数学课本独立事件.docx

1、数学课本独立事件独立事件每次乐透彩券开奖前，常有人说这个号码上次出现了，这次不可能再出现；或是有人说这个号码连续出现了好几次，因此这次一定会再出现。到底哪一个说法才是对的呢？本节将复习第二册所介绍的独立事件的概念，并以实例说明二或三个独立事件的条件，求得各项情形的机率。1独立事件一副扑克牌共有 52 张牌，分为 4 种花色：黑桃（）、红心（）、方块（）、梅花（）；又分别有 13 个号码：A，K，Q，J，10，9，8，7，6，5，4，3，2；每张牌都是由一种花色与一个号码组成。从一副牌中任取一张，所得的花色与号码互不影响，这就是独立事件的概念。详细计算如下：令 A 表示抽到梅花的事件，B 表示抽

2、到 3 点的事件，则 表示抽到 3 点的机率，而P（B | A）。表示在抽到梅花的条件下，该张牌是 3 点（也就是梅花 3）的机率。因为P（B）P（B | A）。此式表示 B 发生的机率不受到 A 发生与否的影响。同理，同学们亦可检验 P（A）P（A | B），即 A 发生的机率不受到 B 发生与否的影响。我们称 A 和 B 互为独立事件。随堂练习 如上述例子，计算 P（A）与 P（A | B），并验证两者相等。 当 P（A）0 且 P（B）0 时，由P（B）P（B | A） P（B），P（A）P（A | B） P（A），都有P（AB）P（A）P（B）。当 P（A）0 或 P（B）0 时，上式

3、亦成立。因此，我们将此式作为 A，B 为独立事件的定义。两事件为独立事件设事件 A 与事件 B 是样本空间中的两事件。若P（AB）P（A）P（B），则称 A，B 为独立事件，否则称为相依事件。例题1 投掷一颗公正骰子 1 次，若 A 表示掷出 1 点或 2 点的事件，B 表示掷出奇数点的事件，C 表示掷出偶数点的事件，试问：(1) A，B 是否为独立事件？(2) B，C 是否为独立事件？ 解(1) 依题意，P（A），P（B），P（AB），因为P（AB）P（A）P（B），所以 A，B 为独立事件。(2) 依题意，P（B），P（C）， 但因为 B，C 为互斥事件，所以 P（BC）0， 可知P（BC

4、）P（B）P（C），所以 B，C 为相依事件。注意到，由例题 1 的结果可知，A，B 为独立事件，但 AB1。B，C 为相依事件，但 BC （互斥），因此独立事件和互斥事件是不同的概念，请仔细辨明。随堂练习 同时投掷一枚均匀硬币与一颗公正骰子，我们把硬币出现正面的情形称为 A 事件，骰子出现 1 点的情形称为 B 事件，则 A，B 是否为独立事件？ 若 A，B 为独立事件时，A，B 是否为独立事件呢？如图 7，P（A）P（AB）P（AB），又 A，B 为独立事件，所以 P（AB）P（A）P（B），因此 P（AB）P（A）P（AB）P（A）P（A）P（B）P（A）（1P（B）P（A） P（B），

5、所以 A，B 为独立事件。图 7同理，亦可证出当 A，B 为独立事件时 ，A，B 为独立事件，且 A，B 也为独立事件。随堂练习 若 A，B 为独立事件，且 P（A）0.2，P（B）0.4，试求 P（AB）与 P（AB）。 例题2 小淇和小芬一起到夜市玩射飞镖游戏，已知小淇命中靶的机率是 ，小芬命中靶的机率是 ；小淇先射飞镖，小芬其次，且小淇射中与否与小芬射中与否是独立事件。若他们两人向同一靶各射 1 次飞镖，试求：(1) 只有小淇射中的机率。(2) 两人都没射中的机率。 解若 A 表示小淇命中靶的事件，B 表示小芬命中靶的事件，则依题意P（A），P（B）。(1) 因 A，B 为独立事件，所以

6、 A，B 也是独立事件，即只有小淇射中的 机率为P（AB）P（A）P（B）。(2) 因 A，B 为独立事件，所以 A，B 也是独立事件，即两人都没射中的 机率为P（AB）P（A）P（B）。随堂练习 小穗投篮的命中率为 0.2，且每次投篮的结果互相独立，试求她在 2 次投篮的情形下，至少有一次命中的机率。 三事件为独立事件的定义如下：三事件为独立事件当三事件 A，B，C 同时满足下列四项条件：(1) P（AB）P（A）P（B），(2) P（BC）P（B）P（C），(3) P（AC）P（A）P（C），(4) P（ABC）P（A）P（B）P（C），称 A，B，C 三事件为独立事件。例题3 一袋装有编

7、号为 1 到 12 号的球各一颗，今自袋中任取一球，设事件 A 为取到球号为 1，2，3，4 的事件，事件 B 为取到球号为 1，2，5，6，7，8 的事件，事件 C 为取到球号为 1，2，5，9，11，12 的事件。试问：(1) A，B 事件、B，C 事件、A，C 事件是否为独立事件？(2) A，B，C 三事件是否为独立事件？ 解(1) 依题意，P（A），P（B）P（C），又 AB1，2，BC1，2，5，AC1，2，ABC1，2可知P（AB）P（A）P（B），P（BC）P（B）P（C），P（AC）P（A）P（C），所以 A，B 事件、B，C 事件、A，C 事件均为独立事件。(2) 由第(1)

8、小题得P（ABC）P（A）P（B）P（C），所以 A，B，C 三事件不是独立事件。随堂练习 一袋装有编号为 1 到 8 号的球各一颗，今自袋中任取一球。设事件 A 为取到球号为 1，2，3，4 的事件，事件 B 为取到球号为 2，4，6，8 的事件，事件 C 为取到球号为 1，2，5，6 的事件。试问 A，B，C 三事件是否为独立事件？ 假设 A1，A2，A3 为三个独立事件。若将其中某几个事件以余事件取代时，所得的三个事件仍为独立事件。此性质同学们可自行检验。随堂练习 若 A，B，C 为独立事件，且 P（A）0.2，P（B）0.4，P（C）0.5，试求 P（ABC）。 例题4 如图 8，某地

9、甲村与乙村之间有一条大河流穿过，且有三座风帆景观桥跨越此河连接两村。已知 A 桥、B 桥、C 桥在任一时刻开放通行的机率分别为 0.7、0.6、0.8、并且三座桥的开放与否为独立事件。试问在任一时刻，三座桥之中至少有一座桥开放通行的机率是多少？图 8 解设事件 A、B、C 分别代表桥开放通行的事件，由题目假设可知此三事件为独立事件。因此三座桥同时不开放通行的机率为P（ABC）P（A）P（B）P（C）（1P（A）（1P（B）（1P（C）（10.7）（10.6）（10.8）0.024，由此可得三座桥至少有一座桥开放通行的机率为1P（ABC）10.0240.976。随堂练习 甲、乙、丙三人射击的命中

10、率分别为 0.6、0.5、0.4，且各人命中与否为独立事件。若三人各射击 1 次，试求下列机率：(1) 三个人都命中。(2) 恰有两人命中。 一般而言，将独立事件中的若干个事件以余事件取代时，所得的事件仍为独立事件。此性质将会在下一节中用到。习题1-3一、基本题1. 有两事件 A，B 满足 P（A），P（B），P（AB），试问 A，B 两事件是否为独立事件？2. 设 P（A）0，P（B）0，且 P（AB）P（A）P（B），则下列选项何者正确？(A) A，B 为独立事件 (B) P（A | B）P（A）(C) P（B | A）P（B） (D) P（B | A）P（B）(E) P（A | B）P（

11、A）3. 投掷一颗公正的骰子 2 次，设每一种结果出现的机率均相同，以 A 表示第一次掷出的点数为 1 的事件，以 B 表示第二次掷出的点数为 1 的事件，试求：(1) P（A）。(2) P（B）。(3) P（AB）。(4) A，B 是否为独立事件？4. 若两事件为独立事件，且 P（A），P（B），试求 P（AB）。5. 连续投掷一枚均匀硬币 3 次，设每一种结果出现的机率均相同，以 A 表示第一次出现正面的事件，以 B 表示第二次出现正面的事件，以 C 表示第三次出现正面的事件，则 A，B，C 三事件是否为独立事件？二、进阶题6. 假设阿圣在篮球赛当中罚球的命中率为 4 成，且每次罚球命中与

12、否为独立事件，则三次罚球恰好有两次投中的机率为何？7. 某跨国企业在台湾的分公司共有 165 名员工其性别与国籍分配如下表：本国籍外国籍男80a女b15现在想要从中抽出 1 人代表台湾分公司前往总公司开会，若欲使抽中的人性别与国籍是独立事件试求 a，b 的值。8. 连续投掷一颗公正骰子 2 次，设每一种结果出现的机率均相同，以 A 表示第一次掷出的点数为 2 的事件，以 B 表示第二次掷出的点数为 3 的事件，以 C 表示两次的点数和为 5 的事件，以 D 表示两次的点数和为 12 的事件，试问：(1) A，B，C 三事件是否为独立事件？(2) A，B，D 三事件是否为独立事件？三、挑战题9. 阿亦每天需要从 A 地开车到 B 地上班，假设各路段发生塞车事件的机率如下图所示，且各路段发生塞车的事件都是独立的。请你帮阿亦选择一条由 A 到 B 的路线，使得途中发生塞车的机率最小。