数二真题标准答案及解析.docx
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数二真题标准答案及解析
考研数学二真题
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)
设y=(1+Sinx)x,则dy|x&
3
(1+x)2
曲线yJJ的斜渐近线方程为
Vx
1xdx
(2-x2』-X2
(4)
1
微分方程xy'+2y=xlnx满足y
(1)=-的解为
9
(5)
当XT0时,a(X)=kx2与P(X)=J1+xarcsinx—Jcosx是等价无穷小,则k=
(6)
设a1/x2^3均为3维列向量,记矩阵
A=©1,5,03),B=01+«2+^3,5+2^2+劎3,5+3^2,
如果A=1,那么|B=
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(8)
(9)
设函数f(X)=lim目1+|x
3n
n—jpc
(A)处处可导.
(C)恰有两个不可导点.
设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,
(A)
(B)
(C)
(D)
(B)恰有一个不可导点.
(D)至少有三个不可导点.[
"M=N"表示“M的充分必要条件是
F(x)是偶函数Uf(x)是奇函数.
F(x)是奇函数二f(x)是偶函数.
F(x)是周期函数二f(x)是周期函数.
F(x)是单调函数二f(x)是单调函数.
设函数
y=y(x)由参数方程
2
x=t+2t
'确定,则曲线y=y(x)在x=3处的法线与
y=ln(1+t)
(A)
(C)
1
—In2+3.
8
-8ln2+3.
(10)设区域D={(X,y)
X2
1
(B)--ln2+3.
8
(D)8ln2+3.
2
<4,x>0,y>0},
]
N”,则必有
x轴交点的横坐标是
f(x)为D上的正值连续函数,
a,b为常数,则
Jf(x)+bJf(y)dTDJf(X)+Jf(y)
(A)ab兀.(B)ab■兀
2
(C)(a+b)兀.
a+b
(D)h
My
(11)设函数u(x,y)=®(x+y)+®(x—y)+[屮(t)dt,其中函数半具有二阶导数,屮具有一阶导数,
叹—y
(A)
宀2宀2
CUCU
约2
次2
(B)
c2U
&2
点2u
(C)
c^cy
2
CU
亠2.
谢
(D)
—、2.
ex
(12)
设函数f(x)=
(A)
(B)
(C)
(D)
x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.
x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.
x=0是f(x)的第一类间断点,
x=0是f(x)的第二类间断点,
x=1是f(x)的第二类间断点.x=1是f(x)的第一类间断点.
(13)
设[「2是矩阵A的两个不同的特征值,
对应的特征向量分别为%a2
,则a1,A(a1+a2)线性
则必有
无关的充分必要条件是
(A)打H0.(B)/吃H0.(C))^1=0.(D)=0.
(14)设A为n(n>2)阶可逆矩阵,交换A
的第1行与第2行得矩阵B,A*,B*分别为A,B的伴随矩
阵,
(A)
交换A的第1列与第2列得B.
(B)交换A的第1行与第2行得B.
(C)
交换A*的第1列与第2列得-B*.
(D)交换A*的第1行与第2行得-B*.
(本题共
解答题
(15)(本题满分
[
9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
11分)
]
.)
设函数f(x)连续,
x
f(X—t)f(t)dt
且f(0)HO,求极限lim0
x
x[f(X-t)dt
(16)(本题满分
11分)
1x
如图,G和C2分别是y=—(1+e)和y=ex的图象,过点(0,1)的曲线C3是一单调增函数的图象.过
2
C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和|厂记Gl?
与lx所围图形的面积为;
C2,C3与ly所围图形的面积为S2(y).如果总有S1(x)=S2(y),求曲线C3的方程x=W(y).
(17)(本题满分11分)
如图,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线11与12分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处
的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分.L(x2+x)f7x)dx.
(18)(本题满分12分)
用变量代换X=cost(0并求其满足
=1,y
X卫',
(佃)(本题满分12分)
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f
(1)=1.证明:
x『=2的特解.
(I)存在©忘(0,1),使得f(©)=1_©;
(II)存在两个不同的点3匚迂(0,1),使得fj)f工)=1.
(20)(本题满分10分)
已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(1,1,)=2.求
f(x,y)在椭圆域
={(x,y)x
2
2+y<1}上的最大值和最小值.
(21)(本题满分9分)
X2+y2—1db,其中D={(x,y)O(22)(本题满分9分)
确定常数a,使向量组%=(1,1,a)T,a^(1,a,1)T,a^(a,1,1)T
可由向量组
p1
=(1,1,a)T,02=(—2,a,4)T,打=(一2,a,a)T线性表示,但向量组盯^?
^不能由向量组口1,口2,5线
性表示.
(23)(本题满分9分)
「1
2
已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B-
L3
(k为常数),且AB=O,求
线性方程组Ax=0的通解.
考研数学二真题解析
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)设y=(1+sinx)x,则dy
-jidx.
【分析】
隐函数求导.
本题属基本题型,幕指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或取对数后转化为
【详解】
七卄•\Xxln(1卡inx)工曰
万法一:
y=(1+sinx)=e,于是
y,=e羽灼nx)[ln(1+sinx)+x•^os^],
1+sinX
从而
dy
x=jl
=y'(兀)dx=—兀dx.
方法二:
两边取对数,Iny=xln(1+sinx),对x求导,得
1/=ln(^sinx^xcosx
y1+sinx
cosx
于是y‘=(1+sinx)x[ln(1+sinx)+x],故
1+sinX
dy
3
(1+x)23
(2)曲线y=i丿的斜渐近线方程为y=X+—.
Jx2
本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可
3
因为a=lim少=lim哼j=1,
XT坯XF坯xjx
33
(1+x)2-x'
【分析】
【详解】
b二協〔f(x)-ax
=lim-x—j-bc
于是所求斜渐近线方程为
xdx
1
⑶0(2-x2)7^
【分析】
【详解】
作三角代换求积分即可
令X=sint,贝y
xdx_石
(2-x2)J1-x2'0
sintcost
2
(2-sint)cost
dt
「2dcost
01+cos21
=-arctan(coS:
)
111
(4)微分方程xy'+2y=xlnx满足y
(1)=一一的解为y=-xlnx--x..
939
【分析】直接套用一阶线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)的通解公式:
_(P(x)dxfP(x)dx
y=e」[jQ(x)e」dx+C],
再由初始条件确定任意常数即可.
【详解】原方程等价为
2
y‘+—y=InX,
x
—£dxLdx12
于是通解为y=e'X[flnXe'Xdx+C]=p{Jxlnxdx+C]
‘X、
1,1“1
=-xlnX—一x+C-V,
39x2
111
由y
(1)=-一得C=0,故所求解为y=-xlnx—-x.
939
(5)当XT0时,a(x)=kx2与P(x)=J1+xarcsinx-Jcosx是等价无穷小,则
k=
【分析】题设相当于已知limEd,,由此确定k即可.
T^x)
【详解】由题设,lim如=limJ"xarcsin2x-Jcosx
XTa(x)Tkx2
xarcsinx+1-cosx
lim„,
XTkx2(+xarcsinx+寸cosx)
1xarcsinX+1-cosx
lim2
2kXTx
3
=3=1,得k
4k
(6)设%32,口3均为3维列向量,记矩阵
A=(%,a2,a3),B=01+^2+^301+2^2中曲331+^2+创3),
1)2)
如果冲=1,
那么B=2
【分析】
【详解】
将B写成用A右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可由题设,有
B=8+«2乜3,%+羽2+4^3宀+化+曲3)
于是有
「111[
=(«1,«2,口3)1
L1
=1x2=2.
二、选择题(本题共8小题,把所选项前的字母填在题后的括号内)
9
每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,
设函数f(X)=lim+|xr,则f(x)在(二,畑)内
n'*
处处可导.
恰有两个不可导点.
(A)
(C)
【分析】先求出f(x)的表达式,再讨论其可导情形
(B)恰有一个不可导点.
(D)至少有三个不可导点.
【详解】当
<1时,
f(X)=
=1时,
f(x)-
>1时,
f(x)=
lim奸刁=1;
n_3pc
1卵3(
1
3n
X
1
+1)n=X
XC-1,
—13.
X,Xa1.
即f(x)=41,
可见f(x)仅在
x=土1时不可导,故应选(C).
(8)
(B)
(B)
(C)
(D)
N”,贝泌有
设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,"M=N"表示“M的充分必要条件是F(x)是偶函数Uf(x)是奇函数.
F(x)是奇函数二f(x)是偶函数.
F(x)是周期函数二f(x)是周期函数.
F(x)是单调函数二f(x)是单调函数.
【分析】本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.
X
【详解】方法一:
任一原函数可表示为F(x)=Jof(t)dt+C,且F'(X)=f(X)
-f(—x)=f(X),也即
f(t)dt为偶函数,从而
当