高考数学中的内切球和外接球问题附习题docxWord格式.docx
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设正六棱柱的底面边长为
x，高为h，则有
6x
3,
x
1
3x
2
6
2h,
h
．
8
4
3
r
2，球心到底面的距离
d
∴正六棱柱的底面圆的半径
2.∴
V球
外接球的半径R
1.
3.
小结
本题是运用公式R2
r2
d2求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
二、构造法（补形法）
1、构造正方体
例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外
接球的表面积是_______________.9.
例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外
接球的表面积是.
故其外接球的表面积S4R29.
小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分
别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，
于是长方体的
体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，
则有2Ra2
b2
c2
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：
长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则
体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长
即
练习：
在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分
别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表
面积。
球的表面积为
例6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，
则此球的表面积为（）
A.3B.4C.33D.6
A.（如图2）
例7）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=600，E为AB的
中点，将ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，
则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（）.
A.27
B.2
C.8
D.24
解析：
（如图3）因为AE=EB=DC=1，DAB=
CBE=DEA=600，
所以
ADAE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，
这与例6就完全相同了，故选C.
DC
AEB
P
E
图3
O
DA
平面ABC
AB
BC
例8（2已知球
的面上四点A、B、C、D，
，
DA=AB=BC=3，则球O的体积等于
本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.
而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA平面ABC，
ABBC，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，
又因为DA=AB=BC=3，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球
的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O的体积等于2
.（如图4）
D
A
BC
图4
2、例9（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球
面上，AB平面BCD，BCDC，若AB6,AC=213,AD=8，则球的体
积是.
首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD为球的
直径，O为球心，OB=OC=4为半径，要求B、C两点间的球面距离，
只要求出BOC即可，在RtABC中，求出BC=4，所以BOC=600，故
B、C两点间的球面距离是3
.（如图5）
B
C
图5
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
三.多面体几何性质法
例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16B.20C.24D.32.选C.
小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
四.寻求轴截面圆半径法
例4正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点
S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为
S
设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心
O1
为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得
OO1平面ABCD.
又SO1平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线上.
∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
在ASC中，由SASC2，AC2，得SA2SC2AC2.
∴ASC是以AC为斜边的Rt.
AC
.故
∴2是外接圆的半径，也是外接球的半径
小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半
径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方
法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
五.确定球心位置法
例5
在矩形ABCD中，AB
4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一
个直二面角B
ACD，则四面体ABCD的外接球的体积为
125
A.12
B.9
C.6
D.3
图4B
解设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互
相平分，可知OAOBOCOD.∴点O到四面体的四个顶点
A、B、C、D的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2所
ROA
5
R3
示.∴外接球的半径
2.故
.选C.
出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角
形斜边中点。
【例题】：
已知三棱锥的四个顶点都在球
，，，,求球
解：
且，，
因为所以知
所以所以可得图形为：
在中斜边为
的球面上，
的体积。
，,
且
取斜边的中点，
在中
所以在几何体中
，即为该四面体的外接球的球
心
所以该外接球的体积为
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
1.（陕西理?
6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，
其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积
是（）
A．33
B．3
答案
D．3
12
2.直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若
ABACAA12,
BAC
120，则此球的表面积等于
。
解:
在ABC中AB
2,BAC120,可得BC2
3,由正弦定理,可
得ABC
外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得
球半径R5，故此球的表面积为4R220.
3．正三棱柱ABCA1B1C1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离
为，则正三棱
柱的体积为．
答案8
4.表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A．2
B．1
C．2
D．22
【解析】此正八面体是每个面的边长均为
a的正三角形，所以由
3a2
23知，
a1，则此球的直径为2，故选A。
5.已知正方体外接球的体积是
32
，那么正方体的棱长等于（
）
B.
C.42
D.43
6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）
A.1∶3B.1∶3C.1∶33
D.1∶9
答案C
7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边
形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且
该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为
答案4
8.（2007天津理?
12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱
的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．
答案14π
9.（2007全国Ⅱ理?
15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm
的球面上。
如果正四
棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2.
答案242
10.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥
PABCDEF，则此正六棱
锥的侧面积是________．
67
F
11.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中
三角形（正四面体的截面）的面积是.
答案2
12.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体
外接球的表面积为（）
A．3B．2
C．16D．以上都不对
13.设正方体的棱长为
3，则它的外接球的表面积为（
A．8
B．2π
C．4πD．4
1．（2012新课标理）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC2;
则
此棱锥的体积为
（
C．2
D．2
25．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面
ABCD,四边形ABCD是边长为2
3正方形.若PA=26,则△OAB的
面积为______________.
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