带通抽样定理.docx
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带通抽样定理
《信号及系统A
（2）》课程自学报告
实施报告
题目：
带通采样定理及软件无线电
带通抽样定理
实际中遇到许多信号是带通型信号，这种信号带宽往往远小于信号中心频率。
若带通信号上截止频率为，下截止频率为，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率，可按照带通抽样定理确定抽样频率。
[定理]带通抽样定理：
一个频带限制在内时间连续信号，信号带宽，令，这里为不大于最大正整数。
如果抽样频率满足条件
，（3.1-9）
则可以由抽样序列无失真重建原始信号。
对信号以频率抽样后，得到采样信号频谱是频谱经过周期延拓而成，延拓周期为，如图3-3所示。
为了能够由抽样序列无失真重建原始信号，必须选择合适延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于和频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。
由于正负频率分量对称性，我们仅考虑频带分量不会出现混叠条件。
在抽样信号频谱中，在频带两边，有着两个延拓频谱分量：
和。
为了避免混叠，延拓后频带分量应满足
（3.1-10）
（3.1-11）
综合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到
（3.1-12）
这里是大于等于零一个正数。
如果取零，则上述条件化为
（3.1-13）
这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。
取得越大，则符合式（3.1-12）采样频率会越低。
但是有一个上限，因为，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍信号带宽，即。
因此
（3.1-14）
由于为不大于最大正整数，因此不大于最大正整数为，故有
综上所述，要无失真恢复原始信号，采样频率应满足
，（3.1-15）
图3-3带通采样信号频谱
带通抽样定理在频分多路信号编码、数字接收机中频采样数字化中有重要应用。
作为一个特例，我们考虑（）情况，即上截止频率为带宽整数倍。
若按低通抽样定理，则要求抽样频率，抽样后信号各段频谱间不重叠，采用低通滤波器或带通滤波器均能无失真恢复原始信号。
根据带通抽样，若将抽样频率取为（值取为），抽样后信号各段频谱之间仍不会发生混叠。
采用带通滤波器仍可无失真地恢复原始信号，但此时抽样频率远低于低通抽样定理要求。
图3-4所示为，时抽样信号频谱。
图3-4，时抽样频谱
在带通抽样定理中，由于，带通抽样信号抽样频率在到之间变化，如图3-5所示。
图3-5带通抽样定理
由以上讨论可知，低通信号抽样和恢复比起带通信号来要简单。
通常，当带通信号带宽大于信号最低频率时，在抽样时把信号当作低通信号处理，使用低通抽样定理，而在不满足上述条件时则使用带通抽样定理。
模拟电话信号经限带后频率范围为300Hz～3400Hz，在抽样时按低通抽样定理，抽样频率至少为6800Hz。
由于在实际实现时滤波器均有一定宽度过渡带，抽样前限带滤波器不能对3400Hz以上频率分量完全予以抑制，在恢复信号时也不可能使用理想低通滤波器，所以对语音信号抽样频率取为8kHz。
这样，在抽样信号频谱之间便可形成一定间隔保护带，既防止频谱混叠，又放松了对低通滤波器要求。
这种以适当高于奈奎斯特频率进行抽样方法在实际应用中是很常见。
软件无线电所覆盖频率范围一般都比较宽,
只有宽频段才能具有广泛适应性,这样宽频段号频谱Xs（ω）可表示为:
+∞
Xs（ω）=1
Tsn=-∑∞X（ω-nωs）
用Nyquist低通采样[1]是不现实,而实际上软件无
线电中各种无线电信号瞬时信号带宽都比较
窄,这样采用带通采样将使采样速率大大降低。
本
文重点是通过对带通采样定理进行严格数学推导
和论证,利用一系列不等式组提出了带通采样理论
上能达到最小采样速率。
用matlab对定理进行仿真
fs=100000;%抽样频率
N=2^16;
t=（0:
N-1）/fs;%t时间
W=（0:
N-1）*fs/N;%W频率
y=cos（1200*2*pi*t）+cos（1250*2*pi*t）+cos（1300*2*pi*t）;
%y原始信号
chyang=zeros（1,N）;%抽样信号
T=round（fs/250）;%频率为250HZ
fori=1:
N
if（mod（i,T）==0）
chyang（i）=1;
end
end
y2=y.*chyang;%y2为抽样后信号
hw=fft（y,N）;%快速傅里叶变换
HW=abs（hw）;%取幅度值
W=（0:
N-1）*fs/N;%频率值
figure
（1）;
subplot（2,1,1）;plot（t（1:
8000）,y（1:
8000））;
gridon;title（'滤波前信号y'）;xlabel（'时间/s'）;%原始信号
subplot（2,1,2）;plot（W（1:
N/64）,HW（1:
N/64））;%查看信号频谱
gridon;title（'滤波前信号频谱图'）;xlabel（'频率/Hz'）;ylabel（'振幅|H（e^jw）|'）;
hwch=fft（chyang,N）;
HWCH=abs（hwch）;%取幅度值
W=（0:
N-1）*fs/N;%频率值
figure
（2）;
subplot（2,1,1）;stem（t（1:
10000）,chyang（1:
10000））;
gridon;title（'抽样信号chyang'）;xlabel（'时间/s'）;
subplot（2,1,2）;plot（W（1:
N/64）,HWCH（1:
N/64））;
agridon;title（'抽样信号频谱图'）;xlabel（'频率/Hz'）;ylabel（'振幅|H（e^jw）|'）;
hw2=fft（y2,N）;%快速傅里叶变换
HW2=abs（hw2）;%取幅度值
W=（0:
N-1）*fs/N;%频率值
figure（3）;
subplot（2,1,1）;plot（t（1:
8000）,y2（1:
8000））;
gridon;title（'采样之后'）;xlabel（'时间/s'）;
subplot（2,1,2）;plot（W（1:
N/64）,HW2（1:
N/64））;
%设置带通滤波器
ws=[1130/fs*2,1370/fs*2];%ws1ws2阻带截止频率
wp=[1180/fs*2,1320/fs*2];%wp1wp2通带截止频率
[n,wn]=buttord（wp,ws,3,15）;%求滤波器阶数n及截止频率wn
[b,a]=butter（n,wn）;%求滤波器H（s）表达式分子分母系数b，a
y3=filter（b,a,y2）;%y2为y经过滤波器之后函数
hw3=fft（y3,N）;
HW3=abs（hw3）;
figure（4）;
subplot（2,1,1）;plot（t（1:
8000）,y3（1:
8000））;%axis（[0,0.1,-0.02,0.02]）;
gridon;title（'滤波后信号'）;xlabel（'时间/s'）;
subplot（2,1,2）;plot（W（1:
N/64）,HW3（1:
N/64））;
gridon;title（'滤波后信号频谱图'）;xlabel（'频率/Hz'）;ylabel（'振幅|H（e^jw）|'）;
信号还原完成
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