全等三角形的经典模型一Word下载.docx

1、!ATo 和 JCMO 中，AN = CM=EC , ZCK=CE ,易证二CKNZ匚CEV ,二匸CKN=二CEN ,易证二EDF=二DEF ,二二DEF为等腰三角形【探究三】利用等积变形求面积【备选 3】如图，Rt-lC 中，ZJ=90 .AB=AC, D 为 BC 上一点、,DE/AC, DF/AB9 且 EE=4, CF=3,求 S nDE4【解析】作等腰Rt二毎C关于BC的对称的等腰RtZGC5 I可知四边形JEGC为正方形，分别延长Fa ED交BG. CG于点N、M9全等三角形的经典模型（一）可知 DN=EB=4 , DM=FC=3 ,由正方形对称性质，可知 S 毎形 DFAE=S

2、 年形 DMGGDMDN=3 4=12 .【探究四】求线段长【备选4】如图，/XABC中10丄EC于点D, ZBJC=45。，BD=3, CD=2,求,3 的长.【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题 尽管已知条件不是等腰直角三角形，但二二BJC=45。，若分别以AB. AC为对称轴 作RtZJM的对称直角三角形和Rt二QC的对称直角三角形，这样就出现两边相 等且夹角为90。的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化 为正方形.【解析】以AB为轴作RtZJD5的对称的RtZJ5 I再以AC为轴作RtZ.WC的对称的RtZC 可知 BE=BD

3、=3 , FC=CD=2 J延长肪、FC交点G , HBdC=45。9由对称性，可得-lF=90o ,且AE=-ID=AF ,易证四边形ZIFGE为正方形，且边长等于-Q ,设.lD=x ,则 Bg - 3 J CG=X - 2 J在 RtZBCG 中，由勾股定理，得（x-2）2+（x-3）2=52 ,解得.x=6 I SP AD=6 【探究五】求最小值【备选5】如图，Rt,lC中，ZACB=90% AC=BC=4. M为MC的中点，P为斜边ABk 的动点，求PMPC的最小值.【解析】将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作RtZJC5关于.15对称的RuDB ,可 知四边形ACBD为正方形，连

4、接CD ,可知点C关于A5的对称点Z）,连接Mz）交 于点P连接CP则PM+PC的值为最小 最小值PM+PC=DM= 42 + 22 = 25 .【解析】二dBBD I EDIBD.ZB = ZD = 90o 在 ZiABC 与AB点E在EC上，且AE=AD, DF 丄JE,垂足为F.请探求DF与月E有何数量关系？写岀你所得到的结论并给予 证明.【解析】经探求，结论是:DF = AB证明如下：二四边形ZIECD是矩形IZ LB= 90 , AD二BC ,Z 匚DJF=二AEB Z DF二AE I ZAFD = 90 J二 AE = AD ,二 MBE 竺 ZFA 二 AB = DF 【练习4】

5、 如图，ZABC中，AC = BC, ZBCA = 90% D是AB上任意一点,AE丄CD交CD延长线于E, BF丄CD于F求证：EF = BF-AE 【解析】根据条件，ZACEX ZCBF都与ZBCF互余， ZACE = ZCBf 在ZMCE和ATBF中，AC = CB I ZAEC = ZCFB = 90 f AACE CBF 贝QCE = BF I AE = CF J EF = CECF = BF-AE 【练习5】 四边形JBCD是正方形.如图1，点G是BC边上任意一点（不与B. C两点重合），连接AG,作防丄/G于点F, DESG于点E.求证：厶ABF竺HDAE；在中，线段EF与AF、

6、BF的等量关系是 （直接写出结论即可，不需要证明）；如图2,点G是Cz）边上任意一点（不与C、Z）两点重合），连接JG,作貯丄/G于点F, DE丄2G于点E.那么图中全等三角形是 ,线段EF与AF、BF的等量关系是 （直接写出结论即可，不需要证明）图1【解析】在正方形胭CD中1.1B=1D , ZBAD = 90Q.+ ZZME = 90Y Z4F +ZABF = 90 ZABF = ZDAE在二15F和二D匹中ZABF = ZZME, AAFB = ZDEA.AB = DA. HABF 竺 4DAE （ AAS ）二 EF = AF-BFZ 二 ABF 二匚 D匹EF = BF-AF测试1

7、问题：已知ZVWC中，ZBAC = 2ZACB ,点D是ZBC内的一点，且AD = CD9BD = BA探% ZDBC与ZABC度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得岀猜想，再对一般情况进行分析并加以证明 当ZBAC = 90o时，依问题中的条件补全右图.观察图形，AB与AC的数量关系为 :当推岀ZAMC = I5时，可进一步推出ZDBC的度数为 可得到ZDBC与ZABC度数的比值为 （2010北京中考）测试2. 已知：如图，在ABC中，ZACB=90. CD丄AB于点D,点EACh,CE=BC.过E点作,JC的垂线，交CD的延长线于点F求iiE： AB=FC.二 ZFEC = ZACB = 90ZZF + ZECF=90o 又匚CD丄AB于点D IZZA + ZECF = 90o ZZA = ZF 在 ZVWC 和 ZkFCE 中，-ZA = ZF,ZACB = ZFEC,BC = CE,Z ABCFCE 二 AB = FC 测试3.如图，RtC 中，ZC=90 , AC = IOCm, BC = 5cm , 一条线段 PQ=AB,P, Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线ZLM上运动.当ABC和公 APO全等时,点O到点/的距离为 .5cm 或 IOcm.