《椭圆》方程典型例题20例含标准答案文档格式.docx
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求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求
a,求c,再求
比.二是列含a和c的齐次方程,再化含e的方程,解方程即可.
典型例题三
例3
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与直线x
y1
0交于A、B两点,
M为AB中点,OM的斜率为0.25,椭圆的短轴长为
2,求椭圆的方程.
由题意,设椭圆方程为
x2
y2
a2
x
由
,得1
∴xM
x1
x21
2a2,yM
1xM
12,
kOM
yM
,∴a
xM
∴x2
1为所求.
(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;
(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.
典型例题四
例4椭圆
y
上不同三点
9
与焦点
,的
25
Ax1,y1
,B4
,Cx2,y2
F40
5
距离成等差数列.
(1)求证x1x2
8;
(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T,求直线BT的斜率k.
证明:
(1)由椭圆方程知a
,b
3,c4
.
由圆锥曲线的统一定义知:
AF
c,
∴
ex1
4x1.
同理
CF
x2.
∵
2BF,且BF
18
即
8
(2)因为线段AC的中点为
y1
,所以它的垂直平分线方程为
4,
x2x
4.
又∵点
T
在
x轴上,设其坐标为
,,代入上式,得
x00
x0
y12
y22
2x1
又∵点Ax1,y1,Bx2,y2都在椭圆上,
∴y12925x1225
925
x22
∴y12
9x1x2x1x2.
将此式代入①,并利用x1x28的结论得
x04
36
kBT
典型例题五
例5已知椭圆x2
1,F1、F2为两焦点,问能否在椭圆上找一点
M,使M
到左准线l的距离MN是MF1与MF2的等比中项?
若存在,则求出点
M的坐
标;
若不存在,请说明理由.
假设M存在,设Mx1,y1,由已知条
件得
a2,b
3,∴c
1,e
1.
∵左准线l的方程是x
4,
∴MN
又由焦半径公式知:
MF1
1x1,
MF2
∵MN2MF1MF2,
∴x1
42
1x12
1x1.
整理得5x1232x1480.
解之得x1
或x1
12.
①
另一方面
2.
②
则①与②矛盾,所以满足条件的点M不存在.
(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.
(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.
(3)本例也可设M2cos,3sin存在,推出矛盾结论(读者自己完成).
典型例题六
例6已知椭圆
,求过点P
且被P平分的弦所在的直线方程.
分析一:
已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为
k,利用条件求k.
解法一:
设所求直线的斜率为k,则直线方程为y
kx
1.代入椭圆
方程,并整理得
12k2x2
2k2
2kx
1k2
k
0.
由韦达定理得x1
22
k.
2k
∵P是弦中点,∴x1
1.故得k
所以所求直线方程为
2x
4y
分析二:
设弦两端坐标为
x1,y1
、x2,y2,列关于x1、x2、y1、y2的方程
组,从而求斜率:
y1
解法二:
设过P
的直线与椭圆交于Ax1,y1
、Bx2,y2
,则由题意得
x12
③
1.
④
①-②得x12
⑤
将③、④代入⑤得y1
1,即直线的斜率为
所求直线方程为
30.
(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:
过定点且被定点平分的弦;
平行弦的中点轨迹;
过定点的弦中点轨迹.
(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.
(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:
“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.
典型例题七
例7求适合条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点2,6;
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为
6.
当方程有两种形式时,应分别求解,如(
1)题中由x2
求出
b2
148,b2
37,在得方程x2
1后,不能依此写出另一方程
1.
148
37
(1)设椭圆的标准方程为
x2
1或
b
21.
由已知a
2b
又过点2,6
,因此有
6
或
由①、②,得
148,b2
37或a2
52,b2
13.故所求的方程为
1或y2
52
13
(2)设方程为x2
1.由已知,c
3,b
3,所以a2
18.故所
求方程为x2
根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,
定参数”.关键在于
焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程
21
典型例题八
例8椭圆x2
1的右焦点为F,过点A1,3,点M在椭圆上,当
12
AM
2MF为最小值时,求点M的坐标.
本题的关键是求出离心率e
1,把2MF转化为M到右准线的距离,
从而得最小值.一般地,求
1MF均可用此法.
e
1,右准线
由已知:
a
4,c
2.所以e
l:
x
过A作AQ
l,垂足为Q,交椭圆于M,故
MQ
2MF.显然AM
2MF的最小值为AQ,
即M
为所求点,因此yM
3,且M在椭圆上.故
3.所以M2
3,3
本题关键在于未知式AM
2MF中的“2”的处理.事实上,如图,
e1,即MF是M到右准线的距离的一半,即图中的MQ,问题转化为求椭圆
上一点M,使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值.
典型例题九
例9求椭圆x2
1上的点到直线xy6
0的距离的最小值.
先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.
椭圆的参数方程为
3cos,
3cos,sin
ysin.
设椭圆上的点的坐标为
则点到直线的距离为
3cossin6
2sin
d
当
sin
1时,
最小值
22.
当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.
典型例题十
例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e
,已知点P0,
到这个椭圆上的点的最远距离是
7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点
P的
距离等于7的点的坐标.
本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求d的最大值时,要注意讨论b的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.
设所求椭圆的直角坐标方程是
,其中a
b0待定.
1b
由e2
c2
2可得
1e2
131,即a2b.
设椭圆上的点x,y到点P的距离是d,则
d2
a21
3y
4b
3y
其中
b.
如果b
1,则当y
b时,d2(从而d)有最大值.
1,与b
1矛盾.
由题设得
,由此得b
7
因此必有b
1成立,于是当y
时,d2(从而d)有最大值.
4b2
3,可得b
1,a
∴所求椭圆方程是x2
由y
及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点
3,1
,点
到
的距离是
7.
点P0,
根据题设条件,可取椭圆的参数方程是
acos,其中ab
0,
bsin
待定,0
为参数.
c2
a2b2
可得
由e
31,即a2b.
设椭圆上的点x,y
到点P
的距离为d,则
0,
a2cos2