第十三讲 统筹优化问题Word格式.docx

1、返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了2+1=3（分钟）； 第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了2.5分钟；所以，4个人都通过小木桥，最少用2.5+3+2.5=8（分钟）【例2】 （2000年小数报数学邀请赛）（难度系数：）烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？【前铺】（奥数网备选题库）（难度系数：）用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎1993个饼至少需要几分钟？问煎1994个饼至少需要几分钟？如果只煎1个饼，显然需要2分钟；如果煎2个饼，仍然需要2分钟；如

2、果煎3个饼，初学者看来认为至少需要4分钟：因为先煎2个饼要2分钟；再单独煎第3个饼，又需要2分，所以一共需要4分钟但是，这不是最佳方案最优方法应该是：首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟；其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟；最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样总共只用3分钟就煎好了3个饼我们归纳出煎1、2、3个饼分别需要2、2、3分钟，我们可以继续往下分析，煎4个饼最少需要4分钟，煎5个饼需要325分钟，煎6个饼需要6226分钟，煎7个饼需要3427分钟，那么煎1993个饼至少需要1993分钟，煎1994个饼至少需要1994分钟.原题解答; 先将两块饼同时放人锅内一起烙，3

3、分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再放人第三块，又烙了3分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分钟，锅内的两块饼均已烙熟这样烙3块饼，用去9分钟，烙后21-3=18块饼，至少用去186=54（分钟），所以一共需要54+9=63分钟.如果烙22块饼，我们就无需考虑的那么复杂了，所用时间就是226=66分钟.【例3】 （06年国家公务员二类考卷）（难度系数：）某商店汽水做促销活动，规定每5个空瓶能换1瓶汽水.小强家买了80瓶汽水，喝完后再按规定用空瓶去换汽水，那么他们家前后最多能喝到多少瓶汽水？（此题主要是让学生有兴趣把这个答案试出来，并明白可以借瓶

4、的概念.）（03年国家公务员考试）（难度系数：）小新和他的五个朋友去喝汽水，他们身上有12元，每瓶汽水3元，每三个空汽水瓶可以换一瓶汽水，请问怎样才能每人喝到一瓶汽水？12元可以买4瓶汽水，用其中3个空瓶换1瓶汽水，加上剩下的1个空瓶，再向卖汽水的借一个空瓶，用这3个空瓶再换一瓶.喝完后再把这个空瓶还了！4+1+16瓶.原题解答：（法1）我们按照实际换汽水过程分析：喝掉80瓶汽水，用80个空瓶换回16瓶汽水；喝掉16瓶汽水，用16个空瓶换回3瓶汽水余1个空瓶；喝掉3瓶汽水，连上次余下的1个空瓶还剩4个空瓶.此时，再借1个空瓶，与剩下的4个空瓶一起又可换回1瓶汽水，喝完后将空瓶还了.所以，他们家

5、前后最多能喝到汽水：80+16+3+1=100（瓶）.以上方法正确运用“5个空瓶可换1瓶汽水”这个条件，特别是最后一次换瓶的技巧，你不充分利用可就“吃亏了”！但如果一开始瓶数很多，那么这个换的过程就会很长.有没有简便的算法呢？（法2）注意到“每5个空瓶可换一瓶汽水”（连汽水带瓶）这个条件，可知每4个空瓶就能换到一瓶汽水（不带瓶），那么喝剩的80个空瓶共能换到20瓶汽水，所以小强家前后共能喝到80+20=100（瓶）汽水.综合式是80+80（5-1）=100（瓶）。（法3）每4个空瓶就能换到1瓶汽水（不带瓶），即1个空瓶能换瓶汽水，那么买1瓶汽水实际能喝到（1+）瓶汽水，因此他家前后共能喝到80

6、（1+）=100瓶汽水. 【例4】 （07年希望六年级杯培训试题改编）（难度系数：）学校师生1140人外出参观，计划每人发2瓶汽水，商店规定每6个空汽水瓶可以换1瓶汽水，老师最少买多少瓶汽水，合理筹划，回收空瓶换汽水后，可以保证每人按计划喝到汽水？每6个空瓶就能换到1瓶汽水，即每5个空瓶就能换到1瓶汽水（不带瓶），即1个空瓶能换瓶汽水，那么买一瓶汽水实际能喝到（1+）瓶汽水，因此需要买11402）=1900（瓶）汽水. 【例5】 （奥数网习题库）（难度系数：）有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水可以用粗、细两种水管，粗管每千米7000元，细管每千米2000

7、元粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如右图所示（图中单位是千米），现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管那么从县城到A1村要铺设10根细管，A1村到A2村要铺设9根细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况因为粗管每千米7000元，细管每千米2000元，所以4根细管的价钱将大于1根粗管的价钱这样一来，凡是超过3根细管的路段，都应改铺粗管因此，从县城到A7村铺1根粗管，A7村到A8村铺3根细管，A8村到A9村铺2根细管，A9村到A10村铺1根细管总费用为：7000（30+5+2+4+2+3+2）+2000（2

8、3+22+51）=366000（元）. 类型：沙漠探险【例6】 ）有5位探险家计划横穿沙漠.他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶315千米的汽油。显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠。于是，他们计划在保证其余车安全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠。当然，实现这一计划需要几辆车相互借用汽油。问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠?如右图所示，5辆车从A点一起出发，到B点时第1辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余4辆车，注意，B点的最佳选择应满足刚好使这4辆车全部加满汽油；剩下的4辆车继续前进，到C点时第2辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全

9、部转给其余3辆车，使它们刚好加满汽油；剩下的3辆车继续前进到E点时，第4辆车留下返回A点的汽油，剩下的汽油转给第5辆车.此时，第5辆车是加满汽油的，还能向前行驶315千米. 以这种方式，第5辆车能走多远呢?我们来算算. 5辆车到达B点时，第1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返AB的汽油，所以应把行驶315千米的汽油分成6份，2份供自己往返AB，4份给另外4辆车每辆加l份，刚好使这4辆车都加满汽油.AB长为：3156=52.5（千米）； 4辆车从B点继续前进，到达C点时，4辆车共消耗掉4份（BC）汽油，再加上第2辆车从C经B返回A，所以第2辆车是把汽油分成：5份BC+1份AB=31

10、5（千米），由上可知6份AB=315（千米），所以AB=BC，也就是说第2辆车仍是把汽油分成6份，3份供自己从B到C，再从C返回A，3份给另外3辆车加满汽油，由此知BC长也是525千米. 同理，CD=DE=525（千米）. 所以第5辆车最远能行驶5254+315=525（千米）. 一般地，如果有n （n1）辆相同的汽车，每辆车带的油都恰好够行驶s千米的路程，其它条件不变，那么第1辆车行驶千米返回，在最后一辆车“冲刺”之前，最后一辆车已行驶了（n-1）个千米，所以最后一辆车能行驶： 这个问题解决的很完美.但是，这是基于汽油只能由汽车携带，不能留在途中供返回的汽车使用这个前提.如果允许将汽油留在途

11、中供返回的汽车使用，情况就大不相同了.可参看附加2.【例7】 （奥数网习题库）（难度系数：）甲乙两个人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人24天的食物和水，如不允许将部分食物放于途中，那么其中一个人最多可以深入沙漠多少千米？（要求最后两人都回到出发点）（法一）：利用上例思路解答，所以可以往前行走16天的路程.（法二）：可以设走了x天后，乙把食物补给甲，此时乙还需预留x天的食物，所以乙还能补给甲（242x）天的食物。而甲此时也已消耗掉了x天的食物，为了给甲补满，所以需要：242xx,可得x8，剩下的24天食物，B只能再向前走8天，留下16天的食物供返回时用.故B可

12、以向沙漠深处走16天.类型：排队问题【例8】 （07年希望杯六年级培训试题）（难度系数：）理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟.怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？）5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值5个人排队一共有5431=120种顺序，把所有情形的时间总和都计算出来，就太繁琐了我们不妨先来看一个简单的例

13、子：小新理发用10分钟，妈妈烫发用240分钟，只有一个理发师，那么怎样使两个人等待的时间总和最少？很容易我们就知道，要让用时较短的人先理发比较合理.同样对于本例题，把打水需1分钟的人排在第一位置所费总时间最省其次，再将打水需2分钟的人调整到第二位置；将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到第三、四、五位所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队，所费时间最省这样得出5人排队和打水时间总和的最小值是：15+24+33+41=35（分钟）.教师在此刻多多举例联系，让学生在充分理解的基础上准确计算出时间总和的最小值.一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理.甲先给需

14、10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的.甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（103）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有1人等待，占用两人的时间和为（152）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待.甲理发的三个人，共用（10315224）分，乙理发的两个人，共用（12220）分。总的占用时间为（10224）（12220）=128（分）.按照上面的安排，从第一人开始理发到五个人全部理完，用了10152449（分）.如果题目中再要求从第一人开始理发到五人全部理完的时间最短，那么做个调整，甲依次给需10，12，20分钟

15、的人理发，乙依次给需15，24分钟的人理发，总的占用时间仍是128分钟，而五人全部理完所用时间为 10122042（分）.【例9】 （101培训试题）（难度系数：）车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元.现有两名工作效率相同的修理工，（1） 怎样安排才能使得经济损失最少？（2） 怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？（1）一人修17、20、30，另一人修18、25 ；最少的经济损失为：5（173+202+30+182+25）=910（元）.（2）因为（1830172520）2=55（分），经过组合

16、，一人修需18，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短，为55分钟. 类型：场地设置问题【例10】 （奥数网习题库）（难度系数：）有2005名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？【前铺1】（首师附中培训测试题）（难度系数：）如右图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的距离之和最短，邮局应立于何处？条件中只有五个楼的名字和排列顺序，楼与楼的距离也不确定.那么我们先来分析一下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的那一点，

17、A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度.也就是说邮筒放在哪儿不会影响这两个点到邮筒的距离之和.那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和小，应把邮筒放在BD之间.同理，只要是在BD之间，B、D到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD.最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了.那么当然也就是把邮筒放在C点了.这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”.【前铺2】（交大附中培训试题）（难度系数：）如右图，道路上有8个幼儿园，现在要在道路上建造一个送奶站，为使送奶站到8个幼儿园的距离和最短，送奶站应建在哪个幼儿园？找最中间的那个幼儿园，可这时最中间的幼儿园有两

18、个，这该怎么办呢？其实经过研究发现，建在这两个幼儿园都一样，路程和最短，所以可以建在D或E .如果我们只要求建在这条道路上的一点即可，那么DE之间及点D、E均可.向中心靠拢的思想，当有偶数（2n）个人时，集合地点应选在中间一段 AnAn+1之间的任何地点（包括An和An+1点）；当有奇数（2n+1）个人时，集合地点应选在正中间岗位An+1点本题有2005=21002+1（奇数）个人，因此集合地点应选在从某一端数起第1003个岗位处【例11】 （人大附中分班考试题）（难度系数：）在一条公路上，每隔10千米有一座仓库（如右图），共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量.现在要把所有的货物集中存放

19、在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到哪个仓库运费最少？这道题可以用“小往大处靠”的原则来解决.E点60吨，存的货物最多，那么先处理小势力，A往E那个方向集中，集中到B,B变成40吨，判断仍是E的势力最大，所以继续向E方向集中，B点集中到C点，C点变成60吨.此时C点和E点都是60吨，那么C、E谁看成大势力都可以.例如把E点集中到D点，D点是70吨.所以C点也要集中到D点.确定了集中地点，运输费用也就容易求了.运费最少为：（1030302020106010）0.9=1530（元）.我们从中可以发现：对于集中货物的问题，集中到何处起决定作用的是货物的重量，而至于距离，仅

20、仅只是为了计算.【巩固】（04年我爱数学夏令营试题）（难度系数：）一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是50米第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班，第5号楼有5名职工在A厂上班A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？如图所示，“小往大处靠”的原则来解决，故应建在4号楼的位置，距1号楼150米处【例12】 （三帆中学分班考试）（难度系数：）有七个村庄A1，A2，A7分布在公路两侧（见右图），由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距

21、离和最小，车站应设在哪里？本题可简化为“B，C，D，E，F处分别站着1，1，2，2，1个人（见右图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”.显然D、E最大，靠拢完的结果变成了D=4，E=3，所以车站设在D点. 附加题目. 【附1】（01年小数报数学邀请赛） （难度系数：）青少年科技活动中心工地上，有一批废旧建筑材料和垃圾需要清理并运离现场，由两位货车司机小王和小李负责清理、运输两人同时清理废旧建筑材料需2小时；两人同时清理垃圾需05小时；货车将垃圾运送郊区，往返需3小时，货车将废旧建筑材料运送收购站，往返需1小时小王和小李完成这项清理、运输工作返回工地最少需几小时?请你设计出一个最佳方案（

22、垃圾与建材均不超过1车，装车时间不计） 两人先同时清理垃圾，用0.5小时；然后两人同时清理废旧建筑材料1小时；最后，一人运送垃圾用3小时，另一人继续清理废旧建筑材料2小时，再用1小时运送废旧建筑材料这样共用：05+1+3=45（小时）【附2】如果允许将汽油留在途中供返回的汽车使用，【例5】中其他条件都不变，那穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠?如右图所示，5辆车从A点一起出发，到B点时，第l辆车给其它车辆加满汽油，并且在B处留下供3辆车从B返回A的汽油，然后自己返回A.注意，此时后4辆车都已加满了汽油，并且无“后顾之忧”，即有了从B返回A的汽油，所以后面的问题相当于有4辆车，让一辆车走的尽量

23、远，另3辆车返回B.同理，到C点时变成3辆车的情况，到D点时变成2辆车的情形，到E点时变成1辆车的情形.【附3】（06年希望杯一试）（难度系数：）有一位探险家，计划用6天的时间徒步横穿沙漠，如果搬运工人和探险家每人最多只能携带1个人四天所需的食物和水，那么这个探险家至少要雇用多少名工人？利用公式：，其中s=4， =6，解得n=3，所以要雇佣3-1=2（名）工人.当然这道题目对于孩子们最简单的办法是试着分析出答案，这里主要强调学生对规律总结的理解应用，但同时请注意条件的变化.【附4】）甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需要的时间分别为4，5，6，6，8，9，9

24、分钟，三人同时开始工作.问：加工完七个零件最少需要多长时间？按照需要加工的时间，我们可以把七个零件大体分成3组，因为456689947.那么可知不论怎么组合，都必然出现有一组的时间是17.例如：（456），（69），（89）或（466），（59），（89）或（458），（69），（69）.所以加工完最少需要17分钟.【附5】）某乡共有六块麦地，每块麦地的产量如右图试问麦场设在何处最好？（运输总量的千克千米数越小越好.）依据“小往大靠”，“支往干靠”.我们不妨以F-E-C-D为干，显然麦场设在C点.当然你以其他路经为干，都会的到同样结果.譬如：若以F-E-C-A为干，那么依据“支往干靠”，D就靠

25、到C，B移到G，当作“干”上一成员. 练习十三11元钱一瓶汽水，喝完后6个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？24瓶.2有一个水塔要供应某条公路旁的AF六个居民点用水（见右图，单位：千米），要安装水管，有粗细两种水管，粗管足够供应6个居民点用水，细管只能供应1个居民点用水，粗管每千米要7000元，细管每千米要2000元，粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省？费用应是多少？从水塔到C点铺粗管，最后三个居民点铺细管，总费用为297000元。提示：当长度相同时，四根细管的费用超过一根粗管，所以最后三个居民点用细管.3有一位探险家，徒步横穿沙漠，如果搬运工人和探险家每人最多只能携带1

26、个人四天所需的食物和水，这个探险家雇用了2名工人，那么他最远可以走几天？6天.4右图是A，B，C，D，E五个村之间的道路示意图，中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离（单位：千米）。现在要在五村之中选一个村建立一所小学。为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案.“小往大处靠”的原则来解决，A点向C点集中，因为根据“小往大处靠”的原则，虽然A点40人比C点20人多，但是人最多的点是E点，所以大方向是向E点的方向靠拢。那么B点当然也要向C点靠拢。C点就有80人了.此时人数最多的点变成了C点了.D、E又变成小势力了，因此还是“小往大处靠”的原则，看大方向，E点要向D点靠

27、拢.此时D点变成85人了。那么D点比此时C点的80人多了.C点又变成小势力了.所以最终要集中在D点.也就是学校要设在D点.5车间里有5台车床同时出现故障。已知第一台至第五台修复的时间依次为15，8，29，7，10分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。（1）如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少？（2）如果有两名修理工，那么修复时间最少需多少分钟？（1）780元；（2）36分。（1）按修复时间需7，8，10，15，29分的顺序修理；（2）一人修需7分和29分的，另一人修需8，10，15分的.6设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，.如此下去，当只有两个水龙头时，巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少.这时间等于多少分钟？ 最短时间为（1+2）5+（3+4）4+（5+6）3+（7+8）2+（9+10）1125分钟7在一条公路上每隔100千米，有一个仓库（如图）共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？做此类问题时我们都可以根据“小往大处靠”的原则进行判断，观察可知五