高中数学竞赛讲义十三排列组合与概率Word文档格式.docx
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推论2
从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合,其组合数为
8.二项式定理:
若n∈N+,则(a+b)n=.其中第r+1项Tr+1=叫二项式系数。
9.随机事件:
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动,这个常数叫做事件A发生的概率,记作p(A),0≤p(A)≤1.
10.等可能事件的概率,如果一次试验中共有n种等可能出现的结果,其中事件A包含的结果有m种,那么事件A的概率为p(A)=
11.互斥事件:
不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件,也叫不相容事件。
如果事件A1,A2,…,An彼此互斥,那么A1,A2,…,An中至少有一个发生的概率为
p(A1+A2+…+An)=p(A1)+p(A2)+…+p(An).
12.对立事件:
事件A,B为互斥事件,且必有一个发生,则A,B叫对立事件,记A的对立事件为。
由定义知p(A)+p()=1.
13.相互独立事件:
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
14.相互独立事件同时发生的概率:
两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。
即p(A?
B)=p(A)?
p(B).若事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为p(A1?
A2?
…?
An)=p(A1)?
p(A2)?
p(An).
15.独立重复试验:
若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.
16.独立重复试验的概率:
如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率为pn(k)=?
pk(1-p)n-k.
17.离散型随机为量的分布列:
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫随机变量,例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量,ξ可以取的值有0,1,2,…,10。
如果随机变量的可能取值可以一一列出,这样的随机变量叫离散型随机变量。
一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xi,…,ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率p(ξ=xi)=pi,则称表
ξ
x1
x2
x3
…
xi
p
p1
p2
p3
pi
为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列,称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望或平均值、均值、简称期望,称Dξ=(x1-Eξ)2?
p1+(x2-Eξ)2?
p2+…+(xn-Eξ)2pn+…为ξ的均方差,简称方差。
叫随机变量ξ的标准差。
18.二项分布:
如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率为p(ξ=k)=,ξ的分布列为
1
N
此时称ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p).若ξ~B(n,p),则Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p.
19.几何分布:
在独立重复试验中,某事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变量,若在一次试验中该事件发生的概率为p,则p(ξ=k)=qk-1p(k=1,2,…),ξ的分布服从几何分布,Eξ=,Dξ=(q=1-p).
二、方法与例题
1.乘法原理。
例1
有2n个人参加收发电报培训,每两个人结为一对互发互收,有多少种不同的结对方式?
[解]
将整个结对过程分n步,第一步,考虑其中任意一个人的配对者,有2n-1种选则;
这一对结好后,再从余下的2n-2人中任意确定一个。
第二步考虑他的配对者,有2n-3种选择,……这样一直进行下去,经n步恰好结n对,由乘法原理,不同的结对方式有
(2n-1)×
(2n-3)×
3×
1=
2.加法原理。
例2
图13-1所示中没有电流通过电流表,其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种?
断路共分4类:
1)一个电阻断路,有1种可能,只能是R4;
2)有2个电阻断路,有-1=5种可能;
3)3个电阻断路,有=4种;
4)有4个电阻断路,有1种。
从而一共有1+5+4+1=11种可能。
3.插空法。
例3
10个节目中有6个演唱4个舞蹈,要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱,有多少种不同的安排节目演出顺序的方式?
先将6个演唱节目任意排成一列有种排法,再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出4个安排舞蹈有种方法,故共有=604800种方式。
4.映射法。
例4
如果从1,2,…,14中,按从小到大的顺序取出a1,a2,a3使同时满足:
a2-a1≥3,a3-a2≥3,那么所有符合要求的不同取法有多少种?
设S={1,2,…,14},={1,2,…,10};
T={(a1,a2,a3)|a1,a2,a3∈S,a2-a1≥3,a3-a2≥3},={()∈},若,令,则(a1,a2,a3)∈T,这样就建立了从到T的映射,它显然是单射,其次若(a1,a2,a3)∈T,令,则,从而此映射也是满射,因此是一一映射,所以|T|==120,所以不同取法有120种。
5.贡献法。
例5
已知集合A={1,2,3,…,10},求A的所有非空子集的元素个数之和。
设所求的和为x,因为A的每个元素a,含a的A的子集有29个,所以a对x的贡献为29,又|A|=10。
所以x=10×
29.
[另解]
A的k元子集共有个,k=1,2,…,10,因此,A的子集的元素个数之和为10×
29。
6.容斥原理。
例6
由数字1,2,3组成n位数(n≥3),且在n位数中,1,2,3每一个至少出现1次,问:
这样的n位数有多少个?
用I表示由1,2,3组成的n位数集合,则|I|=3n,用A1,A2,A3分别表示不含1,不含2,不含3的由1,2,3组成的n位数的集合,则|A1|=|A2|=|A3|=2n,|A1A2|=|A2A3|=|A1A3|=1。
|A1A2A3|=0。
所以由容斥原理|A1A2A3|==3×
2n-3.所以满足条件的n位数有|I|-|A1A2A3|=3n-3×
2n+3个。
7.递推方法。
例7
用1,2,3三个数字来构造n位数,但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中,问:
能构造出多少个这样的n位数?
设能构造an个符合要求的n位数,则a1=3,由乘法原理知a2=3×
3-1=8.当n≥3时:
1)如果n位数的第一个数字是2或3,那么这样的n位数有2an-1;
2)如果n位数的第一个数字是1,那么第二位只能是2或3,这样的n位数有2an-2,所以an=2(an-1+an-2)(n≥3).这里数列{an}的特征方程为x2=2x+2,它的两根为x1=1+,x2=1-,故an=c1(1+)n+c2(1+)n,由a1=3,a2=8得,所以
8.算两次。
例8
m,n,r∈N+,证明:
①
[证明]
从n位太太与m位先生中选出r位的方法有种;
另一方面,从这n+m人中选出k位太太与r-k位先生的方法有种,k=0,1,…,r。
所以从这n+m人中选出r位的方法有种。
综合两个方面,即得①式。
9.母函数。
例9
一副三色牌共有32张,红、黄、蓝各10张,编号为1,2,…,10,另有大、小王各一张,编号均为0。
从这副牌中任取若干张牌,按如下规则计算分值:
每张编号为k的牌计为2k分,若它们的分值之和为2004,则称这些牌为一个“好牌”组,求好牌组的个数。
对于n∈{1,2,…,2004},用an表示分值之和为n的牌组的数目,则an等于函数f(x)=(1+)2?
(1+)3?
?
…?
(1+)3的展开式中xn的系数(约定|x|<
1),由于f(x)=[(1+)(1+)?
(1+)]3=3=3。
而0≤2004<
211,所以an等于的展开式中xn的系数,又由于=?
=(1+x2+x3+…+x2k+…)[1+2x+3x2+…+(2k+1)x2k+…],所以x2k在展开式中的系数为a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,…,从而,所求的“好牌”组的个数为a2004=10032=1006009.
10.组合数的性质。
例10
证明:
是奇数(k≥1).
=令i=?
pi(1≤i≤k),pi为奇数,则,它的分子、分母均为奇数,因是整数,所以它只能是若干奇数的积,即为奇数。
例11
对n≥2,证明:
1)当n=2时,22<
=6<
42;
2)假设n=k时,有2k<
<
4k,当n=k+1时,因为
又<
4,所以2k+1<
.
所以结论对一切n≥2成立。
11.二项式定理的应用。
例12
若n∈N,n≥2,求证:
首先其次因为,所以2+得证。
例13
首先,对于每个确定的k,等式左边的每一项都是两个组合数的乘积,其中是(1+x)n-k的展开式中xm-h的系数。
是(1+y)k的展开式中yk的系数。
从而?
就是(1+x)n-k?
(1+y)k的展开式中xm-hyh的系数。
于是,就是展开式中xm-hyh的系数。
另一方面,==?
=(xk-1+xk-2y+…+yk-1),上式中,xm-hyh项的系数恰为。
所以
12.概率问题的解法。
例14
如果某批产品中有a件次品和b件正品,采用有放回的抽样方式从中抽取n件产品,问:
恰好有k件是次品的概率是多少?
把k件产品进行编号,有放回抽n次,把可能的重复排列作为基本事件,总数为(a+b)n(即所有的可能结果)。
设事件A表示取出的n件产品中恰好有k件是次品,则事件A所包含的基本事件总数为?
akbn-k,故所求的概率为p(A)=
例15
将一枚硬币掷5次,正面朝上恰好一次的概率不为0,而且与正面朝上恰好两次的概率相同,求恰好三次正面朝上的概率。
设每次抛硬币正面朝上的概率为p,则掷5次恰好有k次正面朝上的概率为(1-p)5-k(k=0,1,2,…,5),由题设,且0<
p<
1,化简得,所以恰好有3次正面朝上的概率为
例16
甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛,已知每一局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,比赛时可以用三局二胜或五局三胜制,问:
在哪一种比赛制度下,甲获胜的可能性大?
[解]
(1)如果采用三局两胜制,则甲在下列两种情况下获胜:
A1—2:
0(甲净胜二局),A2—2:
1(前二局甲一胜一负,第三局甲胜).p(A1)=0.6×
0.6=0.36,p(A2)=×
0.6×
0.4×
0.6=0.288.
因为A1与A2互斥,所以甲胜概率为p(A1+A2)=0.648.
(2)如果采用五局三胜制,则甲在下列三种情况下获胜:
B1—3:
0(甲净胜3局),B2—3:
1(前3局甲2胜1负,第四局甲胜),B3—3:
2(前四局各胜2局,第五局甲胜)。
因为B1,B2,B2互斥,所以甲胜概率为p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.63+×
0.62×
0.6+×
0.42×
0.6=0.68256.
由
(1),
(2)可知在五局三胜制下,甲获胜的可能性大。
例17
有A,B两个口袋,A袋中有6张卡片,其中1张写有0,2张写有1,3张写有2;
B袋中有7张卡片,其中4张写有0,1张写有1,2张写有2。
从A袋中取出1张卡片,B袋中取2张卡片,共3张卡片。
求:
(1)取出3张卡片都写0的概率;
(2)取出的3张卡片数字之积是4的概率;
(3)取出的3张卡片数字之积的数学期望。
[解]
(1);
(3)记ξ为取出的3张卡片的数字之积,则ξ的分布为
2
4
8
三、基础训练题
1.三边长均为整数且最大边长为11的三角形有_________个。
2.在正2006边形中,当所有边均不平行的对角线的条数为_________。
3.用1,2,3,…,9这九个数字可组成_________个数字不重复且8和9不相邻的七位数。
4.10个人参加乒乓球赛,分五组,每组两个人有_________种分组方法。
5.以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。
6.今天是星期二,再过101000天是星期_________。
7.由展开式所得的x的多项式中,系数为有理数的共有_________项。
8.如果凸n边形(n≥4)的任意三条对角线不共点,那么这些对角线在凸n边形内共有_________个交点。
9.袋中有a个黑球与b个白球,随机地每次从中取出一球(不放回),第k(1≤k≤a+b)次取到黑球的概率为_________。
10.一个箱子里有9张卡片,分别标号为1,2,…,9,从中任取2张,其中至少有一个为奇数的概率是_________。
11.某人拿着5把钥匙去开门,有2把能打开。
他逐个试,试三次之内打开房门的概率是_________。
12.马路上有编号为1,2,3,…,10的十盏路灯,要将其中三盏关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方法种数是_________。
13.a,b,c,d,e五个人安排在一个圆桌周围就坐,若a,b不相邻有_________种安排方式。
14.已知i,m,n是正整数,且1<
i≤m≤n。
证明:
(2)(1+m)n>
(1+n)m.
15.一项“过关游戏”规定:
在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所得到的点数之和大于2n,则算过关。
问:
(1)某人在这项游戏中最多能过几关?
(2)他连过前三关的概率是多少?
(注:
骰子是一个在各面上分别有1,2,3,4,5,6点数的均匀正方体)
四、高考水平训练题
1.若n∈{1,2,…,100}且n是其各位数字和的倍数,则这种n有__________个。
2.从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数,能组成过原点,且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条。
3.四面体的顶点和各棱的中点共10个点,在其中任取4个不共面的点,有_________种取法。
4.三个人传球,从甲开始发球,每次接球后将球传给另外两人中的任意一个,经5次传球后,球仍回到甲手中的传法有_________种。
5.一条铁路原有m个车站(含起点,终点),新增加n个车站(n>
1),客运车票相应地增加了58种,原有车站有_________个。
6.将二项式的展开式按降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x的幂指数是整数的项有_________个。
7.从1到9这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数,共可得到_________种不同的对数值。
8.二项式(x-2)5的展开式中系数最大的项为第_________项,系数最小的项为第_________项。
9.有一批规格相同的均匀圆棒,每根被划分成长度相同的5节,每节用红、黄、蓝三色之一涂色,可以有_________种颜色不同的圆棒?
(颠倒后相同的算同一种)
10.在1,2,…,2006中随机选取3个数,能构成递增等差数列的概率是_________。
11.投掷一次骰子,出现点数1,2,3,…,6的概率均为,连续掷6次,出现的点数之和为35的概率为_________。
12.某列火车有n节旅客车厢,进站后站台上有m(m≥n)名旅客候车,每位旅客随意选择车厢上车,则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。
13.某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?
(粮食单产=)
五、联赛一试水平训练题
1.若0<
a<
b<
c<
d<
500,有_________个有序的四元数组(a,b,c,d)满足a+d=b+c且bc-ad=93.
2.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线倾斜角为锐角,这样的直线条数是_________。
3.已知A={0,1,2,3,4,5,6,7},映射f:
A→A满足:
(1)若i≠j,则f(i)≠f(j);
(2)若i+j=7,则f(i)+f(j)=7,这样的映射的个数为_________。
4.1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5具有性质:
对于1≤i≤4,a1,a2,…,ai不构成1,2,…,i的某个排列,这种排列的个数是_________。
5.骰子的六个面标有1,2,…,6这六个数字,相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差,变差的总和叫全变差V,则全变差V的最大值为_________,最小值为_________。
6.某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛2场之后就退出了,这样,全部比赛只进行50场,上述三名选手之间比赛场数为_________。
7.如果a,b,c,d都属于{1,2,3,4}且a≠b,b≠c,c≠d,d≠a;
且a是a,b,c,d中的最小值,则不同的四位数的个数为_________。
8.如果自然数a各位数字之和等于7,那么称a为“吉祥数”,将所有的吉祥数从小到大排成一列a1,a2,a3,…,若an=2005,则an=_________。
9.求值:
=_________。
10.投掷一次骰子,出现点数1,2,…,6的概率均为,连续掷10次,出现的点数之和是30的概率为_________。
11.将编号为1,2,…,9这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小球,设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为S,求S达到最小值的放法的概率(注:
如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合,则认为是相同的放法)。
12.甲、乙两人轮流向同一目标射击,第一次甲射击,以后轮流射击,甲每次击中的概率为p(0<
1),乙每次击中的概率为q(0<
q<
1),求甲、乙首先击中的概率各是多少?
13.设m,n∈N,0<
m≤n,求证:
…+
六、联赛二试水平训练题
1.100张卡片上分别写有数字1到100,一位魔术师把这100张卡片放入颜色分别是红色、白色、蓝色的三个盒子里,每个盒子里至少放入一张卡片。
一位观众从三个盒子中挑出两个,并从中各选取一张卡片,然后宣布这两张卡片上的两个数的和数,魔术师知道这个和数之后,便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。
共有多少种放卡片的方法,使得这个魔术师总能够成功?
(如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子,两种方法被认为是不同的)
2.设S={1,2,…,10},A1,A2,…,Ak是S的k个子集合,满足:
(1)|Ai|=5,i=1,2,…,k;
(2)|AiAj|≤2,1≤i<
j≤k,求k的最大值。
3.求从集合{1,2,…,n}中任取满足下列条件的k个数{j1,j2,…,jk}的组合数;
(1)1≤j1<
j2<
…<
jk≤n;
(2)jh+1-jh≥m,h=1,2,…,k-1,其中m>
1为固定的正整数;
(3)存在h0,1≤h0≤k-1,使得≥m+1.
4.设,其中S1,S2,…,Sm都是正整数且S1<
S2<
Sm,求证组合数中奇数的个数等于2m。
5.个不同的数随机排成图13-2所示的三角形阵,设Mk是从上往下第k行中的最大数,求M1<
M2<
Mn的概率。
6.证明: