函数的单调性与最值(基础+复习+习题).doc

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函数的单调性与最值

一.函数单调性和单调区间的定义：

类别

增函数

减函数

图像

描述

自左向右看：

图像是

自左向右看：

图像是

单调性

定义

一般地，设函数的定义域为，区间，如果对于区间内任意两个

自变量

当时，都有，

那么，就称在区间上是增函数

当时，都有，

那么，就称在区间上是减函数

单调

区间

若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间具有，区间叫做的

导数

2.函数单调性的定义：

①如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内时减函数。

②设函数在某区间内可导，若，则为的增函数；若，则为的减函数.

3.单调性的定义①的等价形式：

设，那么在是增函数；

在是减函数；

在是减函数。

函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.

即若在区间上递增（递减）且（）；

若在区间上递递减且.（）.

5.在公共定义域内，利用函数的运算性质：

若、同为增函数，则

③为增函数；②为减函数；

③为增函数；④为减函数.

〖针对性练习〗

1.函数的单调区间是（）

A．（-，+）B.（-，0）（1，，）

C.（-，1）、（1，）D.（-，1）（1，）

2.下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是（  ）.

　A．  　B．   C．　　D．

3．函数的增区间是（  ）。

　A．[-3，-1]B．[-1,1]C． D．

4、已知f（x）是定义在（－2，2）上的减函数，并且f（m－1）－f（1－2m）＞0，求实数m的取值范围．

5、定义在（－1，1）上的函数是减函数，且满足：

，求实数的取值范围。

6．已知函数f（x）＝x3－3x2－9x，则函数f（x）的单调递增区间是（　　）

A．（3,9）　　B．（－∞，－1），（3，＋∞）C．（－1,3）D．（－∞，3），（9，＋∞）

解析：

选B　∵f（x）＝x3－3x2－9x，

∴f′（x）＝3x2－6x－9＝3（x2－2x－3）．

令f′（x）＞0知x＞3或x＜－1.

7.已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围

二.函数的最值

前提

设函数的定义域为，如果存在实数满足

条件

对于任意，都有

存在，使得

对于任意，都有

存在，使得

结论

为最大值

为最小值

例1、f（x）＝x2－2x（x∈[－2,4]）的单调增区间为________；f（x）max＝________.

2．

（1）函数f（x）＝在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．

〖针对性练习〗

1．函数y＝4x－x2，x∈[0，3]的最大值、最小值分别为（）

（A）4，0 （B）2，0 （C）3，0 （D）4，3

2．函数的最小值为（）

（A） （B）1 （C）2 （D）4

3、函数在区间〔0，5〕上的最大值、最小值分别是（）

A.B.C.D.最大值，无最小值。

4．函数y＝2x2－4x－1x∈（－2，3）的值域为______．

5．函数的值域为______．

6、函数的值域是。

7．求函数的值域．

三.常见初等函数的单调区间①幂函数②指数函数③对数函数④三角函数

四.复合函数的单调性

1、定义：

设y=f（u）,u=g（x）,当x在u=g（x）的定义域中变化时，u=g（x）的值在y=f（u）的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为

　　y=f（u）=f[g（x）]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）

2、复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律如下：

函数单调性

增增减减

增减增减

增减减增

〖针对性练习〗

1.函数的单调增区间为

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