数学课本独立事件.docx

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数学课本独立事件

　独立事件

每次乐透彩券开奖前，常有人说这个号码上次出现了，这次不可能再出现；或是有人说这个号码连续出现了好几次，因此这次一定会再出现。

到底哪一个说法才是对的呢？

本节将复习第二册所介绍的独立事件的概念，并以实例说明二或三个独立事件的条件，求得各项情形的机率。

1　独立事件

一副扑克牌共有52张牌，分为4种花色：

黑桃（）、红心（）、方块（◆）、梅花（）；又分别有13个号码：

A，K，Q，J，10，9，8，7，6，5，4，3，2；每张牌都是由一种花色与一个号码组成。

从一副牌中任取一张，所得的花色与号码互不影响，这就是独立事件的概念。

详细计算如下：

令A表示抽到梅花的事件，B表示抽到3点的事件，则

表示抽到3点的机率，而

P（B|A）＝＝＝。

表示在抽到梅花的条件下，该张牌是3点（也就是梅花3）的机率。

因为

P（B）＝＝P（B|A）。

此式表示B发生的机率不受到A发生与否的影响。

同理，同学们亦可检验

P（A）＝P（A|B），即A发生的机率不受到B发生与否的影响。

我们称A和B互为独立事件。

随堂练习

如上述例子，计算P（A）与P（A|B），并验证两者相等。

当P（A）＞0且P（B）＞0时，由

P（B）＝P（B|A）⇔P（B）＝，

P（A）＝P（A|B）⇔P（A）＝，

都有

P（A∩B）＝P（A）P（B）。

当P（A）＝0或P（B）＝0时，上式亦成立。

因此，我们将此式作为A，B为独立事件的定义。

※两事件为独立事件

设事件A与事件B是样本空间中的两事件。

若

P（A∩B）＝P（A）P（B），

则称A，B为独立事件，否则称为相依事件。

例题1

投掷一颗公正骰子1次，若A表示掷出1点或2点的事件，B表示掷出奇数点的事件，C表示掷出偶数点的事件，试问：

（1）A，B是否为独立事件？

（2）B，C是否为独立事件？

解　

（1）依题意，P（A）＝，P（B）＝，P（A∩B）＝，

因为　　　　　　P（A∩B）＝＝P（A）P（B），

所以A，B为独立事件。

（2）依题意，P（B）＝，P（C）＝，

但因为B，C为互斥事件，所以P（B∩C）＝0，

可知

P（B∩C）≠P（B）P（C），

所以B，C为相依事件。

注意到，由例题1的结果可知，A，B为独立事件，但A∩B＝{1}。

B，C为相依事件，但B∩C＝（互斥），因此独立事件和互斥事件是不同的概念，请仔细辨明。

随堂练习

同时投掷一枚均匀硬币与一颗公正骰子，我们把硬币出现正面的情形称为A事件，骰子出现1点的情形称为B事件，则A，B是否为独立事件？

若A，B为独立事件时，A，B′是否为独立事件呢？

如图7，

P（A）＝P（A∩B）＋P（A∩B′），

又A，B为独立事件，所以

P（A∩B）＝P（A）P（B），因此

P（A∩B′）＝P（A）－P（A∩B）

＝P（A）－P（A）P（B）

＝P（A）（1－P（B））

＝P（A）P（B′），

所以A，B′为独立事件。

图7

同理，亦可证出当A，B为独立事件时，A′，B为独立事件，且A′，B′也为独立事件。

随堂练习

若A，B为独立事件，且P（A）＝0.2，P（B）＝0.4，试求P（A′∩B）与P（A′∩B′）。

例题2

小淇和小芬一起到夜市玩射飞镖游戏，已知小淇命中靶的机率是，小芬命中靶的机率是；小淇先射飞镖，小芬其次，且小淇射中与否与小芬射中与否是独立事件。

若他们两人向同一靶各射1次飞镖，试求：

（1）只有小淇射中的机率。

（2）两人都没射中的机率。

解　若A表示小淇命中靶的事件，B表示小芬命中靶的事件，则依题意

P（A）＝，P（B）＝。

（1）因A，B为独立事件，所以A，B′也是独立事件，即只有小淇射中的

机率为

P（A∩B′）＝P（A）P（B′）

＝×＝。

（2）因A，B为独立事件，所以A′，B′也是独立事件，即两人都没射中的

机率为

P（A′∩B′）＝P（A′）P（B′）

＝×＝。

随堂练习

小穗投篮的命中率为0.2，且每次投篮的结果互相独立，试求她在2次投篮的情形下，至少有一次命中的机率。

三事件为独立事件的定义如下：

※三事件为独立事件

当三事件A，B，C同时满足下列四项条件：

（1）P（A∩B）＝P（A）P（B），

（2）P（B∩C）＝P（B）P（C），

（3）P（A∩C）＝P（A）P（C），

（4）P（A∩B∩C）＝P（A）P（B）P（C），

称A，B，C三事件为独立事件。

例题3

一袋装有编号为1到12号的球各一颗，今自袋中任取一球，设

事件A为取到球号为1，2，3，4的事件，

事件B为取到球号为1，2，5，6，7，8的事件，

事件C为取到球号为1，2，5，9，11，12的事件。

试问：

（1）A，B事件、B，C事件、A，C事件是否为独立事件？

（2）A，B，C三事件是否为独立事件？

解　

（1）依题意，P（A）＝＝，P（B）＝P（C）＝＝，

又A∩B＝{1，2}，

B∩C＝{1，2，5}，

A∩C＝{1，2}，

A∩B∩C＝{1，2}

可知

P（A∩B）＝＝P（A）P（B），

P（B∩C）＝＝P（B）P（C），

P（A∩C）＝＝P（A）P（C），

所以A，B事件、B，C事件、A，C事件均为独立事件。

（2）由第

（1）小题得

P（A∩B∩C）＝≠＝P（A）P（B）P（C），

所以A，B，C三事件不是独立事件。

随堂练习

一袋装有编号为1到8号的球各一颗，今自袋中任取一球。

设

事件A为取到球号为1，2，3，4的事件，

事件B为取到球号为2，4，6，8的事件，

事件C为取到球号为1，2，5，6的事件。

试问A，B，C三事件是否为独立事件？

假设A1，A2，A3为三个独立事件。

若将其中某几个事件以余事件取代时，所得的三个事件仍为独立事件。

此性质同学们可自行检验。

随堂练习

若A，B，C为独立事件，且P（A）＝0.2，P（B）＝0.4，P（C）＝0.5，

试求P（A′∩B∩C′）。

例题4

如图8，某地甲村与乙村之间有一条大河流穿过，且有三座风帆景观桥跨越此河连接两村。

已知A桥、B桥、C桥在任一时刻开放通行的机率分别为0.7、0.6、0.8、并且三座桥的开放与否为独立事件。

试问在任一时刻，三座桥之中至少有一座桥开放通行的机率是多少？

图8

解　设事件A、B、C分别代表桥开放通行的事件，由题目假设可知此三事件为独立事件。

因此三座桥同时不开放通行的机率为

P（A′∩B′∩C′）＝P（A′）P（B′）P（C′）

＝（1－P（A））（1－P（B））（1－P（C））

＝（1－0.7）（1－0.6）（1－0.8）

＝0.024，

由此可得三座桥至少有一座桥开放通行的机率为

1－P（A′∩B′∩C′）＝1－0.024＝0.976。

随堂练习

甲、乙、丙三人射击的命中率分别为0.6、0.5、0.4，且各人命中与否为独立事件。

若三人各射击1次，试求下列机率：

（1）三个人都命中。

（2）恰有两人命中。

一般而言，将独立事件中的若干个事件以余事件取代时，所得的事件仍为独立事件。

此性质将会在下一节中用到。

习题　1-3

一、基本题

1.有两事件A，B满足P（A）＝，P（B）＝，P（A∩B）＝，试问A，B两事件是否为独立事件？

2.设P（A）＞0，P（B）＞0，且P（A∩B）＝P（A）P（B），则下列选项何者正确？

（A）A，B为独立事件（B）P（A|B）＝P（A）

（C）P（B|A）＝P（B）（D）P（B|A′）＝P（B）

（E）P（A′|B）＝P（A′）

3.投掷一颗公正的骰子2次，设每一种结果出现的机率均相同，以A表示第一次掷出的点数为1的事件，以B表示第二次掷出的点数为1的事件，试求：

（1）P（A）。

（2）P（B）。

（3）P（A∩B）。

（4）A，B是否为独立事件？

4.若两事件为独立事件，且P（A）＝，P（B）＝，试求P（A∪B）。

5.连续投掷一枚均匀硬币3次，设每一种结果出现的机率均相同，以A表示第一次出现正面的事件，以B表示第二次出现正面的事件，以C表示第三次出现正面的事件，则A，B，C三事件是否为独立事件？

二、进阶题

6.假设阿圣在篮球赛当中罚球的命中率为4成，且每次罚球命中与否为独立事件，则三次罚球恰好有两次投中的机率为何？

7.某跨国企业在台湾的分公司共有165名员工﹐其性别与国籍分配如下表：

本国籍

外国籍

男

80

a

女

b

15

现在想要从中抽出1人代表台湾分公司前往总公司开会，若欲使抽中的人性别与国籍是独立事件﹐试求a，b的值。

8.连续投掷一颗公正骰子2次，设每一种结果出现的机率均相同，以A表示第一次掷出的点数为2的事件，以B表示第二次掷出的点数为3的事件，以C表示两次的点数和为5的事件，以D表示两次的点数和为12的事件，试问：

（1）A，B，C三事件是否为独立事件？

（2）A，B，D三事件是否为独立事件？

三、挑战题

9.阿亦每天需要从A地开车到B地上班，假设各路段发生塞车事件的机率如下图所示，且各路段发生塞车的事件都是独立的。

请你帮阿亦选择一条由A到B的路线，使得途中发生塞车的机率最小。