全等三角形的经典模型一Word下载.docx
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ATo和JCMO中，
'
AN=CM
<
ZBAo=ZC
AO=CO
ZZ^rOZZCMo（SAS）
ZON=OMiΣAON=ΣCOM,
又匚二COM-ΣAOM=90o,
二二OMN为等腰直角三角形・
【例2】两个全等的含30,60角的三角板APE和三角板ABC,如图所示放置，E,AC三点在一条直线上，连接3D,取BD的中点M,连接ME.MC・试判断AEMC的形状，并说明理由.
【解析】AEMC是等腰直角三角形.证明：
连接AΛ∕.由题意，得
Df=ACZDAZf+ZBAC=90,ZDAβ=90・.∙.Λ∩AB为等腰直角三角形.
ZDM=MBJ
ZMA=MB=DM,AMDA=ZMAZJ=45・
ZZ∕WDE=ZMAC=105I
ZAEDMJACAM・
二EM=MC.ZDME=ZAMC・
又ZEMC=ZEMA+ZAMC=ZEMA+ZDME=90・二CMlEMI
二AEMC是等腰直角三角形・
【例3】已知：
如图，ZXABC中，AB=AC.ZBAC=90∖D是AC的中点，AF丄BD于E,交BC于F,连接DF.
求证：
ZADB=ZCDF・
【解析】证法一：
如图，过点A作/W丄BC于NI交BD于M・
VzAB=ACIZfiAC=90°
ΛZ3=ZZMM=45°
・
VZC=45o,ΛZ3=ZC・
V
AF丄BD,.∖Zl+ZBAE=90o
VZfiAC=90°
ΛZ2+ZBAE=90o・
.∖Zl=Z2・
在Z∖ABM和ΔC4F中，
Z1=Z2
AB=AC
Z3=ZC
»
/.^∕∖CAF・∙∙∙AM=CF・
在ΛADM和ACDF中，
AD=CD
VZDAM=ZC
AM=CF
∙∙∙ΔADM^ACDF・
:
∙ZADB=ZCDf・
证法二：
如图，作CM丄AC交AF的延长线于M・
二AF丄"
DJCZ3+Z2=90o,
ZZβAC=90of
ΞZ1+Z2=9O°
I
ZZl=Z3・
在AACM和ABAD中J
Zl=23
AC=AB
ZACM=ZBAD=90°
二∆ACM^ΛBAD・
ZZM=ZAPB,AD=CM
ZAD=DCJLCM=CD・
在AGWF和ACDF中,
CF=CF
ZMCF=ZDCF=45°
CM=CD
二MMF些MDF・DWCDF
二ZADB=ZCDF・
【例4】如图，等腰直角Z∖ABC中，AC=BC,ZACB=90°
.P为ZVWC内部一点，满足
PB=PC,AP=AC,求证：
ZBCP=I5。
・
【解析】补全正方形ACBD,连接DP,
易证AADP是等边三角形IZZMP=60°
ZBA£
）=45°
ZZBAP=15o,ZPAC=30oJUZACP=ISQI
ZZBCP=15°
【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型
在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。
例4为求角度的应用，其他应用探究如下：
【探究一】证角等
【备选1】如图，RtAABC中，ZBJC=90°
.1B=AC,M为ZIC中点，连结BM.作AD丄BM交BC于点、D、连结DM求证:
ZJMS=ZCMD・
［解析】作等腰R仁毎C关于BC对称的等腰Rt二BFC,延长,3交CF于点N,
二ANZBM、由正方形的性质，可得zL2=BM,
易证RtΣABMZRtZC4Λrf匚二AMB=二CNDICN=AM,
二M为JC中点，二CM=CN,
ZZI=Z2J可证得HWDHGVDJ
ZΣCND=ΣCMD,
ΣΣ.U∕B=ΣCMD.
【探究二】判左三角形形状
【备选2】如图，RtΔ,lδC中，ZBAC=90%.1B=AC,.ID=CE9.4NLBD于点ΛΛ延长肋交NE的延长线于点只试判左ADEF的形状.
【解析】作等腰Rt二毎C关于BC对称的等腰RxZBHC,
可知四边形MEHC为正方形，延长ZLV交HC于点K,
ZΛKZBDI可知AK=BDI易证.RtZABDZRtZC-IK,
二二ADB=二CKNICK=AD,
ZJZ>
=EC,ZCK=CE,
易证二CKNZ匚CEV,二匸CKN=二CEN,
易证二EDF=二DEF,二二DEF为等腰三角形・
【探究三】利用等积变形求面积
【备选3】如图，RtΔ-lδC中，ZJ=90‰.AB=AC,D为BC上一点、,DE//AC,DF//AB9且EE=4,CF=3,求Sn^DE4∑・
【解析】作等腰Rt二毎C关于BC的对称的等腰RtZGC5I
可知四边形JEGC为正方形，分别延长FaED交BG.CG于点N、M9
全等三角形的经典模型
（一）
可知DN=EB=4,DM=FC=3,
由正方形对称性质，
可知S毎形DFAE=S年形DMGGDMDN=3×
4=12.
【探究四】求线段长
【备选4】如图，/XABC中—10丄EC于点D,ZBJC=45。
，BD=3,CD=2,求,3的长.
【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但二二BJC=45。
，若分别以AB.AC为对称轴作RtZJM的对称直角三角形和Rt二QC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90。
的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形.
【解析】以AB为轴作RtZJD5的对称的RtZJ£
5I再以AC为轴作RtZ.WC的对称的
RtZ^C■
可知BE=BD=3,FC=CD=2J
延长肪、FC交点G,HBdC=45。
9
由对称性，可得□Γ-lF=90o,且AE=-ID=AF,
易证四边形ZIFGE为正方形，且边长等于-Q,
设.lD=x,则Bg-3JCG=X-2J
在RtZBCG中，由勾股定理，得（x-2）2+（x-3）2=52,
解得.x=6ISPAD=6・
【探究五】求最小值
【备选5】如图，RtΔ,lδC中，ZACB=90%AC=BC=4.M为MC的中点，P为斜边ABk的动点，求PM÷
PC的最小值.
【解析】将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作RtZJC5关于.15对称的RuDB,可知四边形ACBD为正方形，连接CD,可知点C关于A5的对称点Z）,连接Mz）交于点P连接CP则PM+PC的值为最小最小值PM+PC=DM=√42+22=2√5.
【解析】二∙dB±
BDIEDIBD
.∙.ZB=ZD=90o在ZiABC与△<
?
£
）£
•中
AB=CD
ZB=ZD
BC=DE
.∖∆ABC^ΛCDE（SAS）
・Zl=ZE
••
vZ2+ZE=90o
・•・ZACE=90°
.即ACLCE
□图二:
Ξ匚二四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似I只要证明
∆ABC^∆C1DE
：
.AACB≈ACxED
VZCIED÷
ZDC；
=90oAZDCI£
+ZACB=90°
C丄CIjE
【例5】正方形ABCD中，点A、3的坐标分别为（0,10）,（8,4）,点C在第一彖限.求正方形边长及顶点C的坐标.（计算应用：
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方・）
【解析】过点C作CG：
X轴于G,过B作恥二V轴于E,并反向延长交CG于F
点A.3的坐标分别为（0,10）I（8,4）
二BE=Qf-IE：
=6,Z-IB=IO
二四边形MCz）是正方形，二AB=BC
∙∙∙Zl+Z3=90oZ2+Z3=90o
Λ∠1=Z2
VZAfB=ZBFC=90°
ZZAEBZZBFC
CF=BE=SIBF=AE=6
CG=12EF=I4
C（14,12）I正方形的边长为10
【例6】如图所示，在直角梯形ABCD中，ZABC=90°
AD//BC9AB=BC,E是AB的中点，CE=BD.Z求证：
BE=AD;
Z求证：
AC是线段血的垂直平分线；
二MBC是等腰三角形吗？
请说明理由.
【解析】二Z]ZABC=90。
BD丄ECJ
二AECB+ZDBC=90。
.ZABD+ADBC=9GQJ二AECB=ZABDJ
ZZABC=ZZMB=90oJAB=BC9
二4BAD竺HCBEJ二AD=BE・
ZZE是AB中点，□EB=EΛ
由二得:
AD=BEfUAE=AD
ΣAD//BCJZZCAz）=ZACB=45oJ
ZzEAC=45oIU/BAC=ADAC
由等腰三角形的性质，得：
EM=MD,AM丄DE
即AC是线段£
D的垂直平分线.
二MBC是等腰三角形,CD=BD
CD=CEI由二得:
CE=BD
二CD=BDJ□ZXDBC是等腰三角形・
【例7】⑴如图1,∕∖ABC是等边三角形，D、E分别是曲、EC上的点，且BD=CE.连接
AE.CD相交于点P.请你补全图形，并直接写岀ZJPZ）的度数=:
⑵如图2,RtAABC中，Z5=90%M.N分别是AB.BC±
的点，且AM=BC、BM=CNt连接丘V、CM相交于点P.请你猜想^lPM=。
，并写出你的
推理过程.
（2013平谷一模）
【解析】⑴图略,60°
作AE二AB且AE=QV=BM.
可证AEAMΛMBC
二ME=MC9ZAME=ZBCM・
二ZCM3+ZΛ∕CB=90。
二ZCMB+ZAME=90°
.
JZEMC=90°
二ZkEWC是等腰直角三角形,ZMCE=45°
又二AECD二CAN（SAS）
ZZECA=ZNAC.
=ECΣAN.
二ZAPM=ZECM=45°
训练1・C知：
如图，ZXABC中,AC=BC,ZACB=90。
，D是AC上一点…匹丄的延长线于E,并且任抑，求证：
BD平….
［解析】延长ZlE交BC的延长线于F
λjbelaf,ZACB=90°
∙∙∙AFAC=ADBC
二在二IFC和匚肋C中，
ZFAC=ZDBC
AC=BC
ZACF=ZBCD
•
.2,1FC^ZBDC（ASA）
AF=BD
又VAE=LBD
2
・•・AE=IAF=EF
BE是JF的中垂BA=BF
・・如平分ZABC
训练2.已知，在正方形ABCD中，E在BD上，DG丄CE于G,DG交AC于F求证:
OE=OF
【解析】二ABCD是正方形
ZOD=OCZDOC=90。
ZDGZCE□ZDGC=90o
ZADOC=ZDGCZ乙OFD=ZGFC
二乙ODF=ZECO
二在二DOF和二COE中，
ΛDOF=ZCOE
OD=OC
ZODF=乙OCE
.ZDOF二匚COE（ASA）
二OE=OF
训练3.已知：
如图，ZVlBC中.AB=AC9ZBAC=90∖D是BC的中点，AF丄施于
G•求证：
DH=DF
【解析】二AB=AC,ZRAC=90oID是BC的中点
二AD=BD=CDfADnBC
二ZAf）B=90°
ZAF丄BE
二ZAGH=90。
二ZDBE=ZDAF
二在二EDH和二IDF中，
ZDBH=ZDAF
BD=AD
ZADB=ZADF
二BDH二ADFgA）
ZDH=DF
训练4.如图，已知矩形MCD中.E是上的一点，F是肋上的一点，EFLEC,且EF=EC,DE=Acm.矩形4SCD的周长为32cm,求JE的长.
【解析】在Rt二:
LEF和Rt二DEC中，匸EF二CEIZZFEC=90oI
ZZAEF+ΣDEC=9QQ,^LECD+2DEC=90oI
二二AEF=二ECD・
又二EJE=ZrDC=90°
・EF=EC
ZRtzJFFZRtZnC£
AAE=CD・
∙∙∙zLD=JΓ+4・
二矩形-13CQ的周长为32cm,
匚2（J£
七匹+4）=32・
解得HE=6Cm・
題型一等腰直角三角形横型巩固练习
【练习1】如图，MCB、Z∖ECD均为等腰直角三角形，则图中与
BDC全等的三角形为.
【解析】4AEC
【练习2】如图，已知RtZiABC中ZAce=90°
AC=BC.D是BC的中点，CE丄AD,垂足为E・BF//AC,交CE的延长线于点F・求证：
AC=2BF・
【解析】VZACB=90'
JBF//ACI
・・・ZACD=ZeBF=90°
fZADC+ZCAD=90°
•CE丄ADI
.'
.ZFCB+ZADC=90^I
.∖ZCAD=ZFCB・又:
AC=CB,
/.Z^ADC・
.DC=FB・
・・・£
）是BC的中点，
.∙.BC=2BFI
即AC=IBF・
題型二三垂直横型巩固练习
【练习3】已知：
如图，四边形肋3是矩形（AD>
AB×
点E在EC上，且AE=AD,DF丄JE,垂足为F.请探求DF与月E有何数量关系？
写岀你所得到的结论并给予证明.
【解析】经探求，结论是:
DF=AB・
证明如下：
二四边形ZIECD是矩形I
ZLB=90,AD二BC,
Z匚DJF=二AEB・
ZDF二AEI□ZAFD=90J
二AE=AD,
二MBE竺ZFA・
二AB=DF・
【练习4】如图，Z∖ABC中，AC=BC,ZBCA=90%D是AB上任意一点,
AE丄CD交CD延长线于E,BF丄CD于F・求证：
EF=BF-AE・【解析】根据条件，ZACEXZCBF都与ZBCF互余，
∙ZACE=ZCBf・
在ZMCE和ATBF中，
AC=CBIZAEC=ZCFB=90°
f
•AACECBF・
贝QCE=BFIAE=CFJ
•EF=CE—CF=BF-AE・
【练习5】四边形JBCD是正方形.
⑴如图1，点G是BC边上任意一点（不与B.C两点重合），连接AG,作防丄/G
于点F,DESG于点E.求证：
厶ABF竺HDAE；
⑵在⑴中，线段EF与AF、BF的等量关系是（直接写出结论即可，
不需要证明）；
⑶如图2,点G是Cz）边上任意一点（不与C、Z）两点重合），连接JG,作貯丄/G
于点F,DE丄2G于点E.那么图中全等三角形是,线段EF与AF、
BF的等量关系是（直接写出结论即可，不需要证
明）・
图1
【解析】⑴在正方形胭CD中1.1B=1D,ZBAD=90Q
.+ZZME=90°
YZΛ4F+ZABF=90°
∙∙∙ZABF=ZDAE
在二15F和二D匹中
ZABF=ZZME,
AAFB=ZDEA.
AB=DA.
•HABF竺4DAE（AAS）
二EF=AF-BF
Z二ABF二匚D匹
EF=BF-AF
测试1・问题：
已知ZVWC中，ZBAC=2ZACB,点D是Z∖ΛBC内的一点，且AD=CD9
BD=BA・探%ZDBC与ZABC度数的比值.
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得岀猜想，再对一般情况进行分析并加以证明・当ZBAC=90o时，依问题中的条件补全右图.
观察图形，AB与AC的数量关系为:
当推岀ZAMC=I5°
时，可进一步推出ZDBC的度数为
可得到ZDBC与ZABC度数的比值为・
（2010北京中考）
测试2.已知：
如图，在'
ABC中，ZACB=90°
.CD丄AB于点D,点E^ACh,CE=BC.
过E点作,JC的垂线，交CD的延长线于点F求iiE：
AB=FC.
二ZFEC=ZACB=90°
ZZF+ZECF=90o・
又匚CD丄AB于点DI
ZZA+ZECF=90o・
ZZA=ZF・
在ZVWC和ZkFCE中，
-ZA=ZF,
ZACB=ZFEC,
BC=CE,
ZΔABC^ΛFCE・二AB=FC・
测试3.如图，RtΔ^C中，ZC=90°
AC=IOCm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,
P,Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线ZLM上运动.当∕∖ABC和公APO全等时,点O到点/的距离为.
5cm或IOcm.
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