《概率论与数理统计(经管类)》(代码4183)自学考试复习提纲-附件1.doc

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《概率论与数理统计（经管类）》（4183）自学考试复习提纲

第一章随机事件与概率

1、排列组合公式：

排列数从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

组合数从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

例如：

袋中有8个球，从中任取3个球，求取法有多少种？

解：

任取出三个球与所取3个球顺序无关，故方法数为组合数

注：

排列数经常用组合数及乘法原理得到，并不直接写出。

2、加法和乘法原理：

加法原理（两种方法均能完成此事）：

m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：

m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。

例1、从北京到上海的方法有两类：

第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。

问北京到上海的交通方法共有多少种。

解：

从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。

它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。

例2、从北京经天津到上海，需分两步到达。

　　第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3

　　第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2

　　问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？

解：

从北京经天津到上海的交通方法共有：

　　①汽1飞1，②汽1飞2，③汽2飞1，④汽2飞2，⑤汽3飞1，⑥汽3飞2。

共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。

3、基本事件、样本空间和事件：

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

随机试验所有可能结果构成的集合为样本空间，记为。

中的元素称为样本点，记为。

样本空间的任一子集称为随机事件。

通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。

必然事件：

在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用表示必然事件。

例如，掷一次骰子，点数≤6的事件一定出现，它是必然事件。

不可能事件：

在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用表示不可能事件。

例如，掷一次骰子，点数大于6的事件一定不出现，它是不可能事件。

4、事件的关系与运算：

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：

A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：

，或者。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：

，或者。

，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。

它表示A不发生的事件。

互斥未必对立。

②运算：

交换律：

结合律：

A（BC）=（AB）CA∪（B∪C）=（A∪B）∪C

分配律：

（AB）∪C=（A∪C）∩（B∪C）（A∪B）∩C=（AC）∪（BC）

德摩根律：

，

例3、A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示以下事件。

（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生　　

（2）A，B，C三事件都发生

（3）A，B，C三事件都不发生

（4）A，B，C三事件不全发生

（5）A，B，C三事件只有一个发生

（6）A，B，C三事件中至少有一个发生

解：

（1）

（2）　（3）（4）

（5）（6）

例4、某射手射击目标三次：

A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。

表示三次中射中0次，表示三次中射中1次，表示三次中射中2次，表示三次中射中3次，请用、、的运算来表示、、、。

解：

（1）

（2）

　　（3）

　　（4）

例5、A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示下列事件。

（1）A，B都发生且C不发生

（2）A与B至少有一个发生而且C不发生

（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生

（4）A，B，C中最多有一个发生

（5）A，B，C中恰有两个发生

（6）A，B，C中至少有两个发生

（7）A，B，C中最多有两个发生

解：

（1）　　

（2）　　（3）　　

（4）

　　（5）　　（6）

（7）

例6、若Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝

求

（1）；

（2）；（3）；（4）；

（5）；（6）；（7），（8）。

解：

（1）=｛1，2，3，5｝；　

（2）=｛1，3｝；　

（3）=｛2，4，6｝；（4）=｛4，5，6｝；　

（5）=｛4，6｝；　（6）=｛2，4，5，6｝；　　

（7）=｛2，4，5，6｝；　（8）=｛4，6｝

　　由本例可验算对偶律，，正确

例7、A，B，C为三事件，说明下列表示式的意义。

（1）；

（2）；　（3）；　（4）

解：

（1）表示事件A，B，C都发生的事件。

（2）表示A，B都发生且C不发生的事件。

　（3）AB表示事件A与B都发生的事件，对C没有规定，说明C可发生，也可不发生。

　∴AB表示A与B都发生的事件。

（4）

　　所以表示A与B都发生的事件。

5、概率的公理化定义：

设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：

1°0≤P（A）≤1，

2°P（Ω）=1

3°对于两两互不相容的事件，，…有

（3°通常称为可列（完全）可加性）

则称P（A）为事件的概率。

6、古典概型：

1°，

2°。

设任一事件，它是由组成的，则有

P（A）=＝

例8、掷三次硬币，设A表示恰有一次出现正面，B表示三次都出现正面，C表示至少出现一次正面，求：

（1）P（A）；

（2）P（B）；（3）P（C）

解：

样本空间Ω=｛正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反｝；

（1）

（2）（3）

7、常用公式：

加法公式：

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

当P（AB）＝0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

例9、若P（A）=0.5，P（A+B）=0.8，P（AB）=0.3，求P（B）

　　解：

因为P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

　　∴P（B）=P（A+B）+P（AB）-P（A）

　　=0.8+0.3-0.5=0.6

减法公式：

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）

当A=Ω时，P（）=1-P（B）

例10、已知P（B）=0.8，P（AB）=0.5，求。

解：

。

例11、若A与B互不相容，P（A）=0.5，P（B）=0.3，求。

解：

（1）P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8

根据对偶公式

所以。

条件概率：

定义设A、B是两个事件，且P（A）>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。

乘法公式：

更一般地，对事件A1，A2，…An，若P（A1A2…An-1）>0，则有

…………。

事件独立性：

①两个事件的独立性

设事件、满足，则称事件、是相互独立的。

若事件、相互独立，且，则有

若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。

必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。

与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P（AB）=P（A）P（B）；P（BC）=P（B）P（C）；P（CA）=P（C）P（A）并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C），那么A、B、C相互独立。

对于n个事件的独立性，可类似定义。

例12、甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次,他们击中目标的概率分别为0.7，0.8和0.9，求目标被击中的概率。

解：

记={目标被击中}，则

全概公式：

设事件满足

1°两两互不相容，，

2°，

则有

。

例13、有两批相同的产品,第一批产品共14件,其中有两件为次品,装在第一个箱中;第二批有10件,其中有一件是次品,装在第二个箱中。

今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中,然后再从第二箱中任取一件,求从第二箱中取到的是次品的概率。

解：

用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数”。

用表示事件“从第二箱中取到的是次品”。

则

，，，

根据全概率公式，有：

贝叶斯公式：

设事件，，…，及满足

1°，，…，两两互不相容，>0，1，2，…，，

2°，，

则

，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。

，（，，…，），通常叫先验概率。

，（，，…，），通常称为后验概率。

贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

例14、设男女两性人口之比为51:

49,男性中的5%是色盲患者,女性中的2.5%是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人,恰好是色盲患者,求此人为男性的概率。

解：

用表示色盲，表示男性，则表示女性，由已知条件，显然有：

因此：

根据贝叶斯公式，所求概率为：

伯努利概型：

我们作了次试验，且满足

u每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；

u次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；

u每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。

用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，，。

例15、在四次独立试验中,事件A至少发生一次的概率为0.5904,求在三次独立试验中,事件A发生一次的概率.

解：

记={四次独立试验，事件A至少发生一次}，={四次独立试验，事件A一次也不发生}。

而，因此

。

所以

三次独立试验中,事件A发生一次的概率为：

。

第二章随机变量及其概率分布

1、离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量的可能取值为Xk（k=1,2,…）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为

，

则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形式给出：

…

…

…

…

显然分布律应满足下列条件：

（1）,;

（2）

例1、设离散型随机变量的概率分布为试确定常数.

解：

根据，得，即。

故

2、连续型随机变量的分布密度

设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有

，则称为连续型随机变量。

称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1°；

2°。

3、分布函数

设为随机变量，是任意实数，则函数

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

注：

可以得到X落入区间的概率。

分布函数表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°；

2°是单调不减的函数，即时，有；

3°，；

4°，即是右连续的；

5°。

对于离散型随机变量，；

对于连续型随机变量，。

例2、已知20件同类型的产品中有2件次品,其余为正品.今从这20件产品中任意抽取4次,每次只取一件,取后不放回.以X表示4次共取出次品的件数,求X的概率分布与分布函数.

解：

X的可能取值为0,1,2。

因为；