《椭圆》方程典型例题20例含标准答案文档格式.docx
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求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求
a，求c，再求
比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．
典型例题三
例3
已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x
y1
0交于A、B两点，
M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为
2，求椭圆的方程．
由题意，设椭圆方程为
x2
y2
a2
x
由
，得1
∴xM
x1
x21
2a2，yM
1xM
12，
kOM
yM
，∴a
xM
∴x2
1为所求．
（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；
（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
例4椭圆
y
上不同三点
9
与焦点
，的
25
Ax1，y1
，B4
，Cx2，y2
F40
5
距离成等差数列．
（1）求证x1x2
8；
（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．
证明：
（1）由椭圆方程知a
，b
3，c4
．
由圆锥曲线的统一定义知：
AF
c，
∴
ex1
4x1．
同理
CF
x2．
∵
2BF，且BF
18
即
8
（2）因为线段AC的中点为
y1
，所以它的垂直平分线方程为
4，
x2x
4．
又∵点
T
在
x轴上，设其坐标为
，，代入上式，得
x00
x0
y12
y22
2x1
又∵点Ax1，y1，Bx2，y2都在椭圆上，
∴y12925x1225
925
x22
∴y12
9x1x2x1x2．
将此式代入①，并利用x1x28的结论得
x04
36
kBT
典型例题五
例5已知椭圆x2
1，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点
M，使M
到左准线l的距离MN是MF1与MF2的等比中项？
若存在，则求出点
M的坐
标；
若不存在，请说明理由．
假设M存在，设Mx1，y1，由已知条
件得
a2，b
3，∴c
1，e
1．
∵左准线l的方程是x
4，
∴MN
又由焦半径公式知：
MF1
1x1，
MF2
∵MN2MF1MF2，
∴x1
42
1x12
1x1．
整理得5x1232x1480．
解之得x1
或x1
12．
①
另一方面
2．
②
则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在．
（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．
（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．
（3）本例也可设M2cos，3sin存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．
典型例题六
例6已知椭圆
，求过点P
且被P平分的弦所在的直线方程．
分析一：
已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为
k，利用条件求k．
解法一：
设所求直线的斜率为k，则直线方程为y
kx
1．代入椭圆
方程，并整理得
12k2x2
2k2
2kx
1k2
k
0．
由韦达定理得x1
22
k．
2k
∵P是弦中点，∴x1
1．故得k
所以所求直线方程为
2x
4y
分析二：
设弦两端坐标为
x1，y1
、x2，y2，列关于x1、x2、y1、y2的方程
组，从而求斜率：
y1
解法二：
设过P
的直线与椭圆交于Ax1，y1
、Bx2，y2
，则由题意得
x12
③
1.
④
①－②得x12
⑤
将③、④代入⑤得y1
1，即直线的斜率为
所求直线方程为
30．
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：
过定点且被定点平分的弦；
平行弦的中点轨迹；
过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．
（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：
“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
典型例题七
例7求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点2，6；
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为
6．
当方程有两种形式时，应分别求解，如（
1）题中由x2
求出
b2
148，b2
37，在得方程x2
1后，不能依此写出另一方程
1．
148
37
（1）设椭圆的标准方程为
x2
1或
b
21．
由已知a
2b
又过点2，6
，因此有
6
或
由①、②，得
148，b2
37或a2
52，b2
13．故所求的方程为
1或y2
52
13
（2）设方程为x2
1．由已知，c
3，b
3，所以a2
18．故所
求方程为x2
根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，
定参数”．关键在于
焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程
21
典型例题八
例8椭圆x2
1的右焦点为F，过点A1，3，点M在椭圆上，当
12
AM
2MF为最小值时，求点M的坐标．
本题的关键是求出离心率e
1，把2MF转化为M到右准线的距离，
从而得最小值．一般地，求
1MF均可用此法．
e
1，右准线
由已知：
a
4，c
2．所以e
l：
x
过A作AQ
l，垂足为Q，交椭圆于M，故
MQ
2MF．显然AM
2MF的最小值为AQ，
即M
为所求点，因此yM
3，且M在椭圆上．故
3．所以M2
3，3
本题关键在于未知式AM
2MF中的“2”的处理．事实上，如图，
e1，即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆
上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值．
典型例题九
例9求椭圆x2
1上的点到直线xy6
0的距离的最小值．
先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．
椭圆的参数方程为
3cos，
3cos，sin
ysin.
设椭圆上的点的坐标为
则点到直线的距离为
3cossin6
2sin
d
当
sin
1时，
最小值
22．
当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
典型例题十
例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e
，已知点P0，
到这个椭圆上的点的最远距离是
7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点
P的
距离等于7的点的坐标．
本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．
设所求椭圆的直角坐标方程是
，其中a
b0待定．
1b
由e2
c2
2可得
1e2
131，即a2b．
设椭圆上的点x，y到点P的距离是d，则
d2
a21
3y
4b
3y
其中
b．
如果b
1，则当y
b时，d2（从而d）有最大值．
1，与b
1矛盾．
由题设得
，由此得b
7
因此必有b
1成立，于是当y
时，d2（从而d）有最大值．
4b2
3，可得b
1，a
∴所求椭圆方程是x2
由y
及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点
3，1
，点
到
的距离是
7．
点P0，
根据题设条件，可取椭圆的参数方程是
acos，其中ab
0，
bsin
待定，0
为参数．
c2
a2b2
可得
由e
31，即a2b．
设椭圆上的点x，y
到点P
的距离为d，则
0，
a2cos2
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