概率论课本作业第一章Word文档格式.docx

1、您其中：0表示正品，1表示次品；（2）小Kwa（犖炉皿）他啊c=$D 二0对（农0）血10（001）,（1丄0）,（3叽0刖）二 Q.（3）B为基本事件，D为必然事件，C为不可能事件。酬I：设匸、巴、为三个事件，用 討、占、的运算式表示下列事件：（1）发生而占、二都不发生；（2）二与吕发生而二不发生；（3 ）=、：三事件都发生；（4）这三个事件恰好发生一个；（5）这三个事件至少发生一个；（6）这三个事件至多有一个不发生。（1）二二匸或-匚或-；;（2）匕二或匸三一二或二；（3）=;（4）一 _U ；（5）亠 _ 二亠 _ | 一亠T 止 一 或-二 _:；（6）二工 A：:.二。開：试证：（i

2、 ）-：. （ : | .（2）一 一-丄一；（3）.-：_ ；0证明：=左边;（1）右边二 - |_ I . .I _| 同理可证，（3）。一、判断题1.“ ABC表示三事件A、B、C至少有一个发生。（B）A正确B错误2从一堆产品中任意抽出三件进行检查，事件A表示抽到的三个产品中合格品不少于2个”事件B表示 抽到的三个产品中废品不多于2个”则事件A与B是互为对立的事件。正确错误单项选择题B为二事件，事件-/可化简为。C A-BD B-A酬1:抛掷二次硬币，求结果都是反面的概率。心圳：设事件匸=二次抛掷均出现反面在上”二二=（正，正），（正，反），（反,正）,（反，反） ，因样本空间有限，且每

3、种结杲发生的可能性相同，故是古典概型;-=（反，反）,此时,戸二二、计算题1 .抛掷三枚硬币，求至少出现一个正面的概率。 1答案：7/82.任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率。 答案：1/23 抛两个骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6;（2 ）点数之和不超过 6;（3）至少有一个6点。答案：（1） 5/36 （2） 5/12 （3） 11/36脚1 :把七个不同的球扔进四个有号码的盒子，每个球落在任何一个盒子的机会是相等的，那么第一个盒子恰好有两个球的概率是多少？0餉：由盒子模型问题（2）知，所求概率为：開2 :袋中有空只黑球，：只白球，从中依次不放回地模三次，每次摸一个球，求 下

4、列事件的概率：（1）A= “仅第二次摸得黑球”；（2）B= “三次中恰有一次摸得黑球”；（3）C= “至少有一次摸得黑球”。山第：（1 ）关心的事件与顺序有关，仿抽签问题做法，应该算排列，得讣 L-. ?h：l. I : 1 J. I L- 1：（2 ）关心的事件与顺序无关，仿超几何概率问题做法，应该算组合，得FZ七= 3ab（b-）（a + 酊O + .（3）利用概率的可加性，不考虑顺序，得逹-1）（占一2）b（b 一 1） 一 耳仪4时（总+直一口+2 2、填空题1.一袋中有编号为0, 1,2,，9的球共10只，某人从中任取 3只球，则（1）取到的球最小号码为15的概率为；（2）取到的球最

5、大号码为5的概率为。-2部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1） 第一卷及第五卷出现在旁边 ”的概率为；0.1（2）第一卷出现在旁边”的概率为。0.4、单项选择题1袋中装有1, 2,，N号球各一只，现从中不放回的摸球，则第 k次摸球时首次摸 到1号球的概率为（A ）。丄 r a亦j_r b血肚C “ i匚 D +B ）。2.从6双不同的手套中任取 4只，则取出的4只中恰有一双配对的概率为（U的1:在圆内取一直径 EF,然后在EF上随机的取一点为中心作弦， 可得其概率为二心辭2 :设弦AB的一端固定在圆上，另一端在圆上随机的取一点作弦，可得其概率为 O试求恋圳3:在半径为二的同心圆内任取一点

6、，以它为中心作弦，可得其概率为 -洌1 :两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人 20分钟既可离去 这两个人能会面的概率。J t60 TTTT1以忙，分别表示两人到达的时刻，有600 说-（盂 +丁），盍十说-（x +肉 y,y +（3： - （a +y） zf X 厲 口 a打+y 玄“ V亍J -丄与二&一的面积为一 I 一，则2.在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位求任意画弦置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这个区间的长度成比例,的长度大于R的概率。抛掷一枚均匀的硬币，样本空间为:沁亦其中叽（正面），吐=（反面），八。妙例1 :（

7、德梅尔问题）一颗骰子投 4次至少得到一个六点与两颗骰子投 24次至少 得到一个双六，这两件事中哪一件有更多机会遇到?心解：设占=一颗骰子投4次至少得到一个六点 ”则丑 一颗骰子投4次都没有咖-1 - P（a） 1 - -1 - 0.5177出现六点”因而 W丿 ；又设衣=两颗骰子投24次至少得到一个双六 ”有广W2:已知事件A、QK： F3-24-0.4914于是我们知道，前者机会大于后者的机会。B、A U B 分别为 0.4，0.3，0.6，求尸）。-= 0.6-0.3= 0.3 O1.一口袋中装有T只黑球及1只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第 丘次摸球时摸

8、到黑球的概率是多少？1.解：设川=第比次摸球摸到黑球”川第上次摸球摸到白球” =T - 1次摸到为黑球，第上次摸到为白球”故z 矿故1.若A、B为二事件，J A 心，贝U一 0.711A -2设匚-，则必有（A ）。A -厂 B 兰 P&+F3）-1C） 厂d p=pz迅.设F（Q 旺巩品典=匚则巩屈）二r-q2在某城市中，共发行三种报纸 A、B、C。在这城市的居民中，订阅 A报的占45%, 订阅B报的占35%,订阅C报的占30%，同时订阅A报及B报的占10%,同时订阅A报及C 报的占8%,同时订阅B报及C报的占5%,同时订阅A、B、C三种报纸的占3%,则（1）只订A报及B报的”概率为0.07

9、（2）只订A报的”概率为0.3Mr :设有100件产品中有5件是不合格品，用下列 2种方法抽取2件，求2件都 是合格品的概率。1 不放回顺序抽取；2放回顺序抽取。騙妳：设二-第；次抽出为合格品”（1）洌（波利亚pdya罐模型）罐中只黑球及只红球，随机取出一只，把原球放回，并加进与抽出球同色的球 r只，再摸第二次，这样下去共摸了 1-次，问前面的次出现黑球，后面的 冗=一叽 次出现红球的概率是多少？设第次取出为黑球”,=1, 2,，冷，所求概率为:礼4舄州耳屮忑）=AaXa同）皿冷 血尸血 治 込吐兀=& . s .宀 厂 .八（勺-1上b + r Z? + r + c D + f + 仏一 b

10、 + r nxc 鸟 + 广亠（w T）c1.设一口袋中有a只白球,b只黑球，从中取出三只球（不放回）,则三只球依次为黑白黑S + &）（? + * - 1）（住 + 右 一 2）的概率为2.设随机事件A的概率为P（A）=0.5,随机事件B的概率为P（B）=0.4，条件概率F3=0-2,则 毋=0.81.甲、乙两市都位于长江的下游，根据上百年来的气象记录知，一年中甲市雨天的概率为0.2，乙市雨天的概率为0.14，两地同时下雨的概率为0.12，已知甲市下雨的情况下，求乙市下雨的概率。 1解：设a=“甲市下雨” b= “乙市下雨2假设某地区位于甲、乙两河流交处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾，

11、设某时期内甲河流泛滥的概率为 0.1,乙河流泛滥的概率为 0.2，当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的 概率为0.3，求:（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率;（2）当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率。2.解：设A:表示甲河泛滥” B:表示乙河泛滥”卍）=丄= 2,陀|丄）=匕月）二 P（A）十 P-=0H-0.2-0.1x03 = 0 27旳时生毁化沁151 尸 F 0.21炮战中，在距目标 250米，200米，150米处射击的概率分别为 0.1、0.7、0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为 0.05、0.1、0.2,求目标被击毁的概率。1解：设A表示 目标被击中”，1表示 炮弹距目标250米射

12、出”，表示 炮弹距目标200米射 出”，芳了表示 炮弹距目标150米射出”，32 ） = 0.1 x 0.05 + 0.7 x 0 1+0.2 x 0.2 = 0 J15脚I:在数字通讯中，由于存在着随机干扰，因此接到的信号与发出的信号可能不同，为了确定发出的信号，通常要计算各种概率。现发报机以 0.7和0.3的概率发出信号 0和1,由于受到随机干扰的影响，发出信号 0时收到信号为0和1的概率分别为0.8和0.2,同样，发出信号1时，收到信号为1和0的概率分别为0.9和0.1，求当收到信号0时，原 发信号也是0的概率。解：设川=发出0”，B =收到0”，由贝叶斯公式:=0.9490.7x080

13、.7 K0.8 + 0.3x0.1W2 :假定用血清甲胎球蛋白法诊断肝癌。用 C表示 被检验者患有肝癌”，厘表示血清甲胎球蛋白检验为阳性已知电沪期率）=0.90,又设在自然人群中F（7）= 1000，现若有一人在此检验中检查结果为阳性，求此人真正患有肝癌的概率性质1：若事件二、三独立，且：二 ，贝U 一证明：由条件概率定义得:性质2 :若事件二与口独立，则下列各对事件也相互独立。巨础&虱伍同0证圈：由尸屈=也-的）=尸-貿抨） =F-P（曲曲=尸（）（1 -尸（卫） =书庇）故以与丘独立。同理可得另外两对。開I：设A、B为两个随机事件，且 ，证明：若则A与B相互独立。0 it明:戸忸）=戸（A

14、|） nP（AB） _ P（A） - P（AB）P（5）_ = 1-P（5）F的）-F（卫吕）Fg） = F（A）F（閒一冃）尸（卫百）P（A8） = WP（B）由定义知，A与B相互独立。设甲、乙两射手独立地同时射击一目标，他们击中目标的概率分别为 0.9,0.8，求在一次射击中目标被击中的概率。设虫=目标被击中”，B =甲击中目标”，C =乙击中目标”则一; T由题意亦与匚相互独立，故有 二=一1 “； . = 0.9+ 0.8-0.9 0.8 = 0.98。另解：一书可“一戸同卓）= 1-0.1x0.2 = 0.98二、多个事件的独立性必录乞：（三个事件的独立性）：设有三个事件 -1亠.-

15、,若玫BC* FF卜-（2）成立，则称三事件 a一相互独立。事实上，定义中的（1 ）、（ 2）不能相互代替。一般地有定义：（T个事件的独立性）：设有 耳个事件 ,1 ,若对于所有的组合 - 1一二都有凤阳JP尸仏）尺占坷血卜乩4JP他沪（血）戸凶,&,抖刊九沪（如刊4）在解决实际问题中，常常可以根据实际情况判断事件的独立性，然后利用定义去计算这些事件乘积的概率。洌:假设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率。设4 =第工个人的血清中含有肝炎病毒”， 120。由题意知若国相互 独立，所求概率为尸 U U 血）=1 - F仏）审 = 1-（0

16、.996）1 * 0,33一、单项选择题1 对事件A、B，下列说法正确的是（D）。A若A与B互不相容，则与也互不相容1 B若A与B相容，则丿与豆也相容C若A与B互不相容，则A与B相互独立1 D A与B相互独立，则 丄与耳也相互独立2设事件匸、三的概率均大于零，且 二与上互为逆事件（或对立事件），则有（B）。A上与王相互独立B力与月互不相容C 与丘相等D卫包含占或&包含/二、 判断题1设A、B、C为三事件，若它们两两独立，则它们必相互独立。（ B）B错误2.设J - J J -：,若 A与B互不相容，则 A与B必不相互独立。（A）三、 证明题1设A、B、C三事件相互独立，证明：（1）匸-匸与C相

17、互独立；（2）匸- 5与C相互独立。1.证明：P（AuB）C） = PAC u BC = - P（ABC）=+f ） -/W）P（C）= P（AB）P（C）由定义知匸-三与c相互独立。P（A-）C= FJAS = -P（ABC二 -尸且）尸3）严（U）-比卫R）辄G= P（A-B）P（C）由定义知A- B与c相互独立。就I ：若在件产品中有_订件废品，现进行r次有放回的抽样检查， 问共抽得；件废品的概率是多少？心蜿：由于抽样是有放回的。因而每次是否抽得废品与其它各次是否抽得废品无关。若将每一次抽取看成一次试验， 则次有放回的抽取可看成 次重复独立试验，且抽到为废品的概率均为-T，因而是贝努里概

18、型。于是所求概率为C*-*）洌：设有8门大炮独立地同时向一目标各发一弹， 若有不少于2发炮弹击中目标,目标算作被击毁。如果每门炮命中目标的概率为 0.6，求击毁目标的概率是多少？心斛：将每门炮的一次射击结果看成一次试验，且每门炮击中与否是相互独立的，故本问题可看成巴=8的贝努里试验，且 F （击中）=0.6，于是所求概率为p -3（20 十必&0 0 -1-A（10,8,0=1 - （）0.6y（0.4/ -（?）（0.6；）0.4）7 = 0 991一、计算题1掷硬币出现正面的概率为 P,掷了 n次，求下列事件的概率:（1）至少出现一次正面；（2）至少出现两次正面。设勺表示第：次出现正面，则根据这个（1）； - -/ 2最近来某房产公司的 100为顾客中有一位顾客购买了该公司的一所房子,比例，在接下来到的 50位顾客中恰好有一位购买该公司房子的概率是多少？2解:P = 50.0.01） = 0.3