《椭圆》方程典型例题20例含标准答案文档格式.docx

1、求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求 c ，再求比二是列含 a 和 c 的齐次方程，再化含 e 的方程，解方程即可典型例题三例 3已知中心在原点， 焦点在 x 轴上的椭圆与直线 xy 10交于 A、B两点，M 为 AB 中点， OM 的斜率为 0.25 ，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程由题意，设椭圆方程为x2y2a2x由，得 1 xMx1x2 12a2 ， yM1 xM1 2 ，kOMyM， axM x21为所求（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法； （ 2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四例4椭圆y上不同三点9与焦点

2、， 的25A x1，y1， B 4， C x2，y2F 4 05距离成等差数列（1）求证 x1 x28 ；（2）若线段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T ，求直线 BT 的斜率 k 证明：（1）由椭圆方程知 a， b3 ， c 4由圆锥曲线的统一定义知：AFc ，ex14 x1 同理CFx2 2BF ，且 BF18即8（2）因为线段 AC 的中点为y1，所以它的垂直平分线方程为4，x2 x4 又点T在x 轴上，设其坐标为， ，代入上式，得x0 0x0y12y222 x1又点 A x1，y1 ， B x2，y2 都在椭圆上，y12 9 25 x12 259 25x22 y129 x1 x

3、2 x1 x2 将此式代入，并利用 x1 x2 8 的结论得x0 436kBT典型例题五例 5 已知椭圆 x21 ， F1 、 F2 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M到左准线 l 的距离 MN 是 MF1 与 MF2 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由假设 M 存在，设 M x1， y1 ，由已知条件得a 2 ， b3 ， c1， e1 左准线 l 的方程是 x4 ， MN又由焦半径公式知：MF11 x1 ，MF2MN 2 MF1 MF2 ， x1421 x1 21 x1 整理得 5x12 32x1 48 0 解之得 x1或 x112 另一方面2则与矛盾，所以

4、满足条件的点 M 不存在（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判断（3）本例也可设 M 2cos ，3 sin 存在，推出矛盾结论（读者自己完成） 典型例题六例 6 已知椭圆，求过点 P且被 P 平分的弦所在的直线方程分析一： 已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求 k 解法一：设所求直线的斜率为 k ，则直线方程为 yk x1 代入椭圆方程，并整理得1 2k 2 x22k 22k x1 k 2k0 由韦达定理得 x122k 2k P 是弦中点， x11故得

5、 k所以所求直线方程为2x4 y分析二：设弦两端坐标为x1，y1、 x2， y2 ，列关于 x1 、 x2 、 y1 、 y2 的方程组，从而求斜率： y1解法二：设过 P的直线与椭圆交于 A x1， y1、 B x2，y2，则由题意得x121.得 x12将、代入得 y11 ，即直线的斜率为所求直线方程为3 0 （1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”有关二次曲线问题也适用典型例题七例 7 求适合条件

6、的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 2， 6 ；（2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6 当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由 x2求出b2148 ，b237 ，在得方程 x21后，不能依此写出另一方程114837（1）设椭圆的标准方程为x 21或b2 1 由已知 a2b又过点 2， 6，因此有6或由、，得148 ， b237 或 a252 ， b213 故所求的方程为1或 y 25213（2）设方程为 x 21由已知， c3， b3 ，所以 a218 故所求方程为 x2根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”关键在于焦点的位置

7、是否确定，若不能确定，应设方程21典型例题八例 8 椭圆 x21的右焦点为F ，过点 A1，3 ，点M 在椭圆上，当12AM2 MF 为最小值时，求点 M 的坐标本题的关键是求出离心率 e1 ，把 2 MF 转化为 M 到右准线的距离，从而得最小值一般地，求1 MF 均可用此法e1 ，右准线由已知： a4， c2 所以 el ： x过A作AQl ，垂足为 Q ，交椭圆于 M ，故MQ2 MF 显然 AM2 MF 的最小值为 AQ ，即 M为所求点，因此 yM3 ，且 M 在椭圆上故3所以 M 23，3本题关键在于未知式 AM2 MF 中的“ 2”的处理事实上，如图，e1 ，即 MF 是 M 到

8、右准线的距离的一半，即图中的 MQ ，问题转化为求椭圆上一点 M ，使 M 到 A 的距离与到右准线距离之和取最小值典型例题九例 9 求椭圆 x21 上的点到直线 x y 60 的距离的最小值先写出椭圆的参数方程， 由点到直线的距离建立三角函数关系式， 求出距离的最小值椭圆的参数方程为3 cos ，3 cos ，siny sin .设椭圆上的点的坐标为则点到直线的距离为3 cos sin 62 sind当sin1时，最小值2 2 当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程典型例题十例 10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 e，已知点 P 0，到这个椭圆上的点的最远距

9、离是7 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于 7 的点的坐标本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求 d 的最大值时，要注意讨论 b 的取值范围此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程， 要善于应用不等式、 平面几何、 三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力 设所求椭圆的直角坐标方程是，其中 ab 0 待定1 b由 e2c 22 可得1 e21 3 1 ，即 a 2b 设椭圆上的点 x，y 到点 P 的距离是 d ，则d 2a2 13 y4b3y其中b 如果 b1 ，则当 yb 时， d 2 （从而 d ）有最大值1 ，与 b1 矛盾由题设得，由此得 b7因此必有 b1 成立，于是当 y时， d 2 （从而 d ）有最大值4b23，可得 b1 ， a所求椭圆方程是 x2由 y及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点3， 1，点到的距离是7 点P 0，根据题设条件，可取椭圆的参数方程是a cos ，其中 a b0 ，b sin待定， 0为参数c2a 2 b2可得由 e3 1 ，即 a 2b 设椭圆上的点 x，y到点 P的距离为 d ，则0，a2 cos2