第十三讲 统筹优化问题Word格式.docx

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返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了2+1=3（分钟）；

第三步：

最后小强与小蓉一起过桥用了2.5分钟；

所以，4个人都通过小木桥，最少用2.5+3+2.5=8（分钟）．

【例2】（2000年小数报数学邀请赛）（难度系数：

★★）烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？

【前铺】

（奥数网备选题库）（难度系数：

★★）用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎1993个饼至少需要几分钟？

问煎1994个饼至少需要几分钟？

如果只煎1个饼，显然需要2分钟；

如果煎2个饼，仍然需要2分钟；

如果煎3个饼，初学者看来认为至少需要4分钟：

因为先煎2个饼要2分钟；

再单独煎第3个饼，又需要2分，所以一共需要4分钟．但是，这不是最佳方案．最优方法应该是：

首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟；

其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟；

最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；

这样总共只用3分钟就煎好了3个饼．

我们归纳出煎1、2、3个饼分别需要2、2、3分钟，我们可以继续往下分析，煎4个饼最少需要4分钟，煎5个饼需要3＋2＝5分钟，煎6个饼需要6÷

2×

2＝6分钟，煎7个饼需要3＋4÷

2＝7分钟，那么煎1993个饼至少需要1993分钟，煎1994个饼至少需要1994分钟.

原题解答;

先将两块饼同时放人锅内一起烙，3分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再放人第三块，又烙了3分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分钟，锅内的两块饼均已烙熟．这样烙3块饼，用去9分钟，烙后21-3=18块饼，至少用去18÷

6=54（分钟），所以一共需要54+9=63分钟.如果烙22块饼，我们就无需考虑的那么复杂了，所用时间就是22÷

6=66分钟.

【例3】（06年国家公务员二类考卷）（难度系数：

★★★）某商店汽水做促销活动，规定每5个空瓶能换1瓶汽水.小强家买了80瓶汽水，喝完后再按规定用空瓶去换汽水，那么他们家前后最多能喝到多少瓶汽水？

（此题主要是让学生有兴趣把这个答案试出来，并明白可以借瓶的概念.）（03年国家公务员考试）（难度系数：

★★）小新和他的五个朋友去喝汽水，他们身上有12元，每瓶汽水3元，每三个空汽水瓶可以换一瓶汽水，请问怎样才能每人喝到一瓶汽水？

12元可以买4瓶汽水，用其中3个空瓶换1瓶汽水，加上剩下的1个空瓶，再向卖汽水的借一个空瓶，用这3个空瓶再换一瓶.喝完后再把这个空瓶还了！

4+1+1＝6瓶.

原题解答：

（法1）我们按照实际换汽水过程分析：

　　喝掉80瓶汽水，用80个空瓶换回16瓶汽水；

　　喝掉16瓶汽水，用16个空瓶换回3瓶汽水余1个空瓶；

　　喝掉3瓶汽水，连上次余下的1个空瓶还剩4个空瓶.此时，再借1个空瓶，与剩下的4个空瓶一起又可换回1瓶汽水，喝完后将空瓶还了.

　　所以，他们家前后最多能喝到汽水：

80+16+3+1=100（瓶）.

　　以上方法正确运用“5个空瓶可换1瓶汽水”这个条件，特别是最后一次换瓶的技巧，你不充分利用可就“吃亏了”！

但如果一开始瓶数很多，那么这个换的过程就会很长.有没有简便的算法呢？

（法2）注意到“每5个空瓶可换一瓶汽水”（连汽水带瓶）这个条件，可知每4个空瓶就能换到一瓶汽水（不带瓶），那么喝剩的80个空瓶共能换到20瓶汽水，所以小强家前后共能喝到80+20=100（瓶）汽水.综合式是80+80÷

（5-1）=100（瓶）。

（法3）每4个空瓶就能换到1瓶汽水（不带瓶），即1个空瓶能换

瓶汽水，那么买1瓶汽水实际能喝到（1+

）瓶汽水，因此他家前后共能喝到80×

（1+

）=100瓶汽水.

【例4】（07年希望六年级杯培训试题改编）（难度系数：

★★★）学校师生1140人外出参观，计划每人发2瓶汽水，商店规定每6个空汽水瓶可以换1瓶汽水，老师最少买多少瓶汽水，合理筹划，回收空瓶换汽水后，可以保证每人按计划喝到汽水？

每6个空瓶就能换到1瓶汽水，即每5个空瓶就能换到1瓶汽水（不带瓶），即1个空瓶能换

瓶汽水，那么买一瓶汽水实际能喝到（1+

）瓶汽水，因此需要买1140×

2÷

）=1900（瓶）汽水.

【例5】

（奥数网习题库）（难度系数：

★★★）有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水．可以用粗、细两种水管，粗管每千米7000元，细管每千米2000元．粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如右图所示（图中单位是千米），现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？

由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管．那么从县城到A1村要铺设10根细管，A1村到A2村要铺设9根细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况．

　　因为粗管每千米7000元，细管每千米2000元，所以4根细管的价钱将大于1根粗管的价钱．这样一来，凡是超过3根细管的路段，都应改铺粗管．

因此，从县城到A7村铺1根粗管，A7村到A8村铺3根细管，A8村到A9村铺2根细管，A9村到A10村铺1根细管．总费用为：

7000×

（30+5+2+4+2+3+2）+2000×

（2×

3+2×

2+5×

1）=366000（元）.

类型Ⅱ：

沙漠探险

【例6】

★★★★）有5位探险家计划横穿沙漠.他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶315千米的汽油。

显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠。

于是，他们计划在保证其余车安全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠。

当然，实现这一计划需要几辆车相互借用汽油。

问：

穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠?

如右图所示，5辆车从A点一起出发，到B点时第1辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余4辆车，注意，B点的最佳选择应满足刚好使这4辆车全部加满汽油；

剩下的4辆车继续前进，到C点时第2辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余3辆车，使它们刚好加满汽油；

剩下的3辆车继续前进……到E点时，第4辆车留下返回A点的汽油，剩下的汽油转给第5辆车.此时，第5辆车是加满汽油的，还能向前行驶315千米.

以这种方式，第5辆车能走多远呢?

我们来算算.

5辆车到达B点时，第1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返AB的汽油，所以应把行驶315千米的汽油分成6份，2份供自己往返AB，4份给另外4辆车每辆加l份，刚好使这4辆车都加满汽油.AB长为：

315÷

6=52.5（千米）；

4辆车从B点继续前进，到达C点时，4辆车共消耗掉4份（BC）汽油，再加上第2辆车从C经B返回A，所以第2辆车是把汽油分成：

5份BC+1份AB=315（千米），由上可知6份AB=315（千米），所以AB=BC，也就是说第2辆车仍是把汽油分成6份，3份供自己从B到C，再从C返回A，3份给另外3辆车加满汽油，由此知BC长也是52．5千米.

同理，CD=DE=52．5（千米）.

所以第5辆车最远能行驶52．5×

4+315=525（千米）.

一般地，如果有n（n>

1）辆相同的汽车，每辆车带的油都恰好够行驶s千米的路程，其它条件不变，那么第1辆车行驶

千米返回，在最后一辆车“冲刺”之前，最后一辆车已行驶了（n-1）个

千米，所以最后一辆车能行驶：

这个问题解决的很完美.但是，这是基于汽油只能由汽车携带，不能留在途中供返回的汽车使用这个前提.如果允许将汽油留在途中供返回的汽车使用，情况就大不相同了.可参看附加2.

【例7】（奥数网习题库）（难度系数：

★★★★）甲乙两个人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人24天的食物和水，如不允许将部分食物放于途中，那么其中一个人最多可以深入沙漠多少千米？

（要求最后两人都回到出发点）

（法一）：

利用上例思路解答，所以可以往前行走16天的路程.

（法二）：

可以设走了x天后，乙把食物补给甲，此时乙还需预留x天的食物，所以乙还能补给甲（24－2x）天的食物。

而甲此时也已消耗掉了x天的食物，为了给甲补满，所以需要：

24－2x＝x,可得x＝8，剩下的24天食物，B只能再向前走8天，留下16天的食物供返回时用.故B可以向沙漠深处走16天.

类型Ⅲ：

排队问题

【例8】（07年希望杯六年级培训试题）（难度系数：

★★★）理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟.怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？

最少要用多少时间？

★★）5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟．如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？

并求出最小值．

5个人排队一共有5×

4×

3×

1=120种顺序，把所有情形的时间总和都计算出来，就太繁琐了．我们不妨先来看一个简单的例子：

小新理发用10分钟，妈妈烫发用240分钟，只有一个理发师，那么怎样使两个人等待的时间总和最少？

很容易我们就知道，要让用时较短的人先理发比较合理.同样对于本例题，把打水需1分钟的人排在第一位置所费总时间最省．其次，再将打水需2分钟的人调整到第二位置；

将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到第三、四、五位．所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队，所费时间最省．这样得出5人排队和打水时间总和的最小值是：

1×

5+2×

4+3×

3+4×

1=35（分钟）.教师在此刻多多举例联系，让学生在充分理解的基础上准确计算出时间总和的最小值.

一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理.甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；

乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的.甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10×

3）分；

然后，甲给需15分钟的人理发，有1人等待，占用两人的时间和为（15×

2）分；

最后，甲给需24分钟的人理发，无人等待.甲理发的三个人，共用（10×

3＋15×

2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×

2＋20）分。

总的占用时间为（10×

2＋24）＋（12×

2＋20）=128（分）.

按照上面的安排，从第一人开始理发到五个人全部理完，用了10＋15＋24＝49（分）.如果题目中再要求从第一人开始理发到五人全部理完的时间最短，那么做个调整，甲依次给需10，12，20分钟的人理发，乙依次给需15，24分钟的人理发，总的占用时间仍是128分钟，而五人全部理完所用时间为10＋12＋20＝42（分）.

【例9】（101培训试题）（难度系数：

★★★★）车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元.现有两名工作效率相同的修理工，

（1）怎样安排才能使得经济损失最少？

（2）怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？

（1）一人修17、20、30，另一人修18、25；

最少的经济损失为：

5×

（17×

3+20×

2+30+18×

2+25）=910（元）.

（2）因为（18＋30＋17＋25＋20）÷

2=55（分），经过组合，一人修需18，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短，为55分钟.

类型Ⅳ：

场地设置问题

【例10】（奥数网习题库）（难度系数：

★★★）有2005名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？

【前铺1】

（首师附中培训测试题）（难度系数：

★★）如右图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的距离之和最短，邮局应立于何处？

条件中只有五个楼的名字和排列顺序，楼与楼的距离也不确定.那么我们先来分析一下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的那一点，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度.也就是说邮筒放在哪儿不会影响这两个点到邮筒的距离之和.那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和小，应把邮筒放在BD之间.同理，只要是在BD之间，B、D到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD.最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了.那么当然也就是把邮筒放在C点了.这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”.

【前铺2】

（交大附中培训试题）（难度系数：

★★）如右图，道路上有8个幼儿园，现在要在道路上建造一个送奶站，为使送奶站到8个幼儿园的距离和最短，送奶站应建在哪个幼儿园？

找最中间的那个幼儿园，可这时最中间的幼儿园有两个，这该怎么办呢？

其实经过研究发现，建在这两个幼儿园都一样，路程和最短，所以可以建在D或E.如果我们只要求建在这条道路上的一点即可，那么DE之间及点D、E均可.

向中心靠拢的思想，当有偶数（2n）个人时，集合地点应选在中间一段AnAn+1之间的任何地点（包括An和An+1点）；

当有奇数（2n+1）个人时，集合地点应选在正中间岗位An+1点．本题有2005=2×

1002+1（奇数）个人，因此集合地点应选在从某一端数起第1003个岗位处．

【例11】

（人大附中分班考试题）（难度系数：

★★★）在一条公路上，每隔10千米有一座仓库（如右图），共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到哪个仓库运费最少？

这道题可以用“小往大处靠”的原则来解决.E点60吨，存的货物最多，那么先处理小势力，A往E那个方向集中，集中到B,B变成40吨，判断仍是E的势力最大，所以继续向E方向集中，B点集中到C点，C点变成60吨.此时C点和E点都是60吨，那么C、E谁看成大势力都可以.例如把E点集中到D点，D点是70吨.所以C点也要集中到D点.确定了集中地点，运输费用也就容易求了.运费最少为：

（10×

30＋30×

20＋20×

10＋60×

10）×

0.9=1530（元）.

我们从中可以发现：

对于集中货物的问题，集中到何处起决定作用的是货物的重量，而至于距离，仅仅只是为了计算.

【巩固】

（04年我爱数学夏令营试题）（难度系数：

★★）一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是50米．第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班……，第5号楼有5名职工在A厂上班．A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？

如图所示，“小往大处靠”的原则来解决，故应建在4号楼的位置，距1号楼150米处．

【例12】

（三帆中学分班考试）（难度系数：

★★★）有七个村庄A1，A2，…，A7分布在公路两侧（见右图），由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？

本题可简化为“B，C，D，E，F处分别站着1，1，2，2，1个人（见右图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”.显然D、E最大，靠拢完的结果变成了D=4，E=3，所以车站设在D点.

附加题目

.

【附1】

（01年小数报数学邀请赛）（难度系数：

★★）青少年科技活动中心工地上，有一批废旧建筑材料和垃圾需要清理并运离现场，由两位货车司机小王和小李负责清理、运输．两人同时清理废旧建筑材料需2小时；

两人同时清理垃圾需0．5小时；

货车将垃圾运送郊区，往返需3小时，货车将废旧建筑材料运送收购站，往返需1小时．小王和小李完成这项清理、运输工作返回工地最少需几小时?

请你设计出一个最佳方案（垃圾与建材均不超过1车，装车时间不计）．

两人先同时清理垃圾，用0.5小时；

然后两人同时清理废旧建筑材料1小时；

最后，一人运送垃圾用3小时，另一人继续清理废旧建筑材料2小时，再用1小时运送废旧建筑材料．这样共用：

0．5+1+3=4．5（小时）．

【附2】如果允许将汽油留在途中供返回的汽车使用，【例5】中其他条件都不变，那穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠?

如右图所示，5辆车从A点一起出发，到B点时，第l辆车给其它车辆加满汽油，并且在B处留下供3辆车从B返回A的汽油，然后自己返回A.注意，此时后4辆车都已加满了汽油，并且无“后顾之忧”，即有了从B返回A的汽油，所以后面的问题相当于有4辆车，让一辆车走的尽量远，另3辆车返回B.同理，

到C点时变成3辆车的情况，到D点时变成2辆车的情形，到E点时变成1辆车的情形.

【附3】

（06年希望杯一试）（难度系数：

★★★）有一位探险家，计划用6天的时间徒步横穿沙漠，如果搬运工人和探险家每人最多只能携带1个人四天所需的食物和水，那么这个探险家至少要雇用多少名工人？

利用公式：

，其中s=4，

=6，解得n=3，所以要雇佣3-1=2（名）工人.当然这道题目对于孩子们最简单的办法是试着分析出答案，这里主要强调学生对规律总结的理解应用，但同时请注意条件的变化.

【附4】

★★）甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需要的时间分别为4，5，6，6，8，9，9分钟，三人同时开始工作.问：

加工完七个零件最少需要多长时间？

按照需要加工的时间，我们可以把七个零件大体分成3组，因为4＋5＋6＋6＋8＋9＋9＝47.

那么可知不论怎么组合，都必然出现有一组的时间是17.例如：

（4＋5＋6），（6＋9），（8＋9）

或（4＋6＋6），（5＋9），（8＋9）或（4＋5＋8），（6＋9），（6＋9）.所以加工完最少需要17分钟.

【附5】

★★★★）某乡共有六块麦地，每块麦地的产量如右图．试问麦场设在何处最好？

（运输总量的千克千米数越小越好.）

依据“小往大靠”，“支往干靠”.我们不妨以F-E-C-D为干，，显然麦场设在C点.当然你以其他路经为干，都会的到同样结果.譬如：

若以F-E-C-A为干，那么依据“支往干靠”，D就靠到C，B移到G，当作“干”上一成员.

练习十三

1．1元钱一瓶汽水，喝完后6个空瓶换一瓶汽水，问：

你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？

24瓶.

2．有一个水塔要供应某条公路旁的A～F六个居民点用水（见右图，单位：

千米），要安装水管，有粗细两种水管，粗管足够供应6个居民点用水，细管只能供应1个居民点用水，粗管每千米要7000元，细管每千米要2000元，粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省？

费用应是多少？

从水塔到C点铺粗管，最后三个居民点铺细管，总费用为297000元。

提示：

当长度相同时，四根细管的费用超过一根粗管，所以最后三个居民点用细管.

3．有一位探险家，徒步横穿沙漠，如果搬运工人和探险家每人最多只能携带1个人四天所需的食物和水，这个探险家雇用了2名工人，那么他最远可以走几天？

6天.

4．右图是A，B，C，D，E五个村之间的道路示意图，○中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离（单位：

千米）。

现在要在五村之中选一个村建立一所小学。

为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案.

“小往大处靠”的原则来解决，A点向C点集中，因为根据“小往大处靠”的原则，虽然A点40人比C点20人多，但是人最多的点是E点，所以大方向是向E点的方向靠拢。

那么B点当然也要向C点靠拢。

C点就有80人了.此时人数最多的点变成了C点了.D、E又变成小势力了，因此还是“小往大处靠”的原则，看大方向，E点要向D点靠拢.此时D点变成85人了。

那么D点比此时C点的80人多了.C点又变成小势力了.所以最终要集中在D点.也就是学校要设在D点.

5．车间里有5台车床同时出现故障。

已知第一台至第五台修复的时间依次为15，8，29，7，10分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。

（1）如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少？

（2）如果有两名修理工，那么修复时间最少需多少分钟？

（1）780元；

（2）36分。

（1）按修复时间需7，8，10，15，29分的顺序修理；

（2）一人修需7分和29分的，另一人修需8，10，15分的.

6．设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，…….如此下去，当只有两个水龙头时，巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少.这时间等于多少分钟？

最短时间为（1+2）×

5+（3+4）×

4+（5+6）×

3+（7+8）×

2+（9+10）×

1＝125分钟．

7．在一条公路上每隔100千米，有一个仓库（如图）共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。

现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？

做此类问题时我们都可以根据“小往大处靠”的原则进行判断，观察可知五