数二真题标准答案及解析.docx

1、数二真题标准答案及解析考研数学二真题一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)设 y = (1 +Sin x)x，则 dy |x&3(1 + x)2曲线y J J 的斜渐近线方程为Vx1 xdx(2 -x2-X2(4)1微分方程xy + 2y=xlnx满足y(1)=-的解为9(5)当 XT 0 时，a(X)=kx2 与 P(X)= J1 + xarcsi nx Jcosx 是等价无穷小，则 k=(6)设a 1/x2 3均为3维列向量，记矩阵A =1,5,03)，B = 01 +2 +3,5 +22 + 劎 3,5 +32 ，如果A =1，那么|B =二、选择

2、题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)(8)(9)设函数f(X)= lim目1 +|x3nnjpc(A) 处处可导.(C)恰有两个不可导点.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,(A)(B)(C)(D)(B)恰有一个不可导点.(D)至少有三个不可导点. M = N表示“ M的充分必要条件是F(x)是偶函数 U f(x)是奇函数.F(x)是奇函数二f(x)是偶函数.F(x)是周期函数二f(x)是周期函数.F(x)是单调函数二f(x)是单调函数.设函数y=y(x)由参数方程2x = t + 2t确定，则曲线y

3、=y(x)在x=3处的法线与y =ln(1 +t)(A)(C)1 In 2+3.8-8ln 2+3.(10)设区域 D =( X, y)X21(B) -l n2+3.8(D) 8l n2+3.20,y 0,N”，则必有x轴交点的横坐标是f(x)为D上的正值连续函数,a,b为常数，则Jf(x) +b Jf (y)dT D Jf(X)+ Jf ( y)(A) ab 兀.(B) ab兀2(C) (a+b)兀.a +b(D) hMy(11)设函数u(x, y) =(x+y)+(x y) + 屮(t)dt,其中函数半具有二阶导数，屮 具有一阶导数,叹y(A)宀2 宀2C U C U约2次2(B)c2U&

4、2点2u(C)ccy2C U亠2 .谢(D)、2 .ex(12)设函数f(x) =(A)(B)(C)(D)x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.x=0是f(x)的第一类间断点，x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. x=1是f(x)的第一类间断点.(13)设2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 a2，则 a 1，A(a1 + a 2)线性则必有无关的充分必要条件是(A)打 H 0 . (B) /吃 H 0. (C) )1 = 0 . (D) = 0.(14)设A为n ( n 2)阶可逆矩阵，交换 A的第1行与

5、第2行得矩阵B, A* , B*分别为A,B的伴随矩阵,(A)交换A的第1列与第2列得B .(B)交换A的第1行与第2行得B .(C)交换A*的第1列与第2列得-B*.(D)交换A*的第1行与第2行得-B* .(本题共解答题(15)(本题满分9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤11分).)设函数f(x)连续,xf(X t) f (t)dt且f (0) HO，求极限lim 0xx f (X-t)dt(16)(本题满分11 分)1 x如图，G和C2分别是y= (1+e )和y=ex的图象，过点(0,1)的曲线C3是一单调增函数的图象.过2C2上任一点 M(x,y)分别作垂直于

6、 x轴和y轴的直线lx和|厂记Gl?与lx所围图形的面积为 ；C2,C3与ly所围图形的面积为 S2(y).如果总有S1(x) =S2(y)，求曲线C3的方程x=W(y).(17)(本题满分11分)如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线11与12分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 .L(x2 +x)f 7x)dx.(18)(本题满分12分)用变量代换X =cost(0 t 兀)化简微分方程(1-x2)y-xyy y = 0并求其满足=1, yX卫 ，(佃)(本题满分12分)已知函数f(x)在

7、0，1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明:x=2的特解.(I)存在 忘(0,1),使得 f() =1_ ；(II)存在两个不同的点 3匚迂(0,1)，使得fj)f工)=1.(20)(本题满分10分)已知函数 z=f(x,y) 的全微分dz = 2xdx-2ydy，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域=(x,y)x22+y 1上的最大值和最小值.(21)(本题满分9分)X2 +y2 1db，其中 D =(x,y)O X 1,0 y 1.(22)(本题满分9分)确 定常数 a,使 向量组 =(1,1,a)T, a(1,a,1)T, a(a,1,1)T可由向量组

8、p1=(1,1,a)T, 02 = (2,a,4)T,打=(一2, a, a)T线性表示，但向量组 盯?,不能由向量组口1,口2,5线性表示.(23)(本题满分9分)12已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c), a,b,c不全为零，矩阵B -L3(k为常数)，且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.考研数学二真题解析一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)设 y =(1 +sinx)x，则 dy-jidx .【分析】隐函数求导.本题属基本题型，幕指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或取对数后转化为【详解】七卄 X xln(1卡inx) 工曰万法一：

9、 y=(1 +si nx) =e ，于是y,=e羽灼nx)ln(1+ sinx) + x os,1 + sin X从而dyx=jl=y (兀)dx = 兀 dx.方法二:两边取对数，In y = xln(1 +sin x)，对x求导，得1/=ln(sinxxcosxy 1 +sin xcos x于是 y =(1 +sin x)x ln( 1 + sin x) + x ，故1 + sin Xdy3(1 + x)2 3(2) 曲线y = i 丿 的斜渐近线方程为 y = X + .Jx 2本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可3因为 a=lim 少= lim 哼j=1,XT 坯 X F

10、 坯 xjx3 3(1 + x)2 -x【分析】【详解】b 二協f(x)-ax=lim - xj-bc于是所求斜渐近线方程为xdx1 0(2-x2)7【分析】【详解】作三角代换求积分即可令 X =sint，贝yxdx _ 石(2-x2)J1 -x2 0sin tcost2(2-sin t)costdt2 d cost0 1 + cos21=-arcta n(coS:)1 1 1(4) 微分方程 xy + 2y=xlnx 满足 y(1)= 一一 的解为 y=-xlnx-x.9 3 9【分析】直接套用一阶线性微分方程 y + P(x)y =Q(x)的通解公式:_(P(x)dx fP(x)dxy =

11、e jQ(x)e dx +C,再由初始条件确定任意常数即可 .【详解】原方程等价为2y + y = I n X，x dx Ldx 1 2于是通解为 y =e X fl n X e X dx + C = p Jx ln xdx +C X 、1 , 1 “ 1=-x ln X 一x +C -V，3 9 x21 1 1由 y(1)=-一得 C=0，故所求解为 y =-xlnx-x.9 3 9(5)当 XT 0时，a(x)=kx2与 P(x)=J1 + xarcsinx - Jcosx是等价无穷小，则k=【分析】 题设相当于已知limEd，由此确定k即可.Tx)【详解】由题设，lim 如=lim Jx

12、arcsin2x-JcosxXT a (x) T kx2xarcs in x +1 -cosxlim , XT kx2(+ xarcsinx + 寸cosx)1 xarcsin X +1 -cosxlim 22k XT x3=3 =1，得 k4k(6)设32,口3均为3维列向量，记矩阵A=(%,a2,a3)，B = 01 +2 +301 +22 中曲331 +2 +创 3)，1)2)如果冲=1,那么B = 2【分析】【详解】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可 由题设，有B =8 +2 乜3,% +羽2 +43 宀 +化 +曲 3)于是有1 1 1 =(1,2,

13、口3)1L1= 1x2 =2.二、选择题(本题共8小题， 把所选项前的字母填在题后的括号内)9每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,设函数 f(X)=lim +|xr，则 f(x)在(二，畑)内n *处处可导.恰有两个不可导点.(A)(C)【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形(B)恰有一个不可导点.(D)至少有三个不可导点.【详解】 当1时，f(x)=lim奸刁=1；n_3pc1卵3(13nX1+ 1)n = XX C -1,1 x 1,3 .X , X a1.即 f(x) =4 1,可见f(x)仅在x= 土1时不可导，故应选(C).(8)(B)(B)(C)(D)N ”，贝泌有设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，M = N表示“ M的充分必要条件是 F(x)是偶函数 U f(x)是奇函数.F(x)是奇函数二f(x)是偶函数.F(x)是周期函数二f(x)是周期函数.F(x)是单调函数二f(x)是单调函数.【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案 .X【详解】 方法一：任一原函数可表示为 F(x) = Jo f (t)dt + C，且 F (X)= f (X)-f (x) = f(X),也即f (t)dt为偶函数，从而当