概率论课本作业第一章Word文档格式.docx
《概率论课本作业第一章Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论课本作业第一章Word文档格式.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
〔您®
⑴其中：
0表示正品，1表示
次品；
（2）
小Kwa（犖①炉皿））"
他啊c=$
D二｛©
0对（农0）血10（001）,（1丄0）,（3叽0刖））二Q.
（3）B为基本事件，D为必然事件，C为不可能事件。
酬I：
设匸、巴、「为三个事件，用討、占、、的运算式表示下列事件：
（1）发生而占、二都不发生；
（2）二与吕发生而二不发生；
（3）=、£
、：
三事件都发生；
（4）这三个事件恰好发生一个；
（5）这三个事件至少发生一个；
（6）这三个事件至多有一个不发生。
（1）二二匸或----匚或」--；
;
（2）匕二或匸三一二或二；
（3）=;
（4）一—_U；
（5）亠_■—二■「亠_|一「"
亠T止一或--」二_■:
；
（6）」二」工A：
:
.二。
開’：
试证：
（i）-：
」■•.‘（:
‘|.
（2）一―一‘-丄一」；
（3）.」-「：
_——「；
0证明：
=左边;
（1）右边二—■-|_■I...I_|■■■'
■■
同理可证⑵，（3）。
一、判断题
1.“ABC表示三事件A、B、C至少有一个发生。
（B）
A正确
B错误
2•从一堆产品中任意抽出三件进行检查，事件
A表示
抽到的三个产品中合格品不少
于2个”事件B表示抽到的三个产品中废品不多于
2个”
则事件A与B是互为对立的事
件。
正确
错误
单项选择题
B为二事件，事件-
/可化简为。
CA-B
DB-A
酬1:
抛掷二次硬币，求结果都是反面的概率。
心圳：
设事件匸=二次抛掷均出现反面在上”
二二=｛
（正，正），（正，反），（反,
正）,（反，反）｝，因样本空间有限，且每种结杲发生的可能性相同，故是古典概型;
-=｛（反，反）｝,此时,
戸⑷二—二—
、计算题
1.抛掷三枚硬币，求至少出现一个正面的概率。
1•答案：
7/8
2.任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率。
答案：
1/2
3•抛两个骰子，求下列事件的概率：
（1）点数之和为6;
（2）点数之和不超过6;
（3）至少有一个6点。
答案：
（1）5/36
（2）5/12（3）11/36
脚1:
把七个不同的球扔进四个有号码的盒子，每个球落在任何一个盒子的机会是
相等的，那么第一个盒子恰好有两个球的概率是多少？
0餉：
由盒子模型问题
（2）知，所求概率为：
開2:
袋中有空只黑球，：
’只白球，从中依次不放回地模三次，每次摸一个球，求下列事件的概率：
（1）A=“仅第二次摸得黑球”；
（2）B=“三次中恰有一次摸得黑球”；
（3）C=“至少有一次摸得黑球”。
山第：
（1）关心的事件与顺序有关，仿抽签问题做法，应该算排列，得
讣
L-.?
h：
l.I:
1J.IL-1：
（2）关心的事件与顺序无关，仿超几何概率问题做法，应该算组合，得
F⑻Z七=
3ab（b-\）
（a+酊O+.
（3）利用概率的可加性，不考虑顺序，得
逹-1）（占一2）
b（b一1）@一耳
仪4时（总+直一口⑺+2>
—2〕
、填空题
1.一袋中有编号为0,1,
2,…，9的球共10只，某人从中任取3只球，则
（1）取到的球最小号码为
1
5的概率为；
」
（2）取到的球最大号码为
5的概率为。
--
2•—部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则
（1）第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为；
0.1
（2）第一卷出现在旁边”的概率为。
0.4
、单项选择题
1袋中装有1,2,…，N号球各一只，现从中不放回的摸球，则第k次摸球时首次摸到1号球的概率为（A）。
丄ra亦
j_
rb血
肚C“
i
匚D+
B）。
2.从6双不同的手套中任取4只，则取出的4只中恰有一双配对的概率为（
U的1:
在圆内取一直径EF,然后在EF上随机的取一点为中心作弦，可得其概率为二
心辭2:
设弦AB的一端固定在圆上，另一端在圆上随机的取一点作弦，可得其概率为
£
]
O
试求
恋圳3:
在半径为二的同心圆内任取一点，以它为中心作弦，可得其概率为-
洌1:
两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟既可离去这两个人能会面的概率。
Jt
60TTTT1
以忙，’分别表示两人到达的时刻，有
600<
7^60
山=两人能会面”A小2°
”。
将二，上作图（如上）。
这是一个几何概率问题
=5/9
a解：
如图，设占=任投一针与平行线相交”。
又设x表示针的中点与最近一条平行线的距离，厂表示针与最近一条平行线的交角。
显然
1在长度为&
的线段内任取两点将其分为三段，求此三线段能构成三角形的概率。
1解：
设"
F分另憔示其中二条线段的长度，第三条线段的长度为'
■'
'
、=,贝U
0二｛（兀,”）|0兰乂兰&
+y乞比
又设
亠二=三条线段能构成一个三角形”
={（兀"
）卜+丁>
说-（盂+丁），盍十说-（x+肉>
y,y+（3：
-（a+y）>
z
fX厲口a
打+y>
玄“V亍J<
-
丄与二&
一的面积为一I一，则
2.在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位
求任意画弦
置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这个区间的长度成比例,
的长度大于R的概率。
抛掷一枚均匀的硬币，样本空间为:
―沁亦其中叽（正面），吐=（反面），八⑷｝。
妙例1:
（德•梅尔问题）一颗骰子投4次至少得到一个六点与两颗骰子投24次至少得到一个双六，这两件事中哪一件有更多机会遇到?
心解：
设占=一颗骰子投4次至少得到一个六点”则丑■一颗骰子投4次都没有
咖-1-P（a'
）~1-[-1-0.5177
出现六点”因而W丿；
又设衣=两颗骰子投24次至少得到一个双六”有
广W2:
已知事件A、
QK：
F3-
24
-0.4914
于是我们知道，前者机会大于后者的机会。
B、AUB分别为0.4，0.3，0.6，求尸⑷）。
-=0.6-0.3=0.3
■O
1.一口袋中装有"
T只黑球及1只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并
换入一只黑球，这样继续下去，问第丘次摸球时摸到黑球的概率是多少？
1.解：
设川=第比次摸球摸到黑球”川■第上次摸球摸到白球”=T^-1次摸到为黑球，第上
次摸到为白球”故
z矿
故
1.若A、B为二事件，「…•…」JA心，贝U「」一0.7
11
A--
2•设"
匚-'
，则必有（A）。
A-
厂B兰P〔&
+F3）-1
C）「'
\
厂dp©
=pz迅
[.设F（Q旺巩品典=匚则巩屈）二r-q
2•在某城市中，共发行三种报纸A、B、C。
在这城市的居民中，订阅A报的占45%,订阅B报的占35%,订阅C报的占30%，同时订阅A报及B报的占10%,同时订阅A报及C报的占8%,同时订阅B报及C报的占5%,同时订阅A、B、C三种报纸的占3%,则
（1）只订A报及B报的”概率为0.07
（2）只订A报的”概率为0.3
Mr:
设有100件产品中有5件是不合格品，用下列2种方法抽取2件，求2件都是合格品的概率。
1•不放回顺序抽取；
2•放回顺序抽取。
騙妳：
设二-第；
次抽出为合格品”
（1）
洌（波利亚pdya罐模型）罐中〉只黑球及"
只红球，随机取出一只，把原
球放回，并加进与抽出球同色的球r只，再摸第二次，这样下去共摸了1-次，问前面的°
次出现黑球，后面的冗='
一叽次出现红球的概率是多少？
设第'
次取出为黑球”,=1,2,…，冷，所求概率为:
礼4舄…州耳屮…忑）
=AaXa同）…皿冷…血」…尸血治込吐…兀」
=&
.s….…宀厂.八（勺-1上
b+rZ?
+r+cD+f+仏］一》b+rnxc鸟+广亠（wT）c
1.设一口袋中有a只白球,b只黑球，从中取出三只球（不放回）,则三只球依次为黑白黑
S+&
）（?
+*-1）（住+右一2）
的概率为
2.设随机事件A的概率为P（A）=0.5,随机事件B的概率为P（B）=0.4，条件概率
F3⑷=0-2,则毋=0.8
1.甲、乙两市都位于长江的下游，根据上百年来的气象记录知，一年中甲
市雨天的概率为0.2，乙市雨天的概率为0.14，两地同时下雨的概率为0.12，已
知甲市下雨的情况下，求乙市下雨的概率。
1•解：
设a=“甲市下雨”b=“乙市下雨
2•假设某地区位于甲、乙两河流交处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾，设某
时期内甲河流泛滥的概率为0.1,乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，求:
（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率;
（2）当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率。
2.解：
设A:
表示甲河泛滥”B:
表示乙河泛滥”卍）=°
丄=°
2,陀|丄）="
匕月）二P（A）十P⑻-=
=0H-0.2-0.1x03=027
旳时生毁化沁"
15
1尸®
F⑻0.2
1炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1、0.7、0.2,而在
各处射击时命中目标的概率分别为0.05、0.1、0.2,求目标被击毁的概率。
1•解：
设A表示目标被击中”，'
1表示炮弹距目标250米射出”，表示炮弹距目标200米射出”，芳了表示炮弹距目标150米射出”，
3
2）=0.1x0.05+0.7x01+0.2x0.2=0J15
脚I:
在数字通讯中，由于存在着随机干扰，因此接到的信号与发出的信号可能不
同，为了确定发出的信号，通常要计算各种概率。
现发报机以0.7和0.3的概率发出信号0
和1,由于受到随机干扰的影响，发出信号0时收到信号为0和1的概率分别为0.8和0.2,
同样，发出信号1时，收到信号为1和0的概率分别为0.9和0.1，求当收到信号0时，原发信号也是0的概率。
^解：
设川=发出0”，B=收到0”，由贝叶斯公式:
=0.949
0.7x08
0.7K0.8+0.3x0.1
W2:
假定用血清甲胎球蛋白法诊断肝癌。
用C表示被检验者患有肝癌”，厘表示
血清甲胎球蛋白检验为阳性
已知电沪期率）=0.90,又设在自然人群中
F（（7）=<
1000^，现若有一人在此检验中检查结果为阳性，求此人真正患有肝癌的概率
性质1：
若事件二、三独立，且：
二，贝U'
一
证明：
由条件概率定义得:
性质2:
若事件二与口独立，则下列各对事件也相互独立。
巨础｛&
虱伍同
0证圈：
由
尸屈=也-的）=尸⑻-貿抨）=F⑻-P（曲曲=尸（£
）（1-尸（卫））=书庇）
故以与丘独立。
同理可得另外两对。
開I：
设A、B为两个随机事件，且’‘，证明：
若'
则A与B相互独立。
0it「明:
戸⑺忸）=戸（A|@）n
P（AB）_P（A）-P（AB）
P（5）_=~1-P（5）
F的）-F（卫吕）F〔g）=F（A）F（閒一冃£
）尸（卫百）
P（A8）=WP（B）
由定义知，A与B相互独立。
设甲、乙两射手独立地同时射击一目标，他们击中目标的概率分别为0.9,
0.8，求在一次射击中目标被击中的概率。
设虫=目标被击中”，B=甲击中目标”，C=乙击中目标”
则一;
T"
由题意亦与匚相互独立，故有二=一’1「“；
’.=0.9+0.8-0.90.8=0.98。
另解：
一书可“一戸同卓）
=1-0.1x0.2=0.98
二、多个事件的独立性
必录乞：
（三个事件的独立性）：
设有三个事件-1亠.'
-,若
玫BC*F⑻F©
卜⑴
-
（2）
成立，则称三事件a—一相互独立。
事实上，定义中的
（1）、
（2）不能相互代替。
一般地有
◎定义：
（T个事件的独立性）：
设有耳个事件「,…1,若对于所有的组合■-「1…一二都有
凤阳J・P⑷尸仏）
尺占坷血卜乩4JP他沪（血）
戸凶,&
・・抖"
刊九沪（如…刊4）
在解决实际问题中，常常可以根据实际情况判断事件的独立性，然后利用定义去计算
这些事件乘积的概率。
洌:
假设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%，混合100个人的血清，求此
血清中含有肝炎病毒的概率。
设4=第工个人的血清中含有肝炎病毒”，^120°
。
由题意知若国相互独立，所求概率为
尸⑷U…U血）=1-F仏）…审=1-（0.996）1®
*0,33
一、单项选择题
1•对事件A、B，下列说法正确的是（D）。
A若A与B互不相容，则」与「也互不相容
1B若A与B相容，则丿与豆也相容
C若A与B互不相容，则A与B相互独立
1DA与B相互独立，则丄与耳也相互独立
2•设事件匸、三的概率均大于零，且二与上互为逆事件（或对立事件），则有（B）。
A上与王相互独立
B力与月互不相容
C与丘相等
D卫包含占或&
包含/
二、判断题
1设A、B、C为三事件，若它们两两独立，则它们必相互独立。
（B）
「B错误
2.设J'
■-'
JJ--：
若A与B互不相容，则A与B必不相互独立。
（A）
三、证明题
1•设A、B、C三事件相互独立，证明：
（1）匸-匸与C相互独立；
（2）匸-5与C相互独立。
1.证明：
P（{AuB）C）=P{ACuBC}=-P（ABC）
=+f@）-/W））P（C）
=P（A^B）P（C）
由定义知匸-三与c相互独立。
P（（A-£
）C}=FJAS®
=-P（ABC}
二-尸〔且）尸3）严（U）
⑷-比卫R）辄G
=P（A-B）P（C'
）
由定义知A-B与c相互独立。
就I：
若在「「件产品中有_订件废品，现进行r次有放回的抽样检查，问共抽得；
件
废品的概率是多少？
心蜿：
由于抽样是有放回的。
因而每次是否抽得废品与其它各次是否抽得废品无关。
若将每一次抽取看成一次试验，则°
’次有放回的抽取可看成％次重复独立试验，且抽到为废
品的概率均为-T，因而是贝努里概型。
于是所求概率为
C*-*）
洌：
设有8门大炮独立地同时向一目标各发一弹，若有不少于2发炮弹击中目标,
目标算作被击毁。
如果每门炮命中目标的概率为0.6，求击毁目标的概率是多少？
心斛：
将每门炮的一次射击结果看成一次试验，且每门炮击中与否是相互独立的，故
本问题可看成巴=8的贝努里试验，且F（击中）=0.6，于是所求概率为
p-3（2^0十必®
&
00-1-A（10,8,0
=1-（®
）[0.6y（0.4/-（?
）（0.6；
）\0.4）7=0991
一、计算题
1掷硬币出现正面的概率为P,掷了n次，求下列事件的概率:
（1）至少出现一次正面；
（2）至少出现两次正面。
设勺表示第：
次出现正面，则
根据这个
（1）；
「\--/'
2•最近来某房产公司的100为顾客中有一位顾客购买了该公司的一所房子,
比例，在接下来到的50位顾客中恰好有一位购买该公司房子的概率是多少？
2•解:
P=^50.0.01）=0.3
升级会员 