北师大版九年级数学下册 第2章 二次函数 单元测试试题有答案Word文件下载.docx
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B.
C.
D.
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示,下列结论:
①abc>0;
②2a+b=0;
③a﹣b+c>0;
④当x≠1时,a+b>ax2+bx;
⑤4ac<b2.
其中正确的有( )个
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么下列判断正确的( )
A.a>0,b>0,c>0B.a<0,b<0,c<0
C.a<0,b>0,c>0D.a<0,b<0,c>0
10.在平面直角坐标系xOy中,若点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为完美点.已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个完美点(
,
),且当0≤x≤m时,函数y=ax2+4x+c﹣
(a≠0)的最小值为﹣3,最大值为1,则m的取值范围是( )
A.﹣1≤m≤0B.2≤m<
C.2≤m≤4D.
<m≤
二.填空题(共8小题)
11.在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣(x﹣1)2+2的顶点坐标是 .
12.已知y=(m﹣2)x|m|+2是y关于x的二次函数,那么m的值为 .
13.某公司10月份的产值是100万元,如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同,都为x(x>0),12月份的产值为y万元,那么y关于x的函数解析式是 .
14.下表是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y的对应关系,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个近似解x的值大约是 (精确到0.1)
6.1
6.2
6.3
6.4
y=ax2+bx+c
﹣0.3
﹣0.1
0.2
0.4
15.抛物线y=x2﹣2x+5化成y=a(x﹣h)2+k的形式是 .
16.函数y=﹣(x﹣1)2+1(x≥3)的最大值是 .
17.若点M(﹣3,y1),N(﹣1,y2),P(4,y3)在抛物线y=﹣x2+2x+m上,则y1,y2,y3大小顺序为 .(用“<”号连接)
18.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=
﹣3与x轴交于点A、B(A在B左侧),与y轴交于点C,经过点A的射线AF与y轴正半轴相交于点E,与抛物线的另一个交点为F,
,点D是点C关于抛物线对称轴的对称点,点P是y轴上一点,且∠AFP=∠DAB,则点P的坐标是 .
三.解答题(共8小题)
19.如图,若二次函数y=x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左
侧),与y轴交于C点.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)若P(m,﹣2)为二次函数y=x2﹣x﹣2图象上一点,求m的值.
20.已知函数y=(m2+2m)x2+mx+m+1,
(1)当m为何值时,此函数是一次函数?
(2)当m为何值时,此函数是二次函数?
21.已知函数y=﹣(x﹣1)(x﹣3).
(1)指出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和它的变化情况;
(2)选取适当的数据填入表格,并在如图所示的直角坐标系内描点,画出该函数的图象.
⋅⋅⋅
22.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求a,b的值;
(2)若点P为直线BC上一点,点P到A,B两点的距离相等,将该抛物线向左(或向右)平移,得到一条新抛物线,并且新抛物线经过点P,求新抛物线的顶点坐标.
23.抛物线y=﹣x2+bx+c过点(0,﹣5)和(2,1).
(1)求b,c的值;
(2)当x为何值时,y有最大值?
24.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表:
2
3
10
5
(1)求该二次函数的表达式;
(2)当y>5时,x的取值范围是 .
25.某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域,其中区域①是正方形,区域②和③是矩形,且AG:
BG=3:
2.设BG的长为2x米.
(1)用含x的代数式表示DF= ;
(2)x为何值时,区域③的面积为180平方米;
(3)x为何值时,区域③的面积最大?
最大面积是多少?
26.已知二次函数y=(x﹣m)(x+m+4),其中m为常数.
(1)求证:
不论m为何值,该二次函数的图象与x轴有公共点.
(2)若A(﹣1,a)和B(n,b)是该二次函数图象上的两个点,请判断a、b的大小关系.
参考答案与试题解析
1.解:
由题意得:
a﹣1≠0,
解得:
a≠1,
故选:
D.
2.解:
∵二次函数y=3(x﹣2)2﹣1,
∴该函数图象的顶点坐标为(2,﹣1),
3.解:
y=x2+2先向右平移2个单位,再向下平移3个单位得到的抛物线的表达式是y=(x﹣2)2﹣1.
B.
4.解:
根据已知条件利用待定系数法可得:
y1=﹣
(x﹣
)2+
y2=﹣
y3=﹣
(x﹣1)2+
y4=﹣(x﹣1)2+7=﹣x2+2x+6.
y4与y轴交点为(0,6).
∴①四条抛物线的开口方向均向下;
③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的下方;
所以①②④正确.
5.解:
作出BC边上的高AD.
∵△ABC是等边三角形,边长为x,
∴CD=
x,
∴高为h=
∴y=
x×
h=
x2.
6.解:
∵x=1.1时,y=ax2+bx+c=﹣0.49;
x=1.2时,y=ax2+bx+c=0.04;
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点在(1.1,0)和点(1.2,0)之间,更靠近点(1.2,0),
∴方程ax2+bx+c=0有一个根约为1.2.
7.解:
∵二次函数y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1,
∴开口向上,顶点为(1,﹣1),且经过原点.
8.解:
①图象开口向下,与y轴交于正半轴,对称轴在y轴右侧,能得到:
a<0,c>0,﹣
>0,b>0,
∴abc<0,故①错误;
②∵对称轴x=1,
∴﹣
=1,
∴2a+b=0,故②正确.
③当x=﹣1时,y<0,∴a﹣b+c<0,故③错误.
④∵抛物线开口向下,对称轴x=1,
∴当x=1时,函数有最大值y=a+b+c,
∴a+b+c>ax2+bx+c(x≠1),
即a+b>ax2+bx,故④正确;
⑤图象与x轴有2个不同的交点,依据根的判别式可知b2﹣4ac>0,即4ac<b2.故⑤正确;
综上所述正确的个数为3个
9.解:
抛物线开口向下,因此a<0,对称轴在y轴的右侧,a、b异号,所以b>0,抛物线与y轴交在正半轴,因此c>0,
10.解:
令ax2+4x+c=x,即ax2+3x+c=0,
由题意,△=32﹣4ac=0,即4ac=9,
又方程的根为
=
解得a=﹣1,c=﹣
故函数y=ax2+4x+c﹣
=﹣x2+4x﹣3,
如图,该函数图象顶点为(2,1),与y轴交点为(0,﹣3),由对称性,该函数图象也经过点(4,﹣3).
由于函数图象在对称轴x=2左侧y随x的增大而增大,在对称轴右侧y随x的增大而减小,且当0≤x≤m时,函数y=﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3,最大值为1,
∴2≤m≤4,
11.解:
∵抛物线y=﹣(x﹣1)2+2,
∴该抛物线的顶点坐标为(1,2),
故答案为:
(1,2).
12.解:
∵y=(m﹣2)x|m|+2是y关于x的二次函数,
∴|m|=2,且m﹣2≠0,
m=﹣2.
﹣2.
13.解:
由题意可得,
y=100(1+x)2,
y=100(1+x)2.
14.解:
由表可知,当x=6.2时,y的值最接近0,
所以,方程ax2+bx+c=0一个解的近似值为6.2,
6.2.
15.解:
y=x2﹣2x+5=(x﹣1)2+4.
故答案是:
y=(x﹣1)2+4.
16.解:
∵函数y=﹣(x﹣1)2+1,
∴对称轴为直线x=1,当x>1时,y随x的增大而减小,
∵当x=3时,y=﹣3,
∴函数y=﹣(x﹣1)2+1(x≥3)的最大值是﹣3.
故答案为﹣3.
17.解:
抛物线y=﹣x2+2x+m的对称轴为直线x=﹣
∵a=﹣1<0,
∴当x<1时y随x的增大而增大,
当x>1时,y随x的增大而减小,
∵1﹣(﹣3)=1+3=4,
1﹣(﹣1)=1+1=2,
4﹣1=3,
∴y1<y3<y2.
y1<y3<y2.
18.解:
过点F作FM⊥x轴,垂足为M.
设E(0,t),则OE=t.
∵
∴
.
∴F(6,4t).
将点F(6,4t)代入y=
x2﹣
x﹣3得:
×
62﹣
3×
6﹣3=0,解得t=
∴cot∠FAB=
∵y=
﹣3=
(x+2)(x﹣4).
∴A(﹣2,0),B(4,0).
易得抛物线的对称轴为x=1,C(0,﹣3).
∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点,
∴D(2,﹣3).
∴cot∠DAB=
∴∠FAB=∠DAB.
如下图所示:
当点P在AF的上方时,∠PFA=∠DAB=∠FAB,
∴PF∥AB,
∴yP=yF=6.
由
(1)可知:
F(6,4t),t=
∴F(6,6).
∴点P的坐标为(0,6).
当点P在AF的下方时,如下图所示:
设FP与x轴交点为G(m,0),则∠PFA=∠FAB,可得到FG=AG,
∴(6﹣m)2+62=(m+2)2,解得:
m=
∴G(
,0).
设PF的解析式为y=kx+b,将点F和点G的坐标代入得:
k=
,b=﹣
∴P(0,﹣
).
综上所述,点P的坐标为(0,6)或P(0,﹣
(0,6)或P(0,﹣
19.解:
(1)当y=0时,x2﹣x﹣2=0,解得x1=﹣1,x2=2,
∴A(﹣1,0),B(2,0);
(2)把P(m,﹣2)代入y=x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2=﹣2,解得m1=0,m2=1,
∴m的值为0或1.
20.解:
(1)∵函数y=(m2+2m)x2+mx+m+1,是一次函数,
∴m2+2m=0,m≠0,
m=﹣2;
(2))∵函数y=(m2+2m)x2+mx+m+1,是二次函数,
∴m2+2m≠0,
m≠﹣2且m≠0.
21.解:
(1)y=﹣(x﹣1)(x﹣3).
=﹣x2+4x﹣3
=﹣(x﹣2)2+1,
∴抛物线的开口向下,
抛物线的顶点坐标为(2,1),
当x≤2时,y随x的增大而增大;
当x≥2时,y随x的增大而减小;
(2)当x=0时,y=﹣3;
当x=1时,y=0;
当x=2时,y=1;
当x=3时,y=0;
当x=4时,y=﹣3,如图,
故答案为0,﹣3;
1,0;
2,1;
3,0;
4,﹣3.
22.解:
(1)∵二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过点A(﹣1,0),点B(3,0),
,解得
;
(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,C(3,0),
∵点P到A,B两点的距离相等,
∴点P在抛物线的对称轴x=1上,
∵B(3,0),C(0,3),
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,
令x=1,则y=﹣1+3=2,
∴P(1,2),
设平移后的新抛物线的解析式为y=﹣(x﹣h)2+4,
∵新抛物线经过点P,
∴2=﹣(1﹣h)2+4,
解得h1=1+
,h2=1﹣
∴新抛物线的顶点坐标为(1+
,4)或(1﹣
,4).
23.解:
(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点(0,﹣5)和(2,1).
解得
∴b,c的值分别为5,﹣5.
(2)∵抛物线y=﹣x2+5x﹣5中,a=﹣1<0,
∴当x=﹣
时y有最大值.
24.解:
(1)由表格可知,抛物线经过(1,2)、(3,2),
∴对称轴为直线x=
=2,
∴抛物线的顶点为(2,1),
设函数为y=a(x﹣2)2+1.
∵函数的图象经过点(0,5),
∴5=a×
(﹣2)2+1.解得a=1.
∴该二次函数的表达式为y=(x﹣2)2+1(或y=x2﹣4x+5);
(2)由所给数据可知当x=2时,y有最小值1,
∴二次函数的对称轴为x=2.
∴x=4时,y=5,
∴当y>5时,对应的x的范围为x<0或x>4,
故答案为x<0或x>4.
25.解:
(1)∵区域①是正方形,区域②和③是矩形,
AG:
2.设BG的长为2x米,则AG=3x,
∴AP=GH=BE=PH=AG=3x,
EH=GB=2x,
DC=PE=AB=5x,
∴DF=
(96﹣3×
5x﹣3×
3x)=48﹣12x.
故答案为48﹣12x.
(2)根据题意,得5x(48﹣12x)=180,
解得x1=1,x2=3
答:
x为1或3时,区域③的面积为180平方米;
(3)设区域③的面积为S,
则S=5x(48﹣12x)
=﹣60x2+240x
=﹣60(x﹣2)2+240
∵﹣60<0,
∴当x=2时,S有最大值,最大值为240
x为2时,区域③的面积最大,为240平方米.
26.
(1)证明:
方法一:
令y=0,(x﹣m)(x+m+4)=0,
解得x1=m,x2=﹣m﹣4,
当m=﹣m﹣4时,得m=﹣2,方程有两个相等的实数根,故二次函数与x轴有一个公共点;
当m≠﹣m﹣4,得m≠﹣2,方程有两个不相等的实数根,故二次函数与x轴有两个公共点;
由上可得,不论m为何值,该二次函数的图象与x轴有公共点.
方法二:
∵y=(x﹣m)(x+m+4)=x2+4x﹣m2﹣4m,
∴当y=0时,△=b2﹣4ac=42﹣4×
1×
(﹣m2﹣4m)=4m2+16m+16=4(m+2)2≥0,即方程有两个实数根.
∴不论m为何值,该二次函数的图象与x轴有公共点;
(2)∵y=(x﹣m)(x+m+4)=x2+4x﹣m2﹣4m,
∴该函数的图象的对称轴为直线x=﹣
=﹣2,函数图象开口向上,
∵A(﹣1,a)和B(n,b)是该二次函数图象上的两个点,
∴当n=﹣3时,a=b,
当﹣3<n<﹣1时,a>b,
当n<﹣3或n>﹣1时,a<b.