= 当R=9和r=4时,x= ,故半径为的圆木不能插进两圆木的间隙. 本题实质上是求O1和O2相外切同时O1、O2又和直线（截面图形）相切的O3,在此情况下,已知O1、O2的半径,O3的半径也就可求出来了. 例2 （江苏省初中数学竞赛题）如图,AB是半圆的直径,ACAB,AC=AB.在半圆上任取一点D,作DECD,交A

11、B于点E,BFAB交AD的延长线于点F. （1）设AD是x的弧,若要使点E在线段BA的延长线上,求x的取值范围;（2）不论点D取在半圆的什么位置,图中除AB=AC外,还有两条线段一定相等,指出这两条相等的线段,并予以证明.解析 （1）当E点由右趋向于点A时,ADB将成为等腰直角三角形,即D点为OS与O的交点,这里OSAB,所以,点E从右运动到点A时,AD是45的弧,即x=45.当点E离开点A在BA的延长线时,离点A越近,点D越接近于点A,因此x接近于0,D为A点时,x=0,所以满足题设要求的x的范围是0x45. （2）由题意,知CDE=90,CAB=EBF=90,ADB=90 AC为圆的切线,

12、CAD=ABD.DEB=180-AED=180-（360-180-C）=C,ACDEBD,又ABD=BFD,所以ABDBFD, 所以,AB=AC,BE=BF. 此题是探索结论问题,是在给定的条件下,探求相应的结论,解这类问题的思路是:从给定的条件出发,进行探索,归纳,猜想出结论,然后对猜想出的结论进行证明.全能训练A级1.请你观察思考下列计算过程:因112=121,所以=11;同样,1112=12 321,因为由此猜想: =_.2.观察一列数:3,8,13,18,23,28,依此规律,在此数列中比2000大的最小整数是_.3.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律,拼成若干个图案: 问

13、:（1）第4个图案中有白色地面砖_块.（2）第n个图案中有白色地面砖_块.4.将一张长方形的纸对折,如图所示可得到一条折痕（图中虚线）,继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到_条折痕,如果对折n次,可以得到_条折痕.5.已知,如图,线段AMDN,直线L与AM、DN分别交于点B、C,直线L绕BC的中点P旋转（点C由点D向点N方向移动）. （1）线段BC与AD、AB、CD围成的图形,在初始状态下,形状是ABD（即ABC）请你写出变化过程中其余的各种特殊四边形名称;（2）任取变化过程中的两个图形,测量AB、CD长度后分别计算同一个图形的AB+

14、CD（精确到1cm）,比较这两个和是否相同?试加以证明.6.如图,AB是O的直径,O过AC的中点D,DEBC,垂足为E. （1）由这些条件,你能推出哪些正确结论?（要求:不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中,不写推理过程写出4个结论即可）; （2）若ABC为直角,其他条件不变,除上述结论外,你还能推出哪些正确结论?并画出图形（要求:写出6个结论即可,其他要求同（1）.A级（答案）1.111 111 111.2.2 003.3.（1）18;（2）4n+2.4.15,2n-1或1+2+22+23+2n-1.5.（1）一般梯形,等腰梯形、直角梯形和平行四边形;（2）经测量计算,

15、两个图形的AB+CD都是相等的.6.（1）第一类:如图,连结BD,可得结论:AB=BC（或A=C）;DE2=BEEC;DE是AD和BE的比例中项;DC2=ECBC（或AD2=ECBC）;、第二类:连结OD,可得结论;ODBC;ODDE;DE是O的切线从中任选4个结论即可.（2）如图,第一类:不添加辅助线,可得结论:BC是O的切线;DEAB;CE=EB;CDECAB;CB2=CDCA;CD=DA=CE:EB;SCDE:SCAB=1:4;第二类:作辅助线.第一种情形:连结BD,可得结论:DE=BE=CE;A=C=45第二种情形:连结OD,可得结论,CE=DE=BE=AO=BO;（11）.DE是O的

16、切线从中任选6个结论即可.B级1.如图1,ABC中,C=90,AC=8cm,AB=10cm,点P由点C出发以2cm/s的速度沿线段CA向点C运动（不运动至点A）,O的圆心在BP上,且O分别与AB、AC相切,当点P运动2s时,O的半径是（ ） A. cm B. cm C. cm D.2cm2.如图2,直径AB过O的圆心,与O相交于A、B两点,点C在O上,且AOC=30,点E是直线AB上的一个动点（与点O不重合）,直线EC交O于点D,则使DE=DO的点E共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.如图3,直角梯形ABCD中,AB=7,AD=2,BC=3,若点P在边AB上移动,使得以P、A

17、、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似,则符合条件的P点有（ ）4.如图,在菱形ABCD中,DAB=120,点E平分BC,点P在BD上,且PE+PC=1,探求边AB的最大值.5.已知如图,在ABC中,BAC与ABC的平分线AE、BE相交于点E,延长AE交ABC的外接圆于点D,连结BD、CD、CE,且BDA=60 （1）求证:BDE是等边三角形; （2）若BDC=120,猜想四边形BDCE是怎样的四边形,并证明你的猜想.B级（答案）1.A.2.C.3.C.设AP=x,则PB=7-x. 若PADPBC,则,x=7,符合条件;若PADCBP,则,x1=1,x2=6也符合条件.故满足条件的

18、P点有3个.4.如图,不论P如何移动,因为BAD=120所以ADC是等边三角形,取AD的中点F,连结PF,可得PF=PE.连CF可得CFAD,根据题意,得PF+PCFC,（当点P在FC与BD的交点上时,取等号）.又PF+PC=PE+PC=1,FC1,AB所以AB的最大值是5.（1）如图,AD平分BAC,3=4.又4=5,3=5,DBE=2+5,BED=1+3,1=2,DBE=BED.DB=DE.又BDE=60.BDE是等边三角形;（2）猜想四边形BDCE是菱形,BDC=120,BDE=60,EDC=60BED=60,BECD.3=4,BD=DC,BD=DC,又BD=BE,BEDC,四边形BDCE是平行四边形,又BD=DC, BDCE是菱形.