九年级数学相似三角形的判定学生版知识点+例题Word文档下载推荐.docx
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1．判定方法
（一）：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
2．判定方法
（二）：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
3．判定方法（三）：
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
4．判定方法（四）：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
要点三、相似三角形的常见图形及其变换：
【典型例题】
类型一、相似三角形
1.下列能够相似的一组三角形为（）.
A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形
C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形
举一反三：
下列图形中，必是相似形的是（）．
A．都有一个角是40°
的两个等腰三角形 B．都有一个角为50°
的两个等腰梯形
C．都有一个角是30°
的两个菱形 D．邻边之比为2：
3的两个平行四边形
类型二、相似三角形的判定
2.如图所示，已知
中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
3.梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E、F分别
为AB、BC的中点，EF与BD交于M．
（1）求证：
△EDM
∽△FBM；
（2）若DB=9，求MB的长．
4.已知：
如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：
BP2＝PE·
PF．
1、如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：
AF·
FD=CF·
FE．
2、如图，F是△ABC的AC边上一点，D为CB延长线一点，且AF=BD,连接DF,交AB于E.求证：
.
3、已知：
如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．
求证：
△ADQ∽△QCP．
4、如图，弦
和弦
相交于
内一点
，求证：
.
4、如图，小正方形边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与
相似的是哪一个？
图
（1） 图
（2） 图（3） 图（4）
5、如图，正方形ABCD和等腰Rt
，其中
，G是CD与EF的交点．
≌
．
（2）若
，
，求
的值．
【巩固练习一】
一、选择题
1.下列判断中正确的是（）.
A.全等三角形不一定是相似三角形B.不全等的三角形一定不是相似三角形
C.不相似的三角形一定不全等 D.相似三角形一定不是全等三角形
2．已知△ABC的三边长分别为
、
、2,△A′B′C′的两边长分别是1和
如果△ABC与△A′B′C′相似,那么△A′B′C′的第三边长应该是（）.
A.
B.
C.
D.
3．如图，在大小为4×
4的正方形网格中，是相似三角形的是（）．
① ② ③ ④
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．②和④
4.在△ABC和△DEF中， ①∠A=35°
，∠B=100°
，∠D=35°
，∠F=45°
；
②AB=3cm，BC=5cm，∠B=50°
，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°
其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件（）.
A.只有① B.只有② C.①和②分别都是 D.①和②都不是
5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°
，则一定有（）.
A．ΔADE∽ΔAEF
B．ΔECF∽ΔAEF
C．ΔADE∽ΔECF
D．ΔAEF∽ΔABF
6.如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：
EA=2：
3，EF=4，则CD的长为（）.
A.
B.8 C.10 D.16
二、填空题
7.如图所示，D、E两点分别在AB、AC上，且DE和BC不平行，请你填上一个你认为合适的条件_______使△ADE∽△ACB.
8如图所示，∠C=∠E=90°
，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.
9.如图所示，在直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）.
10.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.
11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为_________.
12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.
三．解答题
13.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求
的值及AC、EC的长度．
14.如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°
，且
BD⊥CD．
15.已知在Rt△ABC中，∠C=90°
，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°
，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？
为什么？
【巩固练习二】
1.已知△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为4：
3，△A2B2C2与△A3B3C3的相似比为4：
5，则△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为（）.
A.16：
15 B.15：
16 C.3：
5 D.16：
15或15：
16
2．如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（）.
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
3.如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE=
AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：
CD为（）.
A.2：
1 B.3：
2 C.3：
1 D.5：
2
4.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（）.
A．∠AEF＝∠DEC B．FA∶CD＝AE∶BC C．FA∶AB＝FE∶EC D．AB＝DC
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°
，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似三角形有（）．
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
6.如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（）.
A.∠APB=∠EPC B.∠APE=90°
C.P是BC的中点 D.BP：
BC=2：
3
7.如图,∠1=∠2=∠3,则图中与△CDE相似三角形是________和________.
8.如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有_________对.
9.如图，
是正方形ABCD的外接圆，点F是AB的中点，CF的延长线交
于点E,则CF:
EF的值是________________.
10.如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN,
则①△ABM∽△ACB,②△ANC∽△AMB,③△ANC∽△ACM,④△CMN∽△BCA中正确的有___________.
11.如图，在平行四边形ABCD中，M,N为AB的三等分点，DM,DN分别交AC于P,Q两点，则AP：
PQ:
QC=____________.
12.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB,MN=1.线段MN的两端在CB,CD边上滑动，当CM=______时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.
三、解答题
13.如图，
都是等边三角形，且B、C、D共线，BE分别和AC、AD相交于点M、G，CE和AD相交于点N．
求证：
（1）CG平分
．
（2）
．
14.如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△EAF与△EBA相似吗？
说说你的理由．
15.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.
（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：
△CAO∽△BCO；
（2）如果AP=m（m是常数，且
），BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时，求
的值（结果用含m的式子表示）；
（3）在
（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.
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