漳州二检数学试题及参考答案 1Word格式.docx
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９４９
９
３２１６
７.已知直角梯形ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ∥ＤＣꎬ∠ＡＢＣ＝９０°
ꎬＰ是边ＢＣ上一点（不包括Ｂ、Ｃ两点）.若｜Ａ→Ｂ｜＝２ꎬ｜Ｂ→Ｃ｜＝４ꎬ且｜Ｃ→Ｄ｜＝｜Ａ→Ｂ｜＋｜Ｂ→Ｐ｜ꎬ则Ｐ→ＡＰ→Ｄ的最小值为
Ａ.０Ｂ.２Ｃ.３Ｄ.４
８.已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ４＋１ꎬ则下列结论错误的是
Ａ.函数ｆ（ｘ）的值域为（０ꎬ４）
Ｂ.函数ｆ（ｘ）的图象关于点（０ꎬ２）对称
Ｃ.函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－｜ｘ｜有且只有２个零点
Ｄ.曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的切线斜率的最大值为－１
二、多项选择题:
本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ有多个选项符合题目要求ꎬ全部选对的得５分ꎬ选对但不全的得２分ꎬ有选错的得０分.
９.设△ＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ若ａ＝２２ꎬｂ＝２ꎬ则角Ｂ可以是
Ａ.１５°
Ｂ.３０°
Ｃ.４５°
Ｄ.７５°
１０.在第一次全市高三年级统考后ꎬ某数学老师为了解本班学生的本次数学考试情况ꎬ将全班５０名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图.已知该班级学生的数学成绩全部介于６５分到１４５分之间（满分１５０分）ꎬ将数学成绩按如下方式分成八组:
第一组[６５ꎬ７５）ꎬ第二组[７５ꎬ８５）ꎬꎬ第八组[１３５ꎬ１４５]ꎬ按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分ꎬ如图所示ꎬ则下列结论正确的是
Ａ.第七组的频率为０００８
Ｂ.该班级数学成绩的中位数的估计值为１０１分
Ｃ.该班级数学成绩的平均分的估计值大于９５分
Ｄ.该班级数学成绩的方差的估计值大于２６
１１.已知正三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中ꎬＡＢ＝２ꎬＡＡ１＝１ꎬＭ为ＡＢ的中点ꎬ点Ｐ在线段ＢＣ１上ꎬ则下列结论正确的是
Ａ.直线ＢＣ１∥平面Ａ１ＭＣＢ.Ａ和Ｐ到平面Ａ１ＭＣ的距离相等
Ｃ.存在点Ｐꎬ使得ＡＰ⊥平面Ａ１ＭＣＤ.存在点Ｐꎬ使得ＡＰ⊥Ａ１Ｃ
１２.已知Ｆ为抛物线Ｃ:
ｙ２＝２ｐｘ（ｐ>
０）的焦点ꎬＫ为Ｃ的准线与ｘ轴的交点ꎬ点Ｐ在抛物线Ｃ上ꎬ设∠ＫＰＦ＝αꎬ∠ＰＫＦ＝βꎬ∠ＰＦＫ＝θꎬ则下列结论正确的是
Ａ.抛物线Ｃ在点（ｐꎬｐ）处的切线过点ＫＢ.β的最大值为π
２３
２
Ｃ.ｔａｎβ＝ｓｉｎθＤ.存在点Ｐꎬ使得α＝３β
三、填空题:
本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.
１３.写出一个离心率为２的双曲线方程:
.
１４.已知（ｘ＋１）６＝ａ０＋ａ１（ｘ－１）＋ａ２（ｘ－１）２＋＋ａ６（ｘ－１）６ꎬ则ａ４＝.
３
１５.已知ω>
０ꎬφ>
０ꎬ函数ｆ（ｘ）＝２ｃｏｓ（３ｘ＋π）＋１的图象向右平移φ个单位得到ｇ（ｘ）
６
的图象ꎬ若函数ｇ（ｘ）与函数ｈ（ｘ）＝４ｓｉｎ（ωｘ－π）的极值点完全相同ꎬ则ω＝
ꎬφ的最小值为.（第一空２分ꎬ第二空３分）
１６.已知正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱长为４ꎬ点Ｐ在平面Ａ１ＢＣＤ１内ꎬ且ＰＡ＝３ＰＢꎬ则点
Ｐ的轨迹的长度为.
四、解答题:
本题共６小题ꎬ共７０分ꎮ解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤ꎮ
１７.（１０分）
已知数列{ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ且满足ａ１＝１ꎬＳｎ＋１－３Ｓｎ＝１.
（１）求{ａｎ}的通项公式ꎻ
（２）若ｂｎ＝ｌｏｇ３ａｎ＋１ꎬ求数列{ｂ
１８.（１２分）
１
ｎｂｎ＋１
}的前ｎ项和Ｔｎ.
已知△ＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ所对的边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ且满足
２ｓｉｎ２Ａ－２ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ－２ｓｉｎＢｓｉｎＣ＝ｃｏｓ２Ｃ－ｃｏｓ２Ｃ.
（１）求角Ａꎻ
（２）设点Ｄ在边ＢＣ上ꎬ且ＡＤ＝２ꎬ
证明:
若ꎬ则ｂ＋ｃ存在最大值或最小值.
请在下面的两个条件中选择一个条件填到上面的横线上ꎬ并证明.
①ＡＤ是△ＡＢＣ的中线ꎻ
②ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线.
１９.（１２分）
如图ꎬ在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中ꎬ侧面ＰＡＢ⊥底面ＡＢＣＤꎬ底面ＡＢＣＤ是直角梯形ꎬＡＤ∥
ＢＣꎬＡＢ⊥ＢＣꎬ∠ＰＡＢ＝１２０°
ꎬＰＡ＝ＡＤ＝ＡＢ＝１ꎬＢＣ＝２.
（１）证明:
平面ＰＢＣ⊥平面ＰＡＢꎻ
５
（２）在线段ＰＢ上是否存在点Ｍꎬ使得直线ＡＭ与平面ＰＢＤ所成角的正弦值为１５?
若存
在ꎬ求出线段ＰＭ的长度ꎻ若不存在ꎬ请说明理由.
M
D
P
BC
ｘ２
２０.（１２分）
已知左、右焦点分别为Ｆ１、Ｆ２
的椭圆Ｃ:
ａ２
＋ｙ２ｂ２
＝１（ａ>
ｂ>
０）过点（２ꎬ３）ꎬ以
Ｆ１Ｆ２为直径的圆过Ｃ的下顶点Ａ.
（１）求椭圆Ｃ的方程ꎻ
（２）若过点Ｐ（０ꎬ１）的直线ｌ与椭圆Ｃ相交于ＭꎬＮ两点ꎬ且直线ＡＭ、ＡＮ的斜率分别为ｋ１、ｋ２ꎬ证明:
ｋ１ｋ２为定值.
２１.（１２分）
某种玩具启动后ꎬ该玩具上的ＬＥＤ灯会亮起红灯或绿灯（红灯和绿灯不会同时亮起）ꎬ第１次亮灯时ꎬ亮起红灯的概率为Ｐ１ꎬ亮起绿灯的概率为１－Ｐ１.若第ｎ次亮起的是红
灯ꎬ则第ｎ＋１次亮起红灯的概率为１ꎬ亮起绿灯的概率为２ꎻ若第ｎ次亮起的是绿
３３
灯ꎬ则第ｎ＋１次亮起红灯的概率为２ꎬ亮起绿灯的概率为１.记第ｎ次亮灯时ꎬ亮起红
２０２１
灯的概率为Ｐｎꎬｎ∈Ｎ∗.该玩具启动前可输入Ｐ１ꎬ玩具启动后ꎬ当１０１０
<
Ｐ<
１且
ｎ２
第ｎ次亮起红灯时ꎬ该玩具会唱一首歌曲ꎬ否则不唱歌.
（１）若输入Ｐ１＝１ꎬ记该玩具启动后ꎬ前３次亮灯中亮起红灯的次数为Ｘꎬ求Ｘ的分布
列和期望ꎻ
（２）若输入Ｐ１＝１ꎬ
（ⅰ）求数列{Ｐｎ}的通项公式ꎻ
（ⅱ）该玩具启动后ꎬ在前２０次亮灯中ꎬ该玩具最多唱几次歌?
２２.（１２分）
已知函数ｆ（ｘ）＝１ｘ＋ｂｌｎｘ－ａꎬｇ（ｘ）＝ａｅｘ－１＋ｌｎｘ－ａꎬｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）.
（１）求ｆ（ｘ）的单调区间ꎻ
（２）若ｂ＝１ꎬ且ｆ（ｘ）有两个不同的零点ｘ１ꎬｘ２ꎬ
ｈ（ｘ）有唯一零点（记为ｘ０）ꎬ且ｘ１＋ｘ２>
２ｘ０.
数学参考答案及评分细则
评分说明:
１.本解答给出了一种或几种解法供参考ꎬ如果考生的解法与本解答不同ꎬ可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则ꎮ
２.对计算题ꎬ当考生的解答在某一步出现错误时ꎬ如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度ꎬ可视影响的程度决定后继部分的给分ꎬ但不得超过该部分正确解答应给分数的一半ꎻ如果后继部分的解答有较严重的错误ꎬ就不再给分ꎮ
３.解答右端所注分数ꎬ表示考生正确做到这一步应得的累加分数ꎮ
４.只给整数分数ꎮ选择题和填空题不给中间分ꎮ
１.Ｄ２.Ｂ３.Ｂ４.Ａ５.Ｃ６.Ｄ
７.Ｃ８.Ｄ
本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ有多个选项符合题目要求ꎬ全部选对的得５分ꎬ选对但不全的得２分ꎬ有选错的得０分.
９.ＡＢ１０.ＢＣＤ１１.ＡＢ１２.ＡＣＤ
本大题共４题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.
１３.ｘ２－ｙ２＝１（答案不唯一）１４.６０
１５.３ꎬπ１６.３４π
本大题共６小题ꎬ共７０分ꎬ解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤.
１７.解:
（１）因为Ｓｎ＋１－３Ｓｎ＝１ꎬ所以当ｎ＝１时ꎬＳ２－３Ｓ１＝ａ１＋ａ２－３ａ１＝１ꎬ
又ａ１＝１ꎬ所以ａ２＝３.
因为Ｓｎ＋１－３Ｓｎ＝１ꎬ
１分
所以当ｎ≥２时ꎬＳｎ－３Ｓｎ－１＝１ꎬ两式相减得:
ａｎ＋１－３ａｎ＝０ꎬ
所以ａｎ＋１＝３ａｎꎬｎ≥２ꎬ３分
又ａ２＝３ａ１ꎬ所以ａｎ＋１＝３ａｎꎬｎ∈Ｎ∗ꎬ４分
所以数列{ａｎ}是以１为首项ꎬ以３为公比的等比数列ꎬ所以ａｎ＝３ｎ－１.
５分
.
（２）由（１）得ｂｎ
＝ｌｏｇ３ａｎ＋１＝ｌｏｇ３３
ｎ－１
＋１＝ｎꎬ
６分
所以ｂ
＝ｎ（ｎ１＋
＝
１）ｎ
－ｎ＋１１ꎬ
８分
所以Ｔ＝（１－１）＋（１－１）＋＋（１－
ｎ
＋１）＝１－＋１
＝ｎ.
２２３
ｎ１ｎ
１ｎ＋１
１８.解:
（１）因为２ｓｉｎ２Ａ－２ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ－２ｓｉｎＢｓｉｎＣ＝ｃｏｓ２Ｃ－ｃｏｓ２Ｃꎬ
１０分
所以２ｓｉｎ２Ａ－２ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ－２ｓｉｎＢｓｉｎＣ＝ｃｏｓ２Ｃ－（ｃｏｓ２Ｃ－ｓｉｎ２Ｃ）＝ｓｉｎ２Ｃꎬ
２分所以ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ－ｓｉｎ２Ａ＝－ｓｉｎＢｓｉｎＣꎬ
所以由正弦定理ꎬ得ｂ２＋ｃ２－ａ２＝－ｂｃꎬ
所以ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２＝－ｂｃ＝－１ꎬ
３分
４分
２ｂｃ２ｂｃ２
因为Ａ∈（０ꎬπ）ꎬ所以Ａ＝２π.６分
（２）
若选择①ꎬ
则Ａ→Ｄ＝１（
Ａ→Ｂ
３
＋Ａ→Ｃ）ꎬ
７分
所以Ａ→Ｄ２＝１（Ａ→Ｂ２＋２Ａ→ＢＡ→Ｃ＋Ａ→Ｃ２）ꎬ８分因为ＡＤ＝２ꎬ
所以４＝１[ｃ２＋２ｃｂ（－１）＋ｂ２]ꎬ９分
４２
所以１６＝（ｂ＋ｃ）２－３ｂｃ≥（ｂ＋ｃ）２－３（ｂ＋ｃ）２＝（ｂ＋ｃ）２ꎬ
２４
即（ｂ＋ｃ）２≤６４ꎬ所以ｂ＋ｃ≤８ꎬ
１１分
当且仅当ｂ＝ｃ＝４时ꎬ（ｂ＋ｃ）ｍａｘ＝８.
所以ｂ＋ｃ存在最大值ꎬ所以原命题成立.
１２分
若选择②ꎬ则∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＣ＝１Ａ＝πꎬ
因为Ｓ△ＡＢＤ＋Ｓ△ＡＤＣ＝Ｓ△ＡＢＣꎬ
所以１ＡＢＡＤｓｉｎπ＋１ＡＤＡＣｓｉｎπ＝１ＡＢＡＣｓｉｎ２πꎬ
２３２３２３
因为ＡＤ＝２ꎬ
所以１ｃ２３＋１２ｂ３＝１ｃｂ３ꎬ
２２２２２２
ｂｃ２
所以２ｃ＋２ｂ＝ｂｃꎬ所以１＋１＝１ꎬ９分
ｂｃｃ
所以ｂ＋ｃ＝２（ｂ＋ｃ）（１＋１）＝２（１＋ｂ
＋ｃ
ｂ
＋１）≥２（２＋２
）＝８ꎬ
ｂｃ
ｃｂ
当且仅当ｂ＝ｃ＝４时ꎬ（ｂ＋ｃ）ｍｉｎ＝８.
ꎬ
所以ｂ＋ｃ存在最小值所以原命题成立.
１９.（１）证明:
因为平面ＰＡＢ⊥底面ＡＢＣＤꎬ且平面ＰＡＢ∩平面ＡＢＣＤ＝ＡＢꎬ
ＢＣ⊥ＡＢꎬＢＣ⊂平面ＡＢＣＤꎬ所以ＢＣ⊥平面ＡＢＰꎬ２分
又ＢＣ⊂平面ＰＢＣꎬ所以平面ＰＢＣ⊥平面ＰＡＢ.４分
（２）解:
在平面ＰＡＢ内ꎬ过点Ａ作ＡＥ⊥ＡＢ交ＰＢ于点Ｅꎬ则可知ＡＥ⊥平面ＡＢＣＤ.
以Ａ为坐标原点ꎬ分别以Ａ→ＢꎬＡ→ＤꎬＡ→Ｅ方向为ｘꎬｙꎬｚ轴的正方向ꎬ建立空间直角坐
标系Ａ－ｘｙｚꎬ５分
则由∠ＰＡＢ＝１２０°
ꎬＰＡ＝ＡＤ＝ＡＢ＝１ꎬＢＣ＝２ꎬ
可得Ｐ（－１ꎬ０ꎬ３）ꎬＢ（１ꎬ０ꎬ０）ꎬＣ（１ꎬ２ꎬ０）ꎬＤ（０ꎬ１ꎬ０）ꎬ
２２
E
则Ｄ→Ｐ＝（－１ꎬ－１ꎬ３）ꎬ
２２
Ｄ→Ｂ＝（１ꎬ－１ꎬ０）ꎬ
Ｐ→Ｂ＝（３ꎬ０ꎬ－３）ꎬ
２２C
设→ｎ＝（ｘꎬｙꎬｚ）为平面ＰＢＤ的法向量ꎬ
⎨
则有
→
ꎬ即⎪
{→ｎＤ→Ｐ＝０⎧⎪－１ｘ－ｙ＋３ｚ＝０
→ｎＤＢ＝０
取→ｎ＝（１ꎬ１ꎬ３）ꎬ
⎪⎩ｘ－ｙ＝０
设Ｐ→Ｍ＝λＰ→Ｂ（０≤λ≤１）ꎬ则Ａ→Ｍ＝Ａ→Ｐ＋Ｐ→Ｍ＝（３λ－１ꎬ０ꎬ３（１－λ））ꎬ
若直线ＡＭ与平面ＰＢＤ所成角的正弦值为１５ꎬ
→｜Ａ→Ｍ→ｎ｜１
１５
则｜ｃｏｓ<
ＡＭꎬ→ｎ
>
｜＝｜Ａ→Ｍ｜｜
→ｎ｜＝
＝
３λ２－３λ＋１５
５ꎬ
解得λ＝１
或λ＝２ꎬ
故存在点Ｍ满足题意ꎬ此时ＰＭ＝３或ＰＭ＝２３.
２０.解:
（１）因为以Ｆ１Ｆ２为直径的圆过点Ａ（０ꎬ－ｂ）ꎬ所以ｂ＝ｃꎬ１分
所以ａ＝ｂ２＋ｃ２＝２ｂꎬ２分
所以Ｃ:
＋ｙ２＝１ꎬ因为Ｃ过点（２ꎬ３）ꎬ所以２＋３＝１ꎬ
２ｂ２ｂ２２ｂ２ｂ２
解得ｂ＝２ꎬａ＝２２ꎬ４分
ｘ
所以椭圆Ｃ的方程为８
＋ｙ２
＝１.
（２）由题意ꎬ可设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋１ꎬＭ（ｘ１ꎬｙ１）ꎬＮ（ｘ２ꎬｙ２）ꎬ
⎧⎪ｘ２
由方程组⎨８
＝１ꎬ消去ｙ得（１＋２ｋ２）ｘ２＋４ｋｘ－６＝０.
⎪⎩ｙ＝ｋｘ＋１
于是ｘ１＋ｘ２＝－１
４ｋ
２１＋２２ｋ
＋２ｋ
ꎬｘ１ｘ２＝－６ꎬ
因为Ａ（０ꎬ－２）ꎬ所以ｋ１
＝ｙ１＋２
ｘ１
＝ｙ２＋２
ꎬｋ
２ｘ２
９分
于是ｋ１ｋ２
＝（ｙ１＋２）（ｙ２＋２）
ｘ１ｘ２
＝（ｋｘ１＋３）（ｋｘ２＋３）
＝ｋ２ｘ１ｘ２＋３ｋ（ｘ１＋ｘ２）＋９
＝ｋ２＋２ｋ２－９（１＋２ｋ２）＝－３
为定值.
６２
２１.解:
（１）由题意ꎬ得Ｘ的所有取值为０ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ
因为Ｘ＝０表示前３次亮灯的颜色为“绿绿绿”ꎬ
所以Ｐ（Ｘ＝０）＝１
×
１３
＝１.
１８
因为Ｘ＝１表示前３次亮灯的颜色为“红绿绿”或“绿红绿”或“绿绿红”ꎬ
所以Ｐ（Ｘ＝１）＝１
２３
＋１２
＝４.
因为Ｘ＝２表示前３次亮灯的颜色为“红红绿”或“红绿红”或“绿红红”ꎬ
所以Ｐ（Ｘ＝２）＝１
因为Ｘ＝３表示前３次亮灯的颜色为“红红红”ꎬ
Ｘ
０
ｐ
１１８
４９
所以Ｐ（Ｘ＝３）＝１
所以Ｘ的分布列为
所以Ｅ（Ｘ）＝０×
１
＋１×
４
＋２×
＋３×
１
＝３.
（２）（ⅰ）由题意ꎬ得Ｐ＋１＝Ｐ×
１＋（１－Ｐ）×
２＝－１Ｐ＋２ꎬ
ｎｎ
３３３３
ｎ１
所以Ｐ＋－１＝－１（Ｐ－１）ꎬ７分
２３２
因为Ｐ１＝１ꎬ所以Ｐ１－１
＝－１
≠０ꎬ
３２６
所以{Ｐ－１}是首项为－１ꎬ公比为－１
的等比数列ꎬ
所以Ｐｎ
－１２
（）ꎬ所以
－１ｎ－１Ｐ
３ｎ
＝１
（－１）ｎ.
３２得２３又所以
（ⅱ）由Ｐ
＝１＋１
ｎ２２
（－１）ｎ<
１ꎬ１×
０ꎬｎ∈Ｎ∗ꎬ
ｎ为正奇数ꎬ
由Ｐ＝１＋１
（－１）ｎ>
１０１０ꎬ
（－１）ｎ>
－１ꎬ
ｎ２２３２０２１得３２０２１
当ｎ为奇数时ꎬ１<
１ꎬ３ｎ>
２０２１ꎬ所以ｎ≥７ꎬ
３２０２１
所以该玩具启动后ꎬ在前２０次亮灯中ꎬ当ｎ＝７ꎬ９ꎬ１１ꎬ１３ꎬ１５ꎬ１７ꎬ１９
时ꎬ该玩具可能唱歌ꎬ所以该玩具启动后ꎬ在前２０次亮灯中ꎬ该玩具最
多唱７次歌.１２分
２２.解:
（１）ｆ（ｘ）的定义域为（０ꎬ＋∞）ꎬｆ′（ｘ）＝－１
＋ｂｘ
＝－１＋ｂｘｘ２
①若ｂ≤０ꎬ则ｆ′（ｘ）<
０ꎬ所以ｆ（ｘ）的递减区间为（０
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