中考专题复习三角形和全等三角形.docx

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中考专题复习三角形和全等三角形

专题复习　三角形与全等三角形2015.1

1．三角形的边、角关系

三角形的任意两边之和__大于__第三边；三角形的内角和等于__180°__；在同一个三角形中，大边对大角，__小边对小角__．

三角形的一个外角__等于__和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角__大于__任何一个与它不相邻的内角．

2．三角形的分类

（1）按边分类

（2）按角分类

3．三角形的主要线段

（1）角平分线：

一个角的顶点和这个角的平分线与对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线；三角形三条角平分线的交点，则叫三角形的内心，它到各边的距离相等．

（2）中线：

连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线；三角形三条中线的交点，叫三角形的重心．

（3）高：

三角形的一个顶点和它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高；三角形三条高线的交点，叫三角形的垂心．

（4）中位线：

连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．

（5）垂直平分线：

三角形三边的垂直平分线的交点，叫三角形的外心，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点．

4．全等三角形的性质和判定

（1）性质：

全等三角形对应边相等，对应角相等．注意：

全等三角形对应线段（中线，高）相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等．

（2）判定：

①__两边和夹角__对应相等的两个三角形全等（SAS）；

②__两角和夹边__对应相等的两个三角形全等（ASA）；

③__两角和其中一角的对边__对应相等的两个三角形全等（AAS）；

④__三边__对应相等的两个三角形全等（SSS）；

⑤__斜边和一条直角边__对应相等的两个直角三角形全等（HL）．

一个防范

按边分类时，一定要注意等边三角形也是一种等腰三角形，不要把它单独分出来．选择题中经常把它作为一个错误项出现；按角分类时，每一个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，只要有一个角是直角或者有一个角是钝角，就能判定它是直角三角形或者是钝角三角形，但已知两角都为锐角时，要计算出第三角才能作出判定．

两种思考途径

（1）当图形明显具有对称性（轴对称或中心对称）或旋转性时，思考途径是：

从居于对称位置的线、角或部分证相等或全等入手，或由前一次全等为后一次全等提供所缺的条件，或利用特殊三角形、特殊四边形的性质提供所缺的条件；

（2）图形不具有明显的对称性或旋转性，此时要证明两个三角形全等，在思考上的关键是找准对应关系．其方法是：

已知条件中相等的角、边对应，则它们所对的边、角对应；欲证相等的边、角对应，它们所对的边、角也是对应的；最后所余的一组边、一组角分别对应．

三种基本思路

（1）有两边对应相等时，找夹角相等或第三边对应相等；

（2）有一边和一角对应相等时，找另一角相等或夹等角的另一边相等；

（3）有两个角对应相等时，找一对边对应相等．另外，在寻求全等条件时，要善于挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件．

四种思考方法

（1）顺推分析：

从已知条件出发，运用相应的定理，分别或联合几个已知条件加以发展，一步一步地去靠近欲证目标；

（2）逆推分析：

从欲证结论入手，分析达到欲证的可能途径，逐步沟通它与已知条件的联系，从而找到证明方法；

（3）顺推分析与逆推分析相结合；

（4）联想分析：

对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目，分析它们之间的相同点与不同点，尝试把对前一道题的思考转用于现在的题目中，从而找到它的解法．

六种全等模式

（1）“公共角”模式；

（2）“公共边”模式；（3）“对顶角”模式；（4）“角平分线”模式；（5）“平移”模式；（6）“旋转”模式．

1．（2013·陕西）如图，在四边形ABCD中，对角线AB＝AD，CB＝CD，若连接AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有（C）

A．1对　　　　　　　　B．2对

C．3对D．4对

2．（2014·陕西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，使DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F.

求证：

AB＝BF.

证明：

∵EF⊥AC，∴∠F＋∠C＝90°，∵∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠F，在△FBD和△ABC中，

∴△FBD≌△ABC（AAS），∴AB＝BF

3．（2013·陕西）如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A，B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D.求证：

AC＝OD.

解：

∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∵AC⊥l，BD⊥l，∴∠ACO＝∠BDO＝90°，∴∠A＋∠AOC＝90°，∴∠A＝∠BOD，又∵OA＝OB，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴AC＝OD

　三角形的三边关系

【例1】　

（1）（2013·宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（D）

A．1，2，6　　　B．2，2，4　　C．1，2，3　　　D．2，3，4

（2）（2013·德阳）如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是（A）

A．5.5B．5C．4.5D．4

【点评】　三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确定三角形第三边长c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b.

1．

（1）（2014·宜昌）已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（B）

A．5B．10C．11D．12

（2）（2013·滨州）若从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为（A）

A.

B.

C.

D.

　三角形的内角、外角的性质

【例2】　（2014·赤峰）如图，把一块含有30°角（∠A＝30°）的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么∠AFE＝（D）

A．50°B．40°C．20°D．10°

【点评】　有关求三角形角的度数的问题，首先要明确所求的角和哪些三角形有密切联系，若没有直接联系，可添加辅助线构建“桥梁”．

2．（2013·宁夏）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝22°，则∠BDC等于（C）

A．44°B．60°C．67°D．77°

　全等三角形判定的运用

【例3】　

（1）（2014·深圳）如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（C）

A．AC∥DFB．∠A＝∠D

C．AC＝DFD．∠ACB＝∠F

第

（1）题图）　　

第

（2）题图）

（2）（2013·娄底）如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是__∠B＝∠C或AE＝AD__．（添加一个条件即可）

【点评】　判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

3．

（1）（2013·绥化）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，请添加一个适当的条件__AE＝CB__，使得△EAB≌△BCD.

（2）（2014·邵阳）如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.

①从图中任找两组全等三角形；

②从①中任选一组进行证明．

解：

①△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；②∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝FC，在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（AAS）

　运用全等三角形的性质

【例4】　已知：

如图，在△ABC中，D是BC的中点，ED⊥DF，求证：

BE＋CF＞EF.

解：

证明：

延长ED到M，使DM＝ED，连接CM，FM.∵D是BC的中点，∴BD＝CD.在△EDB与△MDC中，

∴△EDB≌△MDC（SAS），∴BE＝CM.在△FMC中，CF＋CM＞MF，又∵ED⊥DF，ED＝DM，∴EF＝FM.∴CF＋CM＞EF，即CF＋BE＞EF

【点评】　利用中线加倍延长法，把BE，CF，EF集中在一个三角形中，利用三角形的两边之和大于第三边来证．

4．（2014·重庆）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.

（1）求证：

BE＝CF；

（2）在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.

求证：

①ME⊥BC；②DE＝DN.

解：

（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF＝90°，∴∠ACF＝90°－45°＝45°，∴∠B＝∠ACF，∵∠BAC＝90°，FA⊥AE，∴∠BAE＋∠CAE＝90°，∠CAF＋∠CAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，

∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE＝CF　

（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE＝BH，∠BEH＝45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE＝HE，∴DE＝BH＝HE，∵BM＝2DE，∴HE＝HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH＝45°，∴∠BEM＝45°＋45°＝90°，∴ME⊥BC

②由题意得，∠CAE＝45°＋

×45°＝67.5°，∴∠CEA＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠CAE＝∠CEA＝67.5°，∴AC＝CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，

∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM＝∠ECM＝

×45°＝22.5°，又∵∠DAE＝

×45°＝22.5°，∴∠DAE＝∠ECM，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝CD＝

BC，在△ADE和△CDN中，

∴△ADE≌△CDN（ASA），

∴DE＝DN

试题　如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，E是AD上的一点，EB＝EC，∠1＝∠2.求证：

∠BAE＝∠CAE.

错解　证明：

在△AEB和△AEC中，∵AE＝AE，EB＝EC，∠1＝∠2，∴△AEB≌△AEC（SSA），∴∠BAE＝∠CAE.

剖析

（1）先看一个事实，如图，将等腰△ABC的底边BC延长线上的任一点和顶点A相连，所得的△DAB和△DAC无疑是不全等的，由此可知，有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形（简称“边边角”）不一定全等．因此，在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟．

（2）全等三角形的证明是几何证明的基础，关系到以后几何学习的成绩，要熟练掌握判定三角形全等的方法，有“边边边”“边角边”“角角边”及“斜边、直角边”．

（3）怎样添加辅助线：

做个比喻，思考某些题目，在沟通已知和结论的途中，一条河挡住了道路，这时添加必要的辅助线，就好像在河上架起桥梁．添加辅助线的原则一是当分析思考出现上述需要时才添加，而不要在思考伊始就乱连乱添，把图形复杂化，反而把思路搞乱；原则二是顺着思考分析的方向，注意沟通过程中的需要，而水到渠成地添上适宜的一笔；原则三是注意总结在什么情况下需要怎样添加的规律，如对于涉及（指题设或结论中出现）三角形的（中点）中线的问题，可以把该中线延长一倍，再把其端点和中点所在的边的端点相连接，构成三角形全等．

正解　证明：

∵EB＝EC，∴∠3＝∠4.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.在△AEB和△AEC中，∵EB＝EC，∠1＝∠2，AB＝AC，∴△AEB≌△AEC（SAS），∴∠BAE＝∠CAE.

考点跟踪突破20　三角形与全等三角形

一、选择题（每小题6分，共30分）

1．（2014·邵阳）如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是（C）

A．45°B．54°C．40°D．50°

第1题图）　　　　

第2题图）

2．（2014·厦门）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（C）

A．∠EDBB．∠BED

C.

∠AFBD．2∠ABF

3．（2012·南通）如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（B）

A．360°B．250°C．180°D．140°

第3题图）　　　　

第4题图）

4．（2014·威海）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（B）

A．∠BAC＝70°B．∠DOC＝90°

C．∠BDC＝35°D．∠DAC＝55°

5．（2013·铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（C）

A．BC＝EC，∠B＝∠E

B．BC＝EC，AC＝DC

C．BC＝DC，∠A＝∠D

D．∠B＝∠E，∠A＝∠D

二、填空题（每小题6分，共30分）

6．（2014·广州）在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的外角的度数是__140°__．

7．（2014·长沙）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝__6__．

第7题图）　　　

第8题图）

8．（2013·白银）如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为__AC＝DC（答案不唯一）__．（答案不唯一，只需填一个）

9．（2012·乐山）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An－1BC的平分线与∠An－1CD的平分线交于点An，设∠A＝θ.则：

（1）∠A1＝__

__；

（2）∠An＝__

__．

10．（2012·黄石）将下列正确命题的序号填在横线上__②__．

①若n为大于2的正整数，则n边形的所有外角之和为（n－1）·180°；

②三角形的三条中线的交点就是三角形的重心；

③证明两个三角形全等的方法有：

SSS，SAS，ASA，SSA及HL等．

三、解答题（共40分）

11．（10分）（2014·武汉）如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：

DC∥AB.

解：

∵在△ODC和△OBA中，∵

∴△ODC≌△OBA（SAS），∴∠C＝∠A（或者∠D＝∠B）（全等三角形对应角相等），∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行）

12．（10分）（2014·宜宾）如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一直线上，AE＝CF，∠B＝∠D，AD∥BC.求证：

AD＝BC.

解：

∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE，∵在△ADF和△CBE中，

∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AD＝BC

13．（10分）（2013·佛山）课本指出：

公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．

（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；

（2）证明推论AAS.

要求：

叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．

解：

（1）三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是：

两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

（2）已知：

在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，∠C＝∠F，BC＝EF.求证：

△ABC≌△DEF.证明：

如图，在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，∠C＝∠F（已知），∴∠A＋∠C＝∠D＋∠F（等量代换）．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠D＋∠E＋∠F＝180°（三角形内角和定理），∴∠B＝∠E，∴在△ABC与△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（ASA）

14．（10分）（2014·杭州）在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P.求证：

PB＝PC，并直接写出图中其他相等的线段．

解：

在△ABF和△ACE中，

∴△ABF≌△ACE（SAS），∴∠ABF＝∠ACE（全等三角形的对应角相等），∴BF＝CE（全等三角形的对应边相等），∵AB＝AC，AE＝AF，∴BE＝CF，在△BEP和△CFP中，

∴△BEP≌△CFP（AAS），∴PB＝PC，∵BF＝CE，∴PE＝PF，∴图中相等的线段为PE＝PF，BE＝CF