高考数学抛物线经典例题讲解教案Word文档格式.docx

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y0y=p（x+x0）

【证明】对方程两边取导数：

由点斜式方程：

0y=p（x+x0）

（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏

抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.

例如：

1.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（）

显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.

2.抛物线的通径长为2p；

3.设抛物线过焦点的弦两端分别为，那么：

以下再举一例

【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：

以A1B1为直径的圆必过一定点

【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：

一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.

【证明】如图设焦点两端分别为，

那么：

设抛物线的准线交x轴于C，那么

这就说明：

以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.

●通法特法妙法

（1）解析法——为对称问题解困排难

解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.

【例5】

（07.四川文科卷.10题）已知抛物线

y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点

A、B，则|AB|等于（）

A.3B.4C.3D【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段

AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.

【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程为：

.由

设方程

（1）之两根为x1，x2，则.

设AB的中点为M（x0，y0），则.代入x+y=0：

y0=.故有.

从而.直线AB的方程为：

.方程

（1）成为：

.解得：

，从而，故得：

A（-2，-1），B（1，2）.，选C.

（2）几何法——为解析法添彩扬威

虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.

【例6】

（07.全国1卷.11题）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积（）

A．B．C．D．

【解析】如图直线AF的斜率为时∠AFX=60°

.

△AFK为正三角形.设准线交x轴于M，则

且∠KFM=60°

，∴.选C.

【评注】

（1）平面几何知识：

边长为a的正三角形的

面积用公式计算.

（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.

（3）定义法——追本求真的简单一着

许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.

【例7】

（07.湖北卷.7题）双曲线

的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；

抛物线的线为，焦点为与的一个交点为，则等于（）

【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.

如图，我们先做必要的准备工作：

设双曲线的半

焦距c，离心率为e，作，令∵点M在抛物线上，

，

这就是说：

的实质是离心率e.

其次，与离心率e有什么关系？

注意到：

这样，最后的答案就自然浮出水面了：

由于.∴选A..

（4）三角法——本身也是一种解析

三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.

因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.

【例8】

（07.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交

x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

【解析】

（Ⅰ）焦点F（2，0），准线.

（Ⅱ）直线AB：

代入

（1），整理得：

设方程

（2）之二根为y1，y2，则.

设AB中点为

AB的垂直平分线方程是：

.

令y=0，则

故

于是|FP|-|FP|cos2a=，故为定值.

（5）消去法——合理减负的常用方法.

避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.

【例9】是否存在同时满足下列两条件的直线：

（1）与抛物线有两个不同的交点A和B；

（2）线段AB被直线：

x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线的方程.

【解析】假定在抛物线上存在这样的两点

∵线段AB被直线：

x+5y-5=0垂直平分，且

设线段AB的中点为.代入x+5y-5=0得x=1.于是：

AB中点为.故存在符合题设条件的直线，其方程为：

（6）探索法——奔向数学方法的高深层次

有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.

【例10】

（07.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1,△Q2P1P2,…,△Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为【解析】∵

设OA上第k个分点为

第k个三角形的面积为：

故这些三角形的面积之和的极限

抛物线定义的妙用

对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高思维能力。

现举例说明如下。

一、求轨迹（或方程）

例1.已知动点M的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对

解：

由题意得：

即动点到直线的距离等于它到原点（0，0）的距离

由抛物线定义可知：

动点M的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线为准线的抛物线。

故选C。

二、求参数的值

例2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点距离为5，求m的值。

设抛物线方程为，准线方程：

∵点M到焦点距离与到准线距离相等

解得：

∴抛物线方程为

把代入得：

三、求角

例3.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为，则__________。

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

图1

如图1，由抛物线的定义知：

则

由题意知：

即

四、求三角形面积

例4.设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若，。

求△OPQ的面积。

解析：

如图2，不妨设抛物线方程为，点、点

图2

则由抛物线定义知：

又，则

由得：

即

又PQ为过焦点的弦，所以

则

所以，

点评：

将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。

五、求最值

例5.设P是抛物线上的一个动点。

（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值；

（2）若B（3，2），求的最小值。

（1）如图3，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是

由抛物线的定义知：

点P到直线的距离等于点P到焦点F的距离。

于是，问题转化为：

在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小。

显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为，即为。

图3

（2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点，则

，则有

即的最小值为4

图4

本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。

六、证明

例6.求证：

以抛物线过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。

证明：

如图5，设抛物线的准线为，过A、B两点分别作AC、BD垂直于，垂足分别为C、D。

取线段AB中点M，作MH垂直于H。

图5

由抛物线的定义有：

∵ABDC是直角梯形

即为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证。

抛物线与面积问题

抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。

解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解。

例1.如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0）。

点C（0，5）、点D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点。

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△MCB的面积。

（1）设抛物线的解析式为

，根据题意得

，解得

∴所求的抛物线的解析式为

（2）∵C点坐标为（0，5），∴OC＝5

令，则，

解得

∴B点坐标为（5，0），OB＝5

∵，

∴顶点M的坐标为（2，9）

过点M作MN⊥AB于点N，

则ON＝2，MN＝9

∴

例2.如图2，面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上，二次函数的图像过原点、A点和斜边OB的中点M。

（1）求出这个二次函数的解析式和对称轴。

（2）在坐标轴上是否存一点P，使△PMA中PA＝PM，如果存在，写出P点的坐标，如果不存在，说明理由。

（1）∵等腰直角△OAB的面积为18，

∴OA＝OB＝6

∵M是斜边OB的中点，

∴点A的坐标为（6，0）

点M的坐标为（3，3）

∵抛物线

∴，解得

∴解析式为，

对称轴为

（2）答：

在x轴、y轴上都存在点P，使△PAM中PA＝PM。

①P点在x轴上，且满足PA＝PM时，点P坐标为（3，0）。

②P点在y轴上，且满足PA＝PM时，点P坐标为（0，－3）。

例3.二次函数的图像一部分如图3，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。

（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由。

（2）设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值。

（1）由图象可知：

；

图象过点（0，1），所以c＝1；

图象过点（1，0），则；

当时，应有，则

当代入

得，即

所以，实数a的取值范围为。

（2）此时函数，

要使

可求得。

例4.如图4，在同一直角坐标系内，如果x轴与一次函数的图象以及分别过C（1，0）、D（4，0）两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7。

（1）求K的值；

（2）求过F、C、D三点的抛物线的解析式；

（3）线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动（点P不重合于点C），过P点作直线PQ⊥CD交EF于Q。

当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围。

（1）∵点A、B在一次函数的图象上，

且

∵四边形ABDC的面积为7

∴。

（2）由F（0，4），C（1，0），D（4，0）得

（3）∵PD＝1×

t＝t

∴OP＝4－t

即。

抛物线

1已知抛物线D：

y2=4x的焦点与椭圆Q：

的右焦点F1重合，且点在椭圆Q上。

（Ⅰ）求椭圆Q的方程及其离心率；

（Ⅱ）若倾斜角为45°

的直线l过椭圆Q的左焦点F2，且与椭圆相交于A，B两点，求△ABF1的面积。

（Ⅰ）由题意知，抛物线的焦点为（1，0）

∴椭圆Q的右焦点F1的坐标为（1，0）。

∴①

又点在椭圆Q上，∴即②

由①②，解得∴椭圆Q的方程为∴离心离

（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（－1，0）∴直线l的方程为设

由方程组消y整理，得

∴

又点F1到直线l的距离∴

2如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为（5，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积

解法一由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0由方程组,消去y,得x2+（2m

－4）x+m2=0①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=（2m－4）2－

4m2=16（1－m）＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为（－5，0）

设M（x1,y1）,N（x2,y2）则x1+x2=4－2m，x1x2=m2,∴|MN|=4点A到直线l的距离为d=

∴S△=2（5+m）,从而S△2=4（1－m）（5+m）2=2（2－2m）（5+m）（5+m）≤2（）3=128

∴S△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面

积为8

解法二由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）,l的方程为x=y+m,其中0＜m＜5

由方程组,消去x,得y2－4y－4m=0①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，

∴方程①的判别式Δ=（－4）2+16m=16（1+m）＞0必成立,设M（x1,y1）,N（x2,y2）则y1+y2=4，y1y2=－4m,

∴S△=＝∴S△≤8,当且仅当即m=1时取等号

故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为已知O为坐标原点，P（）（）为轴上一动点，过P作直线交抛物线于A、B两点，设S△&

not;

&

AOB=，试问：

为何值时，t取得最小值，并求出最小值。

交AB与轴不重叠时，设AB的方程为

合消y可得：

设AB则，交AB与x轴重叠

时，上述结论仍然成立

又∴

≥当时取“=”，综上当