第十二章电磁感应 电磁场.docx

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第十二章电磁感应电磁场

第十二章　电磁感应　电磁场和电磁波

12－3　有两个线圈，线圈1对线圈2的互感系数为M21，而线圈2对线圈1的互感系数为M12．若它们分别流过i1和i2的变化电流且，并设由i2变化在线圈1中产生的互感电动势为12，由i1变化在线圈2中产生的互感电动势为ε21，下述论断正确的是（　　）．

（A），

（B），

（C），

（D），

分析与解　教材中已经证明M21＝M12，电磁感应定律；．因而正确答案为（D）．

12－5　下列概念正确的是（　　）

（A）感应电场是保守场

（B）感应电场的电场线是一组闭合曲线

（C），因而线圈的自感系数与回路的电流成反比

（D），回路的磁通量越大，回路的自感系数也一定大

分析与解　对照感应电场的性质，感应电场的电场线是一组闭合曲线．因而

正确答案为（B）．

12－7载流长直导线中的电流以的变化率增长.若有一边长为d的正方形线圈与导线处于同一平面内，如图所示.求线圈中的感应电动势.

分析本题仍可用法拉第电磁感应定律，来求解.由于回路处在非均匀磁场中，磁通量就需用来计算.

为了积分的需要，建立如图所示的坐标系.由于B仅与x有关，即B=B（x），故取一个平行于长直导线的宽为dx、长为d的面元dS，如图中阴影部分所示，则dS=ddx，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元dS=dxdy，则上述积分实际上为二重积分）.本题在工程技术中又称为互感现象，也可用公式

求解.

解1穿过面元dS的磁通量为

因此穿过线圈的磁通量为

再由法拉第电磁感应定律，有

解2当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为

线圈与两长直导线间的互感为

当电流以变化时，线圈中的互感电动势为

题12-7图

12－11　长为L的铜棒，以距端点r处为支点，以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动.设磁感强度为B的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差．

题12-11图

分析　应该注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念，如同电源的端电压与电源电动势的不同．在开路时，两者大小相等，方向相反（电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向）．本题可直接用积分法求解棒上的电动势，亦可以将整个棒的电动势看作是OA棒与OB棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．而EOA和EOB则可以直接利用第12－2节例1给出的结果．

解1　如图（ａ）所示，在棒上距点O为l处取导体元ｄl，则

因此棒两端的电势差为

当L＞2r时，端点A处的电势较高

解2　将AB棒上的电动势看作是OA棒和OB棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．其中

则

12－12　如图所示，长为L的导体棒OP，处于均匀磁场中，并绕OO′轴以角速度ω旋转，棒与转轴间夹角恒为θ，磁感强度B与转轴平行．求OP棒在图示位置处的电动势．

题12-12图

分析　如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律计算（此时必须构造一个包含OP导体在内的闭合回路，如直角三角形导体回路OPQO），也可用来计算．由于对称性，导体OP旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的．

解1　由上分析，得

由矢量的方向可知端点P的电势较高．

解2　设想导体OP为直角三角形导体回路OPQO中的一部分，任一时刻穿过回路的磁通量Φ为零，则回路的总电动势

显然，EQO＝0，所以

由上可知，导体棒OP旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP等效．

12－14　如图（ａ）所示，在“无限长”直载流导线的近旁，放置一个矩形导体线框，该线框在垂直于导线方向上以匀速率v向右移动，求在图示位置处，线框中感应电动势的大小和方向．

题12-14图

分析　本题亦可用两种方法求解．其中应注意下列两点：

（1）当闭合导体线框在磁场中运动时，线框中的总电动势就等于框上各段导体中的动生电动势的代数和．如图（ａ）所示，导体eh段和fg段上的电动势为零［此两段导体上处处满足］，因而线框中的总电动势为

其等效电路如图（ｂ）所示．

（2）用公式求解，式中Φ是线框运动至任意位置处时，穿过线框的磁通量．为此设时刻t时，线框左边距导线的距离为ξ，如图（c）所示，显然ξ是时间t的函数，且有．在求得线框在任意位置处的电动势E（ξ）后，再令ξ＝d，即可得线框在题目所给位置处的电动势．

解1　根据分析，线框中的电动势为

由Eef＞Ehg可知，线框中的电动势方向为efgh．

解2　设顺时针方向为线框回路的正向．根据分析，在任意位置处，穿过线框的磁通量为

相应电动势为

令ξ＝d，得线框在图示位置处的电动势为

由E＞0可知，线框中电动势方向为顺时针方向．

12－15　在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B的方向与柱的轴线平行．如图（ａ）所示，有一长为l的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化率为常量．试证：

棒上感应电动势的大小为

题12-15图

分析　变化磁场在其周围激发感生电场，把导体置于感生电场中，导体中的自由电子就会在电场力的作用下移动，在棒内两端形成正负电荷的积累，从而产生感生电动势．由于本题的感生电场分布与上题所述情况完全相同，故可利用上题结果，由计算棒上感生电动势．此外，还可连接OP、OQ，设想PQOP构成一个闭合导体回路，用法拉第电磁感应定律求解，由于OP、OQ沿半径方向，与通过该处的感生电场强度Ek处处垂直，故，OP、OQ两段均无电动势，这样，由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路的总电动势，就是导体棒PQ上的电动势．

证1　由电磁感应定律，在r＜R区域，

解得该区域内感生电场强度的大小

设PQ上线元ｄx处，Ek的方向如图（b）所示，则金属杆PQ上的电动势为

证2　由法拉第电磁感应定律，有

12－18　有两根半径均为a的平行长直导线，它们中心距离为d．试求长为l

的一对导线的自感（导线内部的磁通量可略去不计）．

题12-18图

分析　两平行长直导线可以看成无限长但宽为d的矩形回路的一部分．设在矩形回路中通有逆时针方向电流I，然后计算图中阴影部分（宽为d、长为l）的磁通量．该区域内磁场可以看成两无限长直载流导线分别在该区域产生的磁场的叠加．

解　在如图所示的坐标中，当两导线中通有图示的电流I时，两平行导线间的磁感强度为

穿过图中阴影部分的磁通量为

则长为l的一对导线的自感为

如导线内部磁通量不能忽略，则一对导线的自感为．L1称为外自感，即本题已求出的L，L2称为一根导线的内自感．长为l的导线的内自感，有兴趣的读者可自行求解．