黑龙江省海林市朝鲜族中学数列多选题试题含答案.docx
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黑龙江省海林市朝鲜族中学数列多选题试题含答案
黑龙江省海林市朝鲜族中学数列多选题试题含答案
一、数列多选题
1．设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是“间隔递增数列”，k是的“间隔数”，下列说法正确的是（）
A．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列”
B．若，则是“间隔递增数列”
C．若，则是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r
D．已知，若是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则
【答案】BCD
【分析】
利用新定义，逐项验证是否存在正整数，使得，即可判断正误.
【详解】
选项A中，设等比数列的公比是，则，其中，即，若，则，即，不符合定义，故A错误；
选项B中，，
当n是奇数时，，则存在时，成立，即对任意，均有，符合定义；当n是偶数时，，则存在时，成立，即对任意，均有，符合定义.综上，存在时，对任意，均有，符合定义，故B正确；
选项C中，，令，开口向上，对称轴，故在时单调递增，令最小值，得，
又，，，故存在时，成立，即对任意，均有，符合定义，“间隔数”的最小值为r，故C正确；
选项D中，因为，是“间隔递增数列”，则，即，对任意成立，设，显然在上递增，故要使，只需成立，即.
又“间隔数”的最小值为3，故存在，使成立，且存在，使成立，故且，故，故D正确.
故选：
BCD.
【点睛】
本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数，使对于任意的恒成立，逐项突破难点即可.
2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：
1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】
由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案.
【详解】
对于A，写出数列的前6项为，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，由，，，……，，可得：
，故C正确.
对于D，斐波那契数列总有，则，，，……，，，可得，故D正确；
故选：
ACD.
【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.
3．已知等差数列中，，公差，则使得前项和取得最小值的正整数n的值是（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】
分析出数列为单调递增数列，且，由此可得出结论.
【详解】
在等差数列中，，公差，则数列为递增数列，可得，
，可得，，
所以，数列的前项均为负数，且，
因此，当或时，最小.
故选：
BC.
【点睛】
方法点睛：
本题考查等差数列前项和最大值的方法如下：
（1）利用是关于的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果；
（2）解不等式，解出满足此不等式的最大的即可找到使得最小.
4．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（）
A．等差数列一定是等差比数列
B．等差比数列的公差比一定不为0
C．若，则数列是等差比数列
D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
【答案】BCD
【分析】
考虑常数列可以判定A错误，利用反证法判定B正确，代入等差比数列公式判定CD正确.
【详解】
对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误；
若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确；
若，，数列是等差比数列，所以C选项正确；
若等比数列是等差比数列，则，
，所以D选项正确.
故选：
BCD
【点睛】
易错点睛：
此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意：
（1）常数列作为特殊的等差数列公差为0；
（2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.
5．下列说法中正确的是（）
A．数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有
B．数列成等比数列的充要条件是对于任意的正整数，都有
C．若数列是等差数列，则、、也是等差数列
D．若数列是等比数列，则、、也是等比数列
【答案】AC
【分析】
利用等差中项法可判断A选项的正误；取可判断B选项的正误；利用等差数列求和公式以及等差中项法可判断C选项的正误；取，为偶数可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，充分性：
若数列成等差数列，则对任意的正整数，、、成等差数列，则，即，充分性成立；
必要性：
对任意的正整数，都有，则，
可得出，
所以，数列成等差数列，必要性成立.
所以，数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有，A选项正确；
对于B选项，当数列满足时，有，但数列不是等比数列，B选项错误；
对于C选项，设等差数列的公差为，则，，，
所以，，
，
所以，，
所以，、、是等差数列，C选项正确；
对于D选项，当公比，且是偶数时，、、都为0，
故、、不是等比数列，所以D选项错误.
故选：
AC.
【点睛】
方法点睛；
1.判断等差数列有如下方法：
（1）定义法：
（为常数，）；
（2）等差中项法：
；
（3）通项法：
（、常数）；
（4）前项和法：
（、常数）.
2.判断等比数列有如下方法：
（1）定义法：
（为非零常数，）；
（2）等比中项法：
，，；
（3）通项公式法：
（、为非零常数）；
（4）前项和法：
，、为非零常数且.
6．已知数列，满足：
，，，则下列命题为真命题的是（）
A．数列单调递增B．数列单调递增
C．数列单调递增D．数列从某项以后单调递增
【答案】BCD
【分析】
计算，知A错误；依题意两式相加是等比数列，得到，知B正确；结合已知条件，计算，即得C正确；先计算，再结合指数函数、对数函数增长特征知D正确.
【详解】
由题可知，①，②，①-②得，，当时，，∴，故A错误．
①+②得，，，∴是以为首项，3为公比的等比数列，∴，∴，③又，∴B正确．将③代入①得，，∴，故C正确．
将③代入②得，，∴．由，结合指数函数与对数函数的增长速度知，从某个起，，又，∴，即从某项起单调递增，故D正确．
故选：
BCD．
【点睛】
判定数列单调性的方法：
（1）定义法：
对任意，，则是递增数列，，则是递减数列；
（2）借助函数单调性：
利用，研究函数单调性，得到数列单调性.
7．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为，则的通项公式为（）
A．
B．且
C．
D．
【答案】BC
【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；
【详解】
解：
斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然，，，，，所以且，即B满足条件；
由，
所以
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以
所以，
令，则，
所以，
所以以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
即C满足条件；
故选：
BC
【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．
8．已知等差数列的前项和为，若，，，，成等比数列，则（）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】
先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得，再由，，成等比数列列出式子求解得出的值，再利用裂项相消法求和，得到，从而判断各项的正误.
【详解】
依题意，，解得；
而，故，则，
则，，故D、A正确：
因为，，成等比数列，
故，
则，解得，故C正确；
而，故B错误．
故选：
ACD．
【点睛】
思路点睛：
该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：
（1）根据题意，求得通项公式，进而求得前项和；
（2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得的值；
（3）利用裂项相消法，对求和；
（4）对选项逐个判断正误，得到结果.
二、平面向量多选题
9．已知向量，，则（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AD
【分析】
先根据建立方程解得，判断选项A正确；再根据，建立方程解得，判断选项B错误；接着根据建立不等式解得，判断选项C错误；最后根据，化简整理得到，判断选项D正确.
【详解】
解：
因为，，，则，解得，故选项A正确；
因为，，，则，即，解得，故选项B错误；
因为，，，则，解得，故选项C错误；
因为，，，则，，，所以，故选项D正确.
故答案为：
AD.
【点睛】
本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.
10．已知是边长为的等边三角形，P为所在平面内一点，则的值可能是（）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】
通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系.
设，又，，
，则，
，.
则
即
所以
则
即.
所以
故选：
BCD.
【点睛】
本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题.
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