二次函数之面积专题.doc

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二次函数之面积专题（讲义）

一、知识点睛

1.坐标系中处理面积问题，要寻找并利用“__________”的线．

几何中处理面积问题的思路：

_______、_______、_______．

2.坐标系中面积问题处理方法举例：

①割补求面积（铅垂法）：

②转化求面积：

若P、Q在AB同侧若P、Q在AB异侧

则PQ∥AB则AB平分PQ

二、精讲精练

1.如图，抛物线经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B、C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长．

（3）在

（2）的条件下，连接MB、MC，是否存在点M，使四边形OBMC的面积最大？

若存在，求出点M的坐标及最大面积；若不存在，说明理由．

2.如图，抛物线与直线交于A、C两点，其中C点坐标为（2，t）．

（1）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC面积的最大值．

（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在点G，使得？

如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

3.抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，与直线y=-x+p交于点A和点C（2,-3）.

（1）若点P在抛物线上，且以点P和A、C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP的面积为12，求P、Q两点的坐标；

（2）在

（1）的条件下，若点M是x轴下方抛物线上的一动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．

4.如图，抛物线y＝-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，连接PB．

（1）抛物线上是否存在异于点P的一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

（2）在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？

若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．

5.如图，己知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，己知点H（0，-1），在抛物线上是否存在点G（点G在y轴的左侧），使得S△GHC=S△GHA？

若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

三、回顾与思考

____________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________

【参考答案】

一、知识点睛

1.横平竖直2.公式、割补、转化

二、精讲精练

1.解：

（1）

（2）∵点M在抛物线上，

∴M（m，）

由点B（3,0），C（0,3）可得直线BC解析式：

y=-x+3

∴N（m，-m+3）

∴MN=

（3）过点C作CE⊥MN于点E，直线MN交x轴于点F，则

∴S四边形OBMC

∵0

∴当m=时，S四边形OBMC最大=，此时，M（，）

2.解：

（1）过点P作PE⊥x轴，交AC于点E，

由抛物线得A（-1，0），C（2，3）

设P（m，）（-1

则E（m，m+1）

∴PE=

∴当m=，

（2）过点G作GF⊥x轴，交AC于点F，

设G（n，）（n<-1或者n>2）

则F（n，n+1），

∴

∵，∴，解得n=3或n=-2

∴

3.解：

（1）

由y=x2-2x-3，可知A（-1，0）、B（3，0）

由C（2，-3）在y=-x+p上，可知y=-x-1

过点P作PE⊥x轴，交AC于点E.

设P（m，m2-2m-3），则E（m，-m-1）

∵平行四边形ACQP面积为12

∴

当点P在直线AC上方时，如图1，

图1

∴PE=4，此时PE=m2-2m-3-（-m-1）=m2-m-2

m2-m-2=4，解得m1=3，m2=-2

∴P1（3，0）、P2（-2，5）

由平行四边形对边平行且相等

Q1（6，-3）、Q2（1，2）

当点P在直线AC下方时，如图2，

图2

∴PE=4，此时PE=-m-1-（m2-2m-3）=-m2+m-2

-m2+m-2=4，方程无解.

因此，满足条件的P，Q点是P1（3，0），Q1（6，-3）或

P2（-2，5），Q2（1，2）

（2）由

（1）可知，PQ=AC=，

过M作MF⊥PQ于点F，则

当直线MN与抛物线只有一个交点时，MF最大，此时面积最大

过点M作MN//PQ，交y轴于点N，过N作NH⊥PQ于H

设直线MN为y=-x+n，则由

令△=0，此时n=，N（0，）

得方程，

∴M（，-）

∵MF=NH=

∴

∴△PQM最大面积为，此时点M为（，-）

4..解：

（1）存在，坐标为Q1（2，3）、Q2（，）、Q3（，）

理由：

如图所示

由抛物线表达式：

y=-2x2+2x+3

∴A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）、P（1，4）

∵S△QMB=S△PMB

∴PQ1∥BC，Q2Q3∥BC

又∵BC：

y=-x+3

设PQ1：

y=-x+bPQ1过点P（1，4）

∴PQ1：

y=-x+5

得即

∴x1=1（舍）x2=2

∴Q1（2，3）

又∵PQ1：

y=-x+5，E（0，5）S△QMB=S△PMB

∴CF=CE=2

∴Q2Q3：

y=-x+1

得即

∴x1=x2=

∴Q2（，）Q3（，）

（2）存在，坐标为R（，2）

理由：

过点P作PH⊥MR于点H

过点B作BI⊥MR于点I

连接PB交MR于点O′

∵S△PMR=S△BMR

∴PH=BI

易证△PHO′≌△BIO′

∴PO′＝BO′

又∵P（1，4）B（3，0）

∴O′（2，2）又M（1，2）

∴MO′：

y=2

得即

∴x1=x2=（点R在第一象限，舍去）

∴R（，2）

5.

（1）抛物线表达式为y=x2+2x-3

（2）存在

△GHC和△GHA有一公共边GH，如果以GH为底，对应的高相等，则S△GHC=S△GHA．

i）如图1，

当点A、C在GH的同侧，AC∥GH时，S△GHC=S△GHA

∵A（1，0），C（0，-3）

∴直线AC的表达式为y=3x-3

又∵H（0，-1）

∴直线GH的表达式为y=3x-1

∴或（舍）

∴G（-1，-4）

ii）如图2，

当点A、C在GH的异侧，线段AC的中点在GH上时，S△GHC=S△GHA

∵A（1，0），C（0，-3）

∴线段AC的中点P为

又∵H（0，-1）

此时直线GH的表达式为y=-x-1

或（舍）

∴G

综上G1（-1，-4），G2

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