排列组合公式及恒等式推导证明word版Word格式文档下载.docx
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最后一步,取最后一个:
有1种取法。
上述各步的取法相乘是排序的方法数,由于选m个,就有m!
种排排法,选n个就有n!
种排法。
故取m个的取法应当除以m!
取n个的取法应当除以n!
。
遂得出上述公式。
证明:
利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题
分解为两个步骤:
第一步,就是从n个球中抽m个出来,先不排序,此即定义的组合数问题
;
第二步,则是把这m个被抽出来的球全部排序,即全排列
根据乘法原理,
即:
组合公式也适用于全组合的情况,即求
C(n,
n)的问题。
根据上述公式,
n)
=
n!
/n!
(n-n)!
/
0!
1。
这一结果是完全合理的,因为从n个球中抽取所有n个出来,当然只有1种方法。
三、重复组合数公式:
重复组合定义:
从n个不同的元素中每次取一个,放回后再取下一个,如此连续m次所得的组合。
重复组合数公式:
(m可小于、大于、等于n,n≥1)
可以把该过程看作是一个“放球模型”:
n个不同的元素看作是n个格子,其间一共有(n-1)块相同的隔板,用m个相同的小球代表取m次;
则原问题可以简化为将m个不加区别的小球放进n个格子里面,问有多少种放法;
这相当 于m个相同的小球和(n-1)块相同的隔板先进行全排列:
一共有(m+n-1)!
种排法,再由于m个小球和(n-1)块隔板是分别不加以区分的,所以除以重复的情况:
m!
*(n-1)!
于是答案就是:
四、不全相异的全排列
在不全相异的n个物体中,假设有n1个物体是相同的,n2个五题是相同的,……,nk个物体是相同的。
n个物体中不相同的物体种类数一共有k种。
那么,这些物体的全排列数是n!
/(n1!
n2!
…nk!
)。
可以想成:
n个物体直接全排列,排列完了以后,去重,第一种物体有n1!
种,第二种物体有n2!
种,以此类推。
例:
有3个红球,2个白球,把这五个球排成一行,问有多少种排法?
红球和红球没有区别,白球和白球没有区别。
答:
一共有10种,
aaabb,aabab,aabba,abaab,ababa,baaab,baaba,abbaa,babaa,bbaaa。
五、排列恒等式的证明:
①
证明:
右边=
左边=右边
②
证明:
③
④
⑤
右边=左边
⑥
左边=(2-1)1!
+(3-1)2!
+(4-1)3!
+…(n+1-1)n!
=2!
-1!
+3!
-2!
+4!
-3!
…(n+1)!
-n!
=(n+1)!
-1!
=右边
六、组合恒等式的证明
互补性质:
取出有多少种,剩下就有多少种
根据分类计数原理:
要么含有新加元素要么不含新加元素
分类计数原理:
首先明弄清组合的两个性质公式:
①
右边=
③
右边=
=左边
根据组合性质,左边各式可写成:
左右两边相加即得:
⑥
用数学归纳法证明。
1)当n=1时,
所以等式成立。
2)假设n=k时,(k≥1,k∈N*)时等式成立。
当n=k+1时,
∴等式也成立
由1)、2)得,等式对n∈N*都成立。
也可用二项式定理证明(略)
⑦
用归纳法同上(略)
也可利用上述结论证明(略)
本课件尽量避开用二项式定理,但这比较简单,暂且用一下:
设
由(1+1)n可得:
a+b=2n=2×
2n-1
由(1-1)n可得a-b=0
∴a=b=2n-1(不懂的去学学二项式定理)
⑧
由
可得:
(还记得这个恒等式吗,不记得就回过头去看③的证明)
左边
注:
同时利用了⑥的结论。
⑨
r≤min{m,n}
用二项式定理证明太麻烦了。
能偷懒就不要太勤快了。
观察左边的每一项,发现均是分别从m个不同素和n个不同元素中取r个元素的一个组合,其各项之和就是所有取法,即所有组合数。
其所有组合数当然等于右边。
⑩
还是用偷懒法:
根据第⑨的结论并结合组合的互补性质,若r=m=n即得些结论。