高考数学抛物线经典例题讲解教案Word文档格式.docx

1、y0y=p（x+x0） 【证明】对方程 两边取导数：由点斜式方程：0y=p（x+x0） （4）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获. 例如：1.一动圆的圆心在抛物线 上，且动圆恒与直线 相切，则此动圆必过定点 （ ） 显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线 的通径长为2p； 3.设抛物线 过焦点的弦两端分别为 ，那么： 以下再举一例 【例4】设抛物线 的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点 【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1

2、=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明. 【证明】如图设焦点两端分别为 ， 那么： 设抛物线的准线交x轴于C，那么 这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点. 通法 特法 妙法 （1）解析法为对称问题解困排难 解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）. 【例5】（07.四川文科卷.10题）已知抛物线 y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点 A、B，则|AB|等于（ ） A.3 B.4 C.3 D【分析】直线AB必与直线

3、x+y=0垂直，且线段 AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下. 【解析】点A、B关于直线x+y=0对称，设直线AB的方程为： . 由 设方程（1）之两根为x1，x2，则 . 设AB的中点为M（x0，y0），则 .代入x+y=0：y0= .故有 . 从而 .直线AB的方程为： .方程（1）成为： .解得： ，从而 ，故得：A（-2，-1），B（1，2）. ，选C. （2）几何法为解析法添彩扬威 虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.

4、【例6】（07.全国1卷.11题）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积（ ） A B C D 【解析】如图直线AF的斜率为 时AFX=60. AFK为正三角形.设准线 交x轴于M，则 且KFM=60， .选C. 【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的 面积用公式 计算. （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单. （3）定义法追本求真的简单一着 许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单. 【例7】（

5、07.湖北卷.7题）双曲线 的左准线为 ，左焦点和右焦点分别为 和 ；抛物线 的线为 ，焦点为 与 的一个交点为 ，则 等于（ ） 【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧. 如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c，离心率为e，作 ，令点M在抛物线上， ， 这就是说： 的实质是离心率e. 其次， 与离心率e有什么关系？注意到： 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于 .选 A. （4）三角法本身也是一种解析 三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，

6、然后根据各种三角关系实施“九九归一”达到解题目的. 因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算. 【例8】（07.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线 的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。 （）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； （）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交 x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。 【解析】（）焦点F（2，0），准线 . （）直线AB： 代入（1），整理得： 设方程（2）之二根为y1，y2，则 . 设AB中点为 AB的垂直平分线方程是： . 令y=0，则 故 于是|FP|-|FP|cos2a=

7、，故为定值. （5）消去法合理减负的常用方法. 避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”. 【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线 ：（1） 与抛物线 有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线 ：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线 的方程. 【解析】假定在抛物线 上存在这样的两点 线段AB被直线 ：x+5y-5=0垂直平分，且 设线段AB的中点为 .代入x+5y-5=0得x=1.于是： AB中点为 .故存在符合题设条件的直线，其方程为：（6）探索法奔向数学方法的高深层次

8、有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想证明再猜想再证明.终于发现“无限风光在险峰”. 【例10】（07.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形Q1OP1, Q2P1P2, Qn-1Pn-1Pn-1,当n时，这些三角形的面积之和的极限为【解析】 设OA上第k个分点为 第k个三角形的面积为： 故这些三角形的面积之和的极限 抛物线定义的妙用 对于抛物线有关问题

9、的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高思维能力。现举例说明如下。 一、求轨迹（或方程） 例1. 已知动点M的坐标满足方程 ，则动点M的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对 解：由题意得： 即动点 到直线 的距离等于它到原点（0，0）的距离 由抛物线定义可知：动点M的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线 为准线的抛物线。 故选C。 二、求参数的值 例2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点 到焦点距离为5，求m的值。设抛物线方程为 ，准线方程： 点M到焦点距离与到准线距离相等 解得： 抛物线方程为 把 代入得： 三、求角

10、 例3. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为 ，则 _。 A. 45 B. 60 C. 90 D. 120图1如图1，由抛物线的定义知：则 由题意知：即 四、求三角形面积 例4. 设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若 ， 。求OPQ的面积。 解析：如图2，不妨设抛物线方程为 ，点 、点 图2 则由抛物线定义知： 又 ，则 由 得： 即 又PQ为过焦点的弦，所以 则 所以， 点评：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。 五、求最值 例5. 设P是抛物线 上的一个动点。

11、 （1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线 的距离之和的最小值； （2）若B（3，2），求 的最小值。（1）如图3，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是 由抛物线的定义知：点P到直线 的距离等于点P到焦点F的距离。 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小。 显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为 ，即为 。图3 （2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点 ，则 ，则有 即 的最小值为4 图4本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。 六

12、、证明 例6. 求证：以抛物线 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。 证明：如图5，设抛物线的准线为 ，过A、B两点分别作AC、BD垂直于 ，垂足分别为C、D。取线段AB中点M，作MH垂直 于H。图5 由抛物线的定义有：ABDC是直角梯形即 为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证。 抛物线与面积问题 抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解。 例1. 如图1，二次函数 的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（1，0）。点C（

13、0，5）、点D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点。 （1）求抛物线的解析式； （2）求MCB的面积。（1）设抛物线的解析式为 ，根据题意得 ，解得 所求的抛物线的解析式为 （2）C点坐标为（0，5），OC5 令 ，则 ， 解得 B点坐标为（5，0），OB5 ， 顶点M的坐标为（2，9） 过点M作MNAB于点N， 则ON2，MN9 例2. 如图2，面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上，二次函数 的图像过原点、A点和斜边OB的中点M。 （1）求出这个二次函数的解析式和对称轴。 （2）在坐标轴上是否存一点P，使PMA中PAPM，如果存在，写出P点的坐标，如果不存在，说明理由。

14、（1）等腰直角OAB的面积为18， OAOB6 M是斜边OB的中点， 点A的坐标为（6，0） 点M的坐标为（3，3） 抛物线 ，解得 解析式为 ， 对称轴为 （2）答：在x轴、y轴上都存在点P，使PAM中PAPM。 P点在x轴上，且满足PAPM时，点P坐标为（3，0）。 P点在y轴上，且满足PAPM时，点P坐标为（0，3）。 例3. 二次函数 的图像一部分如图3，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。 （1）请判断实数a的取值范围，并说明理由。 （2）设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c，当AMC的面积为ABC面积的 倍时，求a的值。（1）由图象可知： ；图象过点

15、（0，1），所以c1；图象过点（1，0），则 ； 当 时，应有 ，则 当 代入 得 ，即 所以，实数a的取值范围为 。 （2）此时函数 ， 要使 可求得 。 例4. 如图4，在同一直角坐标系内，如果x轴与一次函数 的图象以及分别过C（1，0）、D（4，0）两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7。 （1）求K的值； （2）求过F、C、D三点的抛物线的解析式； （3）线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动（点P不重合于点C），过P点作直线PQCD交EF于Q。当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围。（1）

16、点A、B在一次函数 的图象上， 且 四边形ABDC的面积为7 。 （2）由F（0，4），C（1，0），D（4，0）得 （3）PD1tt OP4t 即 。 抛物线 1已知抛物线D：y2=4x的焦点与椭圆Q： 的右焦点F1重合，且点 在椭圆Q上。（）求椭圆Q的方程及其离心率；（）若倾斜角为45的直线l过椭圆Q的左焦点F2，且与椭圆相交于A，B两点，求ABF1的面积。（）由题意知，抛物线 的焦点为（1，0） 椭圆Q的右焦点F1的坐标为（1，0）。 又点 在椭圆Q上， 即 由，解得 椭圆Q的方程为 离心离（）由（）知F2（1，0）直线l的方程为 设 由方程组 消y整理，得 又点F1到直线l的距离 2如

17、图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为（5，0），倾斜角为 的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求AMN的最大面积 解法一 由题意，可设l的方程为y=x+m,其中5m0 由方程组 ,消去y,得x2+（2m 4）x+m2=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式=（2m4）24m2=16（1m）0,解得m1,又5m0,m的范围为（5，0）设M（x1,y1）,N（x2,y2）则x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4 点A到直线l的距离为d=S=2（5+m） ,从而S2=4（1m）（5+m）2=2（22m

18、）（5+m）（5+m）2（ ）3=128S8 ,当且仅当22m=5+m,即m=1时取等号 故直线l的方程为y=x1，AMN的最大面 积为8 解法二 由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）, l的方程为x = y +m,其中0m5由方程组 ,消去x,得y 24 y 4m=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式=（4）2+16m=16（1+m）0必成立,设M（x1,y1）,N（x2,y2）则y 1+ y 2=4，y 1y 2=4m,S= S8 ,当且仅当 即m=1时取等号 故直线l的方程为y=x1，AMN的最大面积为已知O为坐标原点，P（ ）（ ）为 轴上一动点，过P作直线交抛物线 于A、B两点，设S¬&AOB= ，试问： 为何值时，t取得最小值，并求出最小值。交AB与 轴不重叠时，设AB的方程为 合 消y可得：设A B 则 ， 交AB与x轴重叠时，上述结论仍然成立又 当 时 取“=”， 综上 当