离散数学习题.docx

1、离散数学习题第一章习题1.1判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。（1）是无理数。（2）5能被2整除。（3）现在开会吗？（4）x+50（5）这朵花真是好看！（6）2是素数当且仅当三角形有三条边。（7）雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。（8）2000年10月1日天气晴好。（9）太阳系以外的星球上有生物。（10）小李在宿舍里。（11）全体起立。（12）4是2的倍数或是3的倍数。（13）4是偶数且是奇数。（14）李明和王华是同学。（15）蓝色和黄色可以调配成绿色。1.2 将上题中的命题符号化，并讨论他们的真值。1.3判断下列各命题的真值。（1）若2+2=4，则3+3=6；（

2、2）若2+2=4，则3+36；（3）若2+2=4，则3+3=6；（4）若2+2=4，则3+3=6；（5）2+2=4，当且仅当3+3=6；（6）2+2=4，当且仅当3+36；（7）2+24，当且仅当3+3=6；（8）2+24，当且仅当3+36；1.4将下列命题符号化，并讨论其真值。（1）如果今天是1号，则明天是2号；（2）如果今天是1号，则明天是3号；1.5将下列命题符号化。（1）2是偶数不是素数；（2）小王不但聪明而且用功；（3）虽然天气冷。老王还是来了；（4）他一边吃饭，一边看电视；（5）如果天下大雨，他就乘公交汽车来；（6）只有天下大雨，他才乘公交汽车来；（7）除非天下大雨，否则他不乘公交

3、汽车来；（8）不经一事，不长一智；1.5设p,q的真值为0 ，r,s的真值为1，求下列命题公式的真值。（1）p(qr);（2）(pr)(ps); （3）（p(qr)(pq)(rs);(4)(p(qrp)(rs);1.6设p：2+3=5。 q：大熊猫产在中国。 r：复旦大学在广州。求下列复合命题的真值：（1）(pq)r（2）(r(pq)p（3）r(pqr)（4）(pqr)(pq)r)1.7用真值表判断下列公式的类型：方法不限。（1）p(pqr)（2）(pq)q（3）(qr)r（4）(pq)(qp)（5）(pr)(pq)（6）(pq)(qr)(pr)（7）(pq)(rs)1.8用等值演算法证明下列

4、等值式。(1)(pq)(pq)p;(2)(pq)(pr)(p(qr);(3)(pq)(qp)(pq)1.9设 A,B,C 为任意的命题公式。(1)已知ACBC,问AB吗？(2)已知ACBC,问AB吗？(3)已知AB, 问AB吗？1.10求下列命题公式的主析取范式，主合取范式，成真赋值，成假赋值。1.11通过求主析取范式判断下列各组命题公式是不是等值。1.12有一探测队有3名队员，有一天取得一块矿样，3人的判断如下：甲说：这不是铁，也不是铜；已说：这不是铁，是锡；丙说：这不是锡，是铁；经实验鉴定后发现，其中一人两个判断是正确的，一个人判断对一半，一个人的判断全错了，根据以上的情况判断矿样的种类。

5、1.13判断下列的推理是不是正确，先将命题符号化，在写出前提和结论，然后在进行判断。（1）如果今天是1号，则明天是5号，今天是1号，所以明天是5号。（1）如果今天是1号，则明天是5号，明天是5号，所以今天是1号。（1）如果今天是1号，则明天是5号，明天不是5号，所以今天不是1号。（1）如果今天是1号，则明天是5号，今天不是1号，所以明天不是5号。1.14构造下面的推理的证明。1.15如果他是理科学生，他必学好数学，如果他不是文科学生，他必是理科学生，他没有学好数学，所以他不是文科学生。判断上面的推理是不是正确，并且证明你的结论。1.16给定命题公式如下；上述公式的成真赋值A，成假赋值为B，公式

6、的类型为C。供选择的答案: 无 全体赋值 010，100，101，111 010，100，101，110，111B: 无 全体赋值 000，001，011， 000，010，110C: 重言式 矛盾式 可满足式1.17给定命题公式如下；上述公式的主析取范式中含的极小项的个数为A，主合取范式含的极大项的个数为B，成真值的赋值为C供选择的答案A 2 3 5 0 8B 0 8 5 3 C 000,001,110; 001,011,101,110,111; 全体赋值 无1.18给定下列三组前提。上述前提中，（1）的逻辑结论（有效结论）为A，（2）的逻辑结论为B，（3）的逻辑结论C。供选择的答案A,B,

7、C: r q s 1.19设计一个符合下列要求的室类照明控制的线路，在房间的门外、门类及其床头分别装一个可以控制同一个电灯F的3个开关A,B,C, 当且仅当一个开关的搬键向上或3 个开关的搬键都向上时候电灯亮，则F的逻辑关系式可以化简为A供选择的答案A: 1.20某电路中有一个灯泡和三个开关A,B,C。已知在且仅在下述四种情况下灯亮：（1）C的扳键向上，A,B的扳键向下。（2）A的扳键向上，B,C的扳键向下。（3）B,C的扳键向上，A的扳键向下。（4）A,B的扳键向上，C的扳键向下。设F为1表示灯亮，p,q,r分别表示A,B,C的扳键向上。（a）求F的主析取范式。（b）在联结词完备集,上构造F

8、.（c）在联结词完备集,上构造F.1.21一个排队线路，输入为A,B,C，其输出分别为FA,FB,FC。本线路中，在同一时间内只能有一个信号通过，若同时有两个和两个以上信号申请输出时，则按A,B,C的顺序输出。写出FA,FB,FC在联结词完备集,中的表达式。第二章习题2.1在一阶逻辑中将下列命题符号化. （1）鸟都会飞翔. （2）并不是所有人都爱吃糖. （3）有人爱看小说. （4）没有不爱看电影的人. 2.2 在一阶逻辑中将下列命题符号化，并指出个命题的真值.个体域分别为 （a）自然数集合N（N中含O）. （b）整数集合Z. （c）实数集合R. （1）对于任意的x，均由 (2 )存在x，使得x

9、+2=0. (3 ) 存在x，使得5x=1. 2.3 在一阶逻辑中将下列命题符号化. （1）每个大学生不是文科生就是理科生.（2）有些人喜欢所有的花.（3）没有不犯错误的人.（4）在北京工作的人未必就是北京人.（5）任何金属都可以溶解在某种液体中.（6）凡对顶角都相等.2.4在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：（1）对于任意的x，均有x2-2=(x+)(x-)。（2）存在x，使得x+5=9。其中(a)个体域为自然数集合，(b)个体域为实数集合。2.5将下列各式翻译成自然语言，然后再不同领域中却定它们的真值.个体域分别为（a）实数集合(b)整数集合(c

10、)正整数集合(d)（非0 实数集合）2.6设个体域D=a,b,c，消去下列各式的量词：(1) xy(F(x)G(y)(2) xy(F(x)G(y)(3) xF(x)yG(y)(4) x(F(x,y)yG(y)2.7设个体域D=1,2，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。(1) x(F(x)G(x)(2) x(F(x)G(x)2.8给定解释I如下：(a) 个体域D=3,4。(b) (x)为(3)=4，(4)=3。(c) (x,y)为(3,3)=(4,4)=0，(3,4)=(4,3)=1。 试求下列公式在I下的真值：(1) xyF(x,y)(2)

11、xyF(x,y)(3) xy(F(x,y)F(f(x),f(y)2.9在自然推理系统F中构造下面推理的证明：(1) 前提：x(F(x)(G(a)R(x)，xF(x)结论：x(F(x)R(x)(2) 前提：x(F(x)G(x)，xG(x)结论：xF(x)(3) 前提：x(F(x)G(x)，x(G(x)R(x)，xR(x)结论：xF(x)2.10在自然推理系统F中，证明下面推理：(1) 每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。(2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不是无理数。(3) 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不是

12、无理数。2.11(1) 试给出解释，使得在下具有不同的真值（2）试给出解释，使得在下具有不同的真值2.12给出解释，使下面的两个公式在解释下面为假，从而说明这两个公式都不是逻辑有效式（用真式）2.13设个体域，在D=a,b,c 下D验证量词否定等值式2.15设个体域，在D=a,b,c,消去下列公式中的量词。2.16求下列各式的前束范式，要求使用自由变换换名规则。2.17 构造下面推理的证明（1）前提； 结论：（3）前提：）结论：2.18取个体域为整数集，给定下列各公式在上面的公式中，真命题为A, 假命题为B供选择的答案A: (1),(3),(4),(6) (3),(4),(5) (1),(3)

13、,(4),(5)(3),(4),(6),(7)B: (2),(3),(6) (2),(6),(8)(1),(2),(6),(7)(2),(6),(8),(7)2.19在一阶逻辑中给出下面4个推理2.20在一阶逻辑中构造下面的推理证明每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车， 每个人或者喜欢坐汽车或自行车，有的人不喜欢自行车，所以有的人不喜欢步行。命题符号化： F(x): x 喜欢步行,G(x):x 喜欢坐汽车,H(x):x 喜欢自行车.在上述推理中，（2）后用的推理规则为A，（4）后面用的推理规则为B，（5）用的推理规则是（2）（4）所得到的推理规则C,（8）用的推理规则是（5）和（7）得到的推理规则D

14、供选择的答案A,B,C,D UI, EI, UG, EG,拒取式假言推理析取三段论第三章习题集合与二元关系3.1.选择适当的谓词表示下列集合： (1)小于5的非负整数 (2)奇整数集合 (3)10的整倍数的集合2.用列元素法表示下列集合： (1)S1x|x是十进制的数字 (2)S2x|x2x5 (3)S3x|xxZ3x3 (5)S5|x，yZ0x2-1y03.2.设F表示一年级大学生的集合，S表示二年级大学生的集合，M表示数学专业学生的集合，R表示计算机专业学生的集合，T表示听离散数学课学生的集合，G表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合，H表示星期一晚上很迟才睡觉的学生的集合。问下列各句子所对应的集合表达