函数的单调性与最值 学案Word文档格式.docx

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2．学会利用函数的单调性求单调区间；

3．通过函数的单调性求最值和参数的取值范围；

能力

从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，复习中重点掌握：

（1）函数单调性的判断及其应用；

（2）求函数最值的各种基本方法；

对常见题型的解法要熟练掌握．

情感

态度

价值观

对函数的性质进行强化学习，掌握函数的性质并通过函数的性质对函数进行相关的讨论

知识点

函数的单调性，函数的最值

重难点

课前预习

知识讲解

1．函数的单调性

（1）单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数

当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数

图象

描述

自左向右图象是上升的

自左向右图象是下降的

（2）单调区间的定义

若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做f（x）的单调区间．

2．函数的最值

前提

设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

.

①对于任意x∈I，都有f（x）≤M；

①对于任意x∈I，都有f（x）≥M；

②存在x0∈I，使得f（x0）＝M

②存在x0∈I，使得f（x0）＝M.

结论

M为最大值

M为最小值

例题讲解

考向一　函数的单调性的判断

【例1】►试讨论函数f（x）＝

的单调性．

【训练1】讨论函数f（x）＝

（a≠0）在（－1,1）上的单调性．

考向二　利用已知函数的单调区间求参数的值（或范围）

【例2】►已知函数f（x）＝

（a>

0）在（2，＋∞）上递增，求实数a的取值范围．

【训练2】函数y＝

在（－1，＋∞）上单调递增，则a的取值范围是

（　　）．

A．a＝－3B．a<

3C．a≤－3D．a≥－3

考向三　利用函数的单调性求最值

【例3】►已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＜0，f

（1）＝－

（1）求证：

f（x）在R上是减函数；

（2）求f（x）在[－3,3]上的最大值和最小值．

【训练3】已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f

＝f（x1）－f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0.

（1）求f

（1）的值；

（2）判断f（x）的单调性；

（3）若f（3）＝－1，求f（x）在[2,9]上的最小值．

课后作业

A级　基础达标演练

（时间：

40分钟　满分：

60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1．（2011·

辽宁）函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x＋4的解集为（　　）．

A．（－1,1）B．（－1，＋∞）

C．（－∞，－1）D．（－∞，＋∞）

2．（★）（2011·

课标全国）下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）单调递增的函数是（　　）．

A．y＝x3B．y＝|x|＋1

C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|

3．（2012·

宿州模拟）已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）单调增加，则满足f（2x－1）＜f

的x的取值范围是（　　）．

A.

B.

C.

D.

4．已知函数f（x）＝

（a＞0，且a≠1）是（－∞，＋∞）上的减函数，则a的取值范围是（　　）．

5．函数f（x）＝ln（4＋3x－x2）的单调递减区间是（　　）．

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．函数y＝ln

的单调递增区间是________．

7．（2012·

徐州模拟）已知函数f（x）＝2ax2＋4（a－3）x＋5在区间（－∞，3）上是减函数，则a的取值范围是________．

8．（2011·

合肥二模）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝x2＋2x（x≥0），若f（3－a2）＞f（2a），则实数a的取值范围是________．

三、解答题（共23分）

9．（11分）已知函数y＝f（x）在（0，＋∞）上为增函数且f（x）＜0，试判断F（x）＝

在（0，＋∞）上的单调性并证明．

10．（12分）（2011·

上海）已知函数f（x）＝a·

2x＋b·

3x，其中常数a，b满足ab≠0.

（1）若ab＞0，判断函数f（x）的单调性；

（2）若ab＜0，求f（x＋1）＞f（x）时的x的取值范围．

B级　综合创新备选

30分钟　满分：

40分）

一、选择题（每小题5分，共10分）

1．（2012·

西安质检）设函数y＝f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）＝

取函数f（x）＝2－|x|，当K＝

时，函数fK（x）的单调递增区间为（　　）．

A．（－∞，0）B．（0，＋∞）

C．（－∞，－1）D．（1，＋∞）

2．已知函数f（x）＝x2－2ax＋a，在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g（x）＝

在区间（1，＋∞）上一定（　　）．

A．有最小值B．有最大值

C．是减函数D．是增函数

二、填空题（每小题4分，共8分）

3．（2010·

江苏）已知函数f（x）＝

则满足不等式f（1－x2）>

f（2x）的x的范围是________．

4．（★）（2012·

淮南质检）已知函数f（x）＝

（a是常数且a＞0）．对于下列命题：

①函数f（x）的最小值是－1；

②函数f（x）在R上是单调函数；

③若f（x）＞0在

上恒成立，则a的取值范围是a＞1；

④对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f

＜

其中正确命题的序号是__________（写出所有正确命题的序号）．

三、解答题（共22分）

5．（10分）已知f（x）＝

（x≠a）．

（1）若a＝－2，试证f（x）在（－∞，－2）内单调递增；

（2）若a＞0且f（x）在（1，＋∞）内单调递减，求a的取值范围．

6．（12分）函数f（x）对任意的a、b∈R，都有f（a＋b）＝f（a）＋f（b）－1，并且当x>

0时，f（x）>

1.

f（x）是R上的增函数；

（2）若f（4）＝5，解不等式f（3m2－m－2）<

3.

错题分析

1、错题：

原因分析：

如何改正：

2、错题：

3、错题：

4、错题：