离散数学习题.docx
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离散数学习题
第一章习题
1.1判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。
（1）是无理数。
（2）5能被2整除。
（3）现在开会吗？
（4）x+5>0
（5）这朵花真是好看！
（6）2是素数当且仅当三角形有三条边。
（7）雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。
（8）2000年10月1日天气晴好。
（9）太阳系以外的星球上有生物。
（10）小李在宿舍里。
（11）全体起立。
（12）4是2的倍数或是3的倍数。
（13）4是偶数且是奇数。
（14）李明和王华是同学。
（15）蓝色和黄色可以调配成绿色。
1..2将上题中的命题符号化，并讨论他们的真值。
1.3判断下列各命题的真值。
（1）若2+2=4，则3+3=6；
（2）若2+2=4，则3+36；
（3）若2+2=4，则3+3=6；
（4）若2+2=4，则3+3=6；
（5）2+2=4，当且仅当3+3=6；
（6）2+2=4，当且仅当3+36；
（7）2+24，当且仅当3+3=6；
（8）2+24，当且仅当3+36；
1.4将下列命题符号化，并讨论其真值。
（1）如果今天是1号，则明天是2号；
（2）如果今天是1号，则明天是3号；
1.5将下列命题符号化。
（1）2是偶数不是素数；
（2）小王不但聪明而且用功；
（3）虽然天气冷。
老王还是来了；
（4）他一边吃饭，一边看电视；
（5）如果天下大雨，他就乘公交汽车来；
（6）只有天下大雨，他才乘公交汽车来；
（7）除非天下大雨，否则他不乘公交汽车来；
（8）不经一事，不长一智；
1.5设p,q的真值为0，r,s的真值为1，求下列命题公式的真值。
（1）p（qr）;
（2）（pr）（ps）;
（3）（p（qr）（（pq）（rs）;
（4）（p（qrp）））（rs）;
1.6设p：
2+3=5。
q：
大熊猫产在中国。
r：
复旦大学在广州。
求下列复合命题的真值：
（1）（pq）→r
（2）（r→（p∧q））┐p
（3）┐r→（┐p∨┐q∨r）
（4）（p∧q∧┐r）（（┐p∨┐q）→r）
1.7．用真值表判断下列公式的类型：
方法不限。
（1）p→（p∨q∨r）
（2）（p→┐q）→┐q
（3）┐（q→r）∧r
（4）（p→q）→（┐q→┐p）
（5）（p∧r）（┐p∧┐q）
（6）（（p→q）∧（q→r））→（p→r）
（7）（p→q）（rs）
1.8用等值演算法证明下列等值式。
（1）（pq）（pq）p;
（2）（（pq）（pr））（p（qr））;
（3）（pq）（qp）（pq））
1.9设A,B,C为任意的命题公式。
（1）已知ACBC,问AB吗？
（2）已知ACBC,问AB吗？
（3）已知AB,问AB吗？
1.10求下列命题公式的主析取范式，主合取范式，成真赋值，成假赋值。
1.11通过求主析取范式判断下列各组命题公式是不是等值。
1.12有一探测队有3名队员，有一天取得一块矿样，3人的判断如下：
甲说：
这不是铁，也不是铜；
已说：
这不是铁，是锡；
丙说：
这不是锡，是铁；
经实验鉴定后发现，其中一人两个判断是正确的，一个人判断对一半，一个人的判断全错了，根据以上的情况判断矿样的种类。
1.13判断下列的推理是不是正确，先将命题符号化，在写出前提和结论，然后在进行判断。
（1）如果今天是1号，则明天是5号，今天是1号，所以明天是5号。
（1）如果今天是1号，则明天是5号，明天是5号，所以今天是1号。
（1）如果今天是1号，则明天是5号，明天不是5号，所以今天不是1号。
（1）如果今天是1号，则明天是5号，今天不是1号，所以明天不是5号。
1.14构造下面的推理的证明。
1.15如果他是理科学生，他必学好数学，如果他不是文科学生，他必是理科学生，他没有学好数学，所以他不是文科学生。
判断上面的推理是不是正确，并且证明你的结论。
1.16给定命题公式如下；
上述公式的成真赋值A，成假赋值为B，公式的类型为C。
供选择的答案
:
①无②全体赋值③010，100，101，111④010，100，101，110，111
B:
①无②全体赋值③000，001，011，④000，010，110
C:
①重言式②矛盾式③可满足式
1.17给定命题公式如下；
上述公式的主析取范式中含的极小项的个数为A，主合取范式含的极大项的个数为B，成真值的赋值为C
供选择的答案
A①2②3③5④0⑤8
B①0②8③5④3
C①000,001,110;②001,011,101,110,111;③全体赋值④无
1.18给定下列三组前提。
上述前提中，
（1）的逻辑结论（有效结论）为A，
（2）的逻辑结论为B，（3）的逻辑结论C。
供选择的答案
A,B,C:
①r②q③④s⑤⑥⑦
1.19设计一个符合下列要求的室类照明控制的线路，在房间的门外、门类及其床头分别装一个可以控制同一个电灯F的3个开关A,B,C,当且仅当一个开关的搬键向上或3个开关的搬键都向上时候电灯亮，则F的逻辑关系式可以化简为A
供选择的答案
A:
①②
1.20．某电路中有一个灯泡和三个开关A,B,C。
已知在且仅在下述四种情况下灯亮：
（1）C的扳键向上，A,B的扳键向下。
（2）A的扳键向上，B,C的扳键向下。
（3）B,C的扳键向上，A的扳键向下。
（4）A,B的扳键向上，C的扳键向下。
设F为1表示灯亮，p,q,r分别表示A,B,C的扳键向上。
（a）求F的主析取范式。
（b）在联结词完备集{┐,∧}上构造F.
（c）在联结词完备集{┐,→,}上构造F.
1.21．一个排队线路，输入为A,B,C，其输出分别为FA,FB,FC。
本线路中，在同一时间内只能有一个信号通过，若同时有两个和两个以上信号申请输出时，则按A,B,C的顺序输出。
写出FA,FB,FC在联结词完备集{┐,∨}中的表达式。
第二章习题
2.1在一阶逻辑中将下列命题符号化.
（1）鸟都会飞翔.
（2）并不是所有人都爱吃糖.
（3）有人爱看小说.
（4）没有不爱看电影的人.
2.2在一阶逻辑中将下列命题符号化，并指出个命题的真值.个体域分别为
（a）自然数集合N（N中含O）.
（b）整数集合Z.
（c）实数集合R.
（1）对于任意的x，均由
（2）存在x，使得x+2=0.
（3）存在x，使得5x=1.
2.3在一阶逻辑中将下列命题符号化.
（1）每个大学生不是文科生就是理科生.
（2）有些人喜欢所有的花.
（3）没有不犯错误的人.
（4）在北京工作的人未必就是北京人.
（5）任何金属都可以溶解在某种液体中.
（6）凡对顶角都相等.
2.4在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为（a）,（b）时命题的真值：
（1）对于任意的x，均有x2-2=（x+）（x-）。
（2）存在x，使得x+5=9。
其中（a）个体域为自然数集合，（b）个体域为实数集合。
2.5将下列各式翻译成自然语言，然后再不同领域中却定它们的真值.
个体域分别为
（a）实数集合
（b）整数集合
（c）正整数集合
（d）（非0实数集合）
2.6设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词：
（1）xy（F（x）∧G（y））
（2）xy（F（x）∨G（y））
（3）xF（x）→yG（y）
（4）x（F（x,y）→yG（y））
2.7．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。
（1）x（F（x）→G（x））
（2）x（F（x）∧G（x）
2.8．给定解释I如下：
（a）个体域D={3,4}。
（b）（x）为（3）=4，（4）=3。
（c）（x,y）为（3,3）=（4,4）=0，（3,4）=（4,3）=1。
试求下列公式在I下的真值：
（1）xyF（x,y）
（2）xyF（x,y）
（3）xy（F（x,y）→F（f（x）,f（y））
2.9．在自然推理系统F中构造下面推理的证明：
（1）前提：
x（F（x）→（G（a）∧R（x））），xF（x）
结论：
x（F（x）∧R（x））
（2）前提：
x（F（x）∨G（x）），┐xG（x）
结论：
xF（x）
（3）前提：
x（F（x）∨G（x）），x（┐G（x）∨┐R（x）），xR（x）
结论：
xF（x）
2.10．在自然推理系统F中，证明下面推理：
（1）每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。
（2）有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不是无理数。
（3）不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不是无理数。
2.11
（1）试给出解释，使得
在下具有不同的真值
（2）试给出解释，使得
在下具有不同的真值
2.12给出解释，使下面的两个公式在解释下面为假，从而说明这两个公式都不是逻辑有效式（用真式）
2.13设个体域，在D=｛a,b,c｝
下D验证量词否定等值式
2.15设个体域，在D=｛a,b,c｝,消去下列公式中的量词。
2.16求下列各式的前束范式，要求使用自由变换换名规则。
2.17构造下面推理的证明
（1）前提；
结论：
（3）前提：
）
结论：
2.18取个体域为整数集，给定下列各公式
在上面的公式中，真命题为A,假命题为B
供选择的答案
A:
①
（1）,（3）,（4）,（6）②（3）,（4）,（5）③
（1）,（3）,（4）,（5）④（3）,（4）,（6）,（7）
B:
①
（2）,（3）,（6）②
（2）,（6）,（8）③
（1）,
（2）,（6）,（7）④
（2）,（6）,（8）,（7）
2.19在一阶逻辑中给出下面4个推理
2.20在一阶逻辑中构造下面的推理证明
每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车，每个人或者喜欢坐汽车或自行车，有的人不喜欢自行车，所以有的人不喜欢步行。
命题符号化：
F（x）:
x喜欢步行,G（x）:
x喜欢坐汽车,H（x）:
x喜欢自行车.
在上述推理中，
（2）后用的推理规则为A，（4）后面用的推理规则为B，（5）用的推理规则是
（2）（4）所得到的推理规则C,（8）用的推理规则是（5）和（7）得到的推理规则D
供选择的答案
A,B,C,D①UI,②EI,③UG,④EG,⑤拒取式⑥假言推理⑦析取三段论
第三章习题集合与二元关系
3.1.选择适当的谓词表示下列集合：
（1）小于5的非负整数
（2）奇整数集合
（3）10的整倍数的集合
2.用列元素法表示下列集合：
（1）S1＝{x|x是十进制的数字}
（2）S2＝{x|x＝2∨x＝5}
（3）S3＝{x|x＝x∈Z∧3（4）S4＝{x|x∈R∧x2－1＝0∧x>3}
（5）S5＝{|x，y∈Z∧0≤x≤2∧-1≤y≤0}
3.2.设F表示一年级大学生的集合，S表示二年级大学生的集合，M表示数学专业学生的集合，R表示计算机专业学生的集合，T表示听离散数学课学生的集合，G表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合，H表示星期一晚上很迟才睡觉的学生的集合。
问下列各句子所对应的集合表达
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