高考数学中的内切球和外接球问题附习题docxWord格式.docx

1、设正六棱柱的底面边长为x ，高为 h ，则有6x3,x1,3 x262 h,h843r2 ，球心到底面的距离d正六棱柱的底面圆的半径2 .V 球外接球的半径 R1.3 .小结本题是运用公式 R2r 2d 2 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式 .二、构造法 （补形法 ）1、构造正方体例 5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 _.9 .例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直， 且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是.故其外接球的表面积 S 4 R2 9 .小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直， 且其长度分别为 a、b、c ，则就可以将这个三棱锥补

2、成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径 .设其外接球的半径为 R ，则有 2Ra2b2c2出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 ，则体对角线长为 ，几何体的外接球直径为 体对角线长即练习：在四面体 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为 ，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为例 6 一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3 B.4 C.33 D.6A. （如图 2）例 7）在等腰梯形 ABCD 中， AB=2DC=2 ， DAB=60 0 ，

3、 E 为 AB 的中点，将 ADE 与 BEC 分布沿 ED 、EC 向上折起，使 A 、 B 重合于点 P ，则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为（ ）.A. 27B. 2C. 8D. 24解析：（如图 3） 因为 AE=EB=DC=1 ， DAB=CBE= DEA=60 0 ，所以AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1 ，即三棱锥 P-DCE 为正四面体，至此，这与例 6 就完全相同了，故选 C.D CA E BPE图 3ODA平面 ABCABBC例 8（2 已知球的面上四点 A、B、C、D，DA=AB=BC= 3 ，则球 O 的体积等于本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的

4、半径 .而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于 DA 平面 ABC ，AB BC ，联想长方体中的相应线段关系， 构造如图 4 所示的长方体，又因为 DA=AB=BC= 3 ，则此长方体为正方体，所以 CD 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出 CD=3 .故球 O 的体积等于 2.（如图 4）DAB C图 42、例 9（2008 年安徽高考题）已知点 A、B、C、D 在同一个球面上， AB 平面 BCD ， BC DC ，若 AB 6, AC=2 13,AD=8 ，则球的体积是 .首先可联想到例 8，构造下面的长方体，于是 AD 为球的直径， O 为球心， OB=OC=4 为半径，要求

5、 B、C 两点间的球面距离，只要求出 BOC 即可，在 Rt ABC 中，求出 BC =4，所以 BOC=60 0 ，故B、C 两点间的球面距离是 3.（如图 5）BC图 5本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。三.多面体几何性质法例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是A. 16 B. 20 C. 24 D. 32 .选 C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的 .四.寻求轴截面圆半径法例 4 正四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点S、 A、B、C、 D 都在同一球面上

6、，则此球的体积为S设正四棱锥的底面中心为O1 ，外接球的球心O1为 O ，如图 1 所示 .由球的截面的性质，可得OO1 平面 ABCD .又 SO1 平面 ABCD ，球心 O 必在 SO1 所在的直线上 .ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径 .在 ASC中，由 SA SC 2，AC 2 ，得 SA2 SC2 AC 2 . ASC是以 AC为斜边的 Rt .AC.故 2是外接圆的半径，也是外接球的半径小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆， 于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半

7、径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆， 从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究 .这种等价转化的数学思想方法值得我们学习 .五.确定球心位置法例 5在矩形 ABCD 中， AB4, BC 3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 BAC D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为125A. 12B. 9C. 6D. 3图4 B解 设矩形对角线的交点为 O ，则由矩形对角线互相平分，可知 OA OB OC OD .点 O 到四面体的四个顶点A、 B、 C、 D 的距离相等，即点 O 为四面体的外接球的球心，如图 2 所R OA5R3示.外接球的半径2 .故.选

8、C.出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球， ， ， ,求球解： 且 ， ，因为 所以知所以 所以可得图形为：在 中斜边为的球面上，的体积。， ,且取斜边的中点 ，在 中所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。1. （陕西理 ?6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上， 则该正三棱锥的体积是（ ）A3 3B 3答案D 3122.直三棱柱 ABC A1 B1C1 的各顶点都在同一

9、球面上，若AB AC AA1 2,BAC120 ，则此球的表面积等于。解:在 ABC中 AB2 , BAC 120 ,可得 BC 23 ,由正弦定理 ,可得 ABC外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O ，球心为 O ，在 RT OBO 中，易得球半径 R 5 ，故此球的表面积为 4 R2 20 .3正三棱柱 ABC A1 B1C1 内接于半径为 2 的球，若 A, B 两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 答案 84.表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上， 则此球的体积为A 2B 1C2D22【解析】 此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由3a22 3知，a 1

10、 ，则此球的直径为 2 ，故选 A。5. 已知正方体外接球的体积是32，那么正方体的棱长等于（）B.C.42D.4 36. （2006 山东卷） 正方体的内切球与其外接球的体积之比为 （ ）A. 1 3 B. 13 C. 13 3D. 19答案 C7.（2008 海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 9，底面周长为 3，则这个球的体积为答案 48.（ 2007 天津理 ?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为 答案 149.（ 2007 全国理 ?15）

11、一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为 1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.答案 2 4 210.（ 2006 辽宁） 如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF ，则此正六棱锥的侧面积是 _6 7F11.（辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考 ）棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形 （ 正四面体的截面 ） 的面积是 .答案 212.（2009 枣庄一模） 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ）A3 B 2C 16 D以上都不对13.设正方体的棱长为3，则它的外接球的表面积为（A 8B2C4 D 41（2012 新课标理）已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上 , ABC 是边长为 1的正三角形 , SC为球 O 的直径 , 且 SC 2 ; 则此棱锥的体积为（C 2D 225（2012 辽宁文）已知点 P,A,B,C,D 是球 O表面上的点 ,PA平面ABCD,四边形 ABCD是边长为 23 正方形 . 若 PA=2 6 , 则 OAB的面积为 _.