《概率论与数理统计(经管类)》(代码4183)自学考试复习提纲-附件1.doc

1、概率论与数理统计（经管类）（4183）自学考试复习提纲第一章 随机事件与概率1、排列组合公式：排列数 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。组合数 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。例如：袋中有8个球，从中任取3个球，求取法有多少种？解：任取出三个球与所取3个球顺序无关，故方法数为组合数注：排列数经常用组合数及乘法原理得到，并不直接写出。2、加法和乘法原理：加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可

2、由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由mn 种方法来完成。例1、从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。例2、从北京经天津到上海，需分两步到达。第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2问从北京经天津到上海

3、的交通方法有多少种？解：从北京经天津到上海的交通方法共有：汽1飞1，汽1飞2，汽2飞1，汽2飞2，汽3飞1，汽3飞2。共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘32=6生成。3、基本事件、样本空间和事件：如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。随机试验所有可能结果构成的集合为样本空间，记为。中的元素称为样本点，记为。样本空间的任一子集称为随机事件。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是的子集。必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用表示必然事

4、件。例如，掷一次骰子，点数6的事件一定出现，它是必然事件。不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用表示不可能事件。例如，掷一次骰子，点数大于6的事件一定不出现，它是不可能事件。4、事件的关系与运算：关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：，或者。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：，或者。，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基

5、本事件是互不相容的。称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：交换律： 结合律：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配律：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根律： ，例3、A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示以下事件。（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生（2）A，B，C三事件都发生（3）A，B，C三事件都不发生（4）A，B，C三事件不全发生（5）A，B，C三事件只有一个发生（6）A，B，C三事件中至少有一个发生解：（1）（2）（3） （4）（5）（6）例4、某射手射击目标三次：A1表示第1次射中，

6、A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。表示三次中射中0次，表示三次中射中1次，表示三次中射中2次，表示三次中射中3次，请用、的运算来表示、。解：（1）（2）（3）（4）例5、A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示下列事件。（1）A，B都发生且C不发生（2）A与B至少有一个发生而且C不发生（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生（4）A，B，C中最多有一个发生（5）A，B，C中恰有两个发生（6）A，B，C中至少有两个发生（7）A，B，C中最多有两个发生解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）例6、若=1，2，3，4，5，6；A=1，3，5；B=1，2，3求（1）；（2）；（3）

7、；（4）；（5）；（6）；（7），（8） 。解：（1）=1，2，3，5；（2）=1，3；（3）=2，4，6； （4）=4，5，6；（5）=4，6； （6）=2，4，5，6；（7）=2，4，5，6； （8）=4，6由本例可验算对偶律，正确例7、A，B，C为三事件，说明下列表示式的意义。（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）表示事件A，B，C都发生的事件。（2）表示A，B都发生且C不发生的事件。（3）AB表示事件A与B都发生的事件，对C没有规定，说明C可发生，也可不发生。AB表示A与B都发生的事件。（4）所以表示A与B都发生的事件。5、概率的公理化定义：设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个

8、实数P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1， 2 P() =13 对于两两互不相容的事件，有（3通常称为可列（完全）可加性）则称P(A)为事件的概率。6、古典概型：1 ，2 。设任一事件，它是由组成的，则有P(A)=例8、 掷三次硬币，设A表示恰有一次出现正面，B表示三次都出现正面，C表示至少出现一次正面，求：（1）P（A）；（2）P（B）；（3）P（C）解：样本空间=正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反；（1） （2） （3）7、常用公式：加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)例9、 若P（A

9、）=0.5，P（A+B）=0.8，P（AB）=0.3，求P（B）解：因为P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）P（B）=P（A+B）+P（AB）-P（A）=0.8+0.3-0.5=0.6减法公式：P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=时，P()=1- P(B)例10、 已知P（B）=0.8，P（AB）=0.5，求。解：。例11、若A与B互不相容，P（A）=0.5，P（B）=0.3，求。解：（1）P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8根据对偶公式所以。 条件概率：定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概

10、率，记为。乘法公式：更一般地，对事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)0，则有。事件独立性：两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立，且，则有若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，那么A、B、C相互独立。对于n个事件的独立性，可类似定义。例 12、甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次,

11、 他们击中目标的概率分别为0.7， 0.8 和0.9，求目标被击中的概率。解：记=目标被击中，则全概公式：设事件满足1两两互不相容，2，则有。例13、有两批相同的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率。解：用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数”。用表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则，根据全概率公式，有：贝叶斯公式：设事件，及满足1 ，两两互不相容，0，1，2，2 ，则，i=1，2，n。此公式即为贝叶

12、斯公式。，（，），通常叫先验概率。，（，），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。例14、设男女两性人口之比为51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者, 女性中的2.5% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率。解：用表示色盲，表示男性，则表示女性，由已知条件，显然有：因此：根据贝叶斯公式，所求概率为：伯努利概型：我们作了次试验，且满足u 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；u 次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；u 每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。这种试验称为

13、伯努利概型，或称为重伯努利试验。用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，。例15、在四次独立试验中, 事件A 至少发生一次的概率为0.5904, 求在三次独立试验中, 事件A发生一次的概率.解：记=四次独立试验，事件A 至少发生一次，=四次独立试验，事件A 一次也不发生。而，因此。所以三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：。第二章 随机变量及其概率分布1、离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为，则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：显然分布律应

14、满足下列条件： (1) , ; (2) 例1、设离散型随机变量的概率分布为试确定常数.解：根据，得，即。 故 2、连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有，则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1 ；2。3、分布函数设为随机变量，是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。注： 可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。分布函数具有如下性质：1 ；2 是单调不减的函数，即时，有 ；3 ， ；4 ，即是右连续的；5 。对于离散型随机变量，；对于连续型随机变量， 。例2、已知20件同类型的产品中有2 件次品, 其余为正品. 今从这20 件产品中任意抽取4 次, 每次只取一件, 取后不放回. 以X 表示4 次共取出次品的件数, 求X 的概率分布与分布函数.解：X的可能取值为0,1,2。因为；