全等三角形全等三角形与旋转问题学生版.docx

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全等三角形全等三角形与旋转问题学生版

基本知识

把图形绕平面上的一个定点旋转一个角度，得到图形，这样的由图形到变换叫做旋转变换，点叫做旋转中心，叫做旋转角，叫做的象；叫做的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．

很明显，旋转变换具有以下基本性质：

①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；

②对应直线的交角等于旋转角．

旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．

【例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是（）．

【例2】如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心（）．

A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到

C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到

【例3】如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有（）．

A．1对B．2对C．3对D．4对

【例4】已知：

如图，点为线段上一点，、是等边三角形．求证：

．

【例5】如图，，，三点共线，且与是等边三角形，连结，分别交，于，点．求证：

．

【补充】已知：

如图，点为线段上一点，、是等边三角形．求证：

平分．

【补充】如图，点为线段上一点，、是等边三角形．

请你证明：

⑴；

⑵；

⑶平分．

【例6】（2008年怀化市初中毕业学业考试试卷）如图，四边形、都是正方形，连接、．求证：

．

【例7】如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：

是等边三角形．

【例8】如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：

．

【例9】如图，是等边内的一点，且，，，问的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．

【例10】如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：

为定值．

【补充】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：

．

【例11】（2004河北）如图，已知点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且．求证：

．

【补充】如图所示，在四边形中，，，于，若四边形的面积是16，求的长．

【例12】、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：

．

【例13】（1997年安徽省初中数学竞赛题）在等腰的斜边上取两点、，使，记，，，则以、、为边长的三角形的形状是（）．

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．随、、的变化而变化

【巩固】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．

⑴求证：

．

⑵设（），与的面积和是否存在最大值？

若存在，求出此时的值及．若不存在，请说明理由．

【例14】请阅读下列材料：

已知：

如图1在中，，，点、分别为线段上两动点，若．探究线段、、三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：

把绕点顺时针旋转，得到，连结，

使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴猜想、、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？

请说明你的猜想并给予证明．

【例15】如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．

【例16】在等边的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，，，探究：

当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及的周长与等边的周长L的关系．

⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时=__________

⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且时，猜想

（1）问的两个结论还成立吗？

写出你的猜想并加以证明；

⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________（用x，L表示）

【补充】

（1）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：

EF＝BEFD;

（2）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，

（1）中的结论是否仍然成立？

不用证明．

【例17】平面上三个正三角形，，两两共只有一个顶点，求证：

与平分．

【例18】已知：

如图，、、都是等边三角形，且、、共线，．求证：

也是等边三角形．

【例19】（1997年安徽省竞赛题）如图，在△外面作正方形与，为△的高，其反向延长线交于，求证：

（1）;

（2）

【补充】以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，求证：

CE=BG，且CE⊥BG．

【例20】（北京市初二数学竞赛试题）如图所示，在五边形中，，，求此五边形的面积．

【例21】在五边形中，已知，，，连接．求证：

平分．

【习题1】如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．

【习题2】（湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试）已知：

如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：

．

【习题3】在梯形中，，，，，，是中点，试判断与的位置关系，并写出推理过程．

【习题4】已知：

如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、的高．求证：

．

【备选1】在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．

15、经过有效处理的废水，可以排放到湖泊、河流和海洋中，也可以渗入地下。

答：

①尽可能地不使用一次性用品；②延长物品的使用寿命；③包装盒纸在垃圾中比例很大，购物时减少对它们的使用。

22、光的传播速度是每秒钟30万千米，光年就是光在一年中所走过的距离，它是用来计量恒星间距离的单位。

一、填空：

【备选2】

【备选3】16、大量的研究事实说明生命体都是由细胞组成的，生物是由细胞构成的。

我们的皮肤表面，每平方厘米含有的细胞数量超过10万个。

如图，正方形中，．求证：

．

13、清洁的自来水被用来洗脸、刷牙、洗衣、拖地后就成了污水。

【备选4】等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．

16、大量的研究事实说明生命体都是由细胞组成的，生物是由细胞构成的。

我们的皮肤表面，每平方厘米含有的细胞数量超过10万个。

二、问答：

17、近年来，我国积极推广“无车日”活动，以节约能源和保护环境。

科学家也正在研制太阳能汽车和燃料电池汽车，减少对空气的污染。