年全国高考数学试题及其解析.doc

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1981年全国高考数学试题及其解析

文史类

一．（本题满分6分）

设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：

1.A∪B,2.A∩B.

二．（本题满分8分）

化简：

三．（本题满分6分）

在A、B、C、D四位候选人中，

（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？

写出所有可能的选举结果：

（2）如果选举班委三人，共有几种选法？

写出所有可能的选举结果

四．（本题满分10分）

求函数f（x）=sinx+cosx在区间（-π，π）上的最大值

五．（本题满分10分）

写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明

六．（本题满10分）

已知正方形ABCD的相对顶点A（0，-1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标

七．（本题满分17分）

设1980年底我国人口以10亿计算

（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？

（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？

下列对数值可供选用：

lg1.0087=0.00377lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417

lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720

lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060

八．（本题满分15分）

ABCD-A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：

截面ACB1⊥对角面DBB1D1

九．（本题满分18分）

1．设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值

2．以本题

（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时，求P的坐标

理工农医类

一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:

（1）A∪B,

（2）A∩B.

二、在A、B、C、D四位候选人中,

（1）如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?

写出所有可能的选举结果;

（2）如果选举班委三人,共有几种选法?

写出所有可能的选举结果.

三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.

四、写出余弦定理（只写一个公式即可）,并加以证明.

五、解不等式（x为未知数）:

六、用数学归纳法证明等式

对一切自然数n都成立.

七、设1980年底我国人口以10亿计算.

（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?

（2）要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?

下列对数值可供选用:

lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417

lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720

lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060

八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.

（1）求直线AB和棱a所成的角;

（2）求直线AB和平面Q所成的角.

（1）过点A（2,1）的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.

（2）过点B（1,1）能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?

这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.

十、附加题:

计入总分.

已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1（如图）.

设AC=a,BC=b,作数列

U1=a-b,

U2=a2-ab+b2,

u3=a3-a2b+ab2-b3,

……,

Uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+（-1）kbk;

求证:

un=un-1+un-2（n≥3）.

文史类参考答案及解析

一、解：

1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ

二、解：

原式=

三、解：

1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：

AB、AC、AD、BC、BD、CD、

BA、CA、DA、CB、DB、DC

2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：

ABC、ABD、ACD、BCD

四、解：

五、答：

证：

引AD垂直BC于D;引BE垂直CA的延长线于E

设△ABC的面积为S，则

将上式除以得：

六、解：

设AC中点为M（x,y）,则有

又设AC斜率为k，则k=3因此得BD的斜率为

故有直线BD的方程：

又以M点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为

解方程

（1）、

（2）得B、D的坐标为（4，1）及（-2，3）

（注：

用复数法解亦可）

七、解：

1.所求人口数x（亿）是等比数列

10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即

x=10×（1.02）20,

两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,

∴x=14.859（亿）

2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得

10×（1+y%）20≤12，

（1+y%）20≤1.2.

根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得

20lg（1+y%）≤lg1.2.

即lg（1+y%）≤0.00396.

∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.

答：

略

八、证：

设AC、BD交于O点

作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1的图形由于AC1是正四棱柱，所以ABCD是正方形，故AC⊥BD;又BB1⊥底面ABCD，故BB1⊥AC∴AC⊥对角面BB1D1D

已知AC在截面ACB1内，故有

截面ACB1⊥对角面BB1D1D

九、解：

设直线与抛物线的交点为

P1（x1,y1）,P2（x2,y2）.解方程组：

2．设x轴上一点P的坐标为（,0）又点P到直线P1P2的距离为h，则有

依题意得△PP1P2的面积关系：

则P（5,0）或P（-1,0）

理工农医类参考答案

一、解:

（1）A∪B={实数}.（或A∪B=R,或A∪B=实数集合.）

（2）A∩B=.（或A∩B={},或A∩B=空集.）

二、解:

所有可能的选举结果:

（把正班长、副班长按次序来写）

AB,AC,AD,BC,BD,CD,

BA,CA,DA,CB,DB,DC.

所有可能的选举结果:

ABC,ABD,ACD,BCD.

三、解:

（1）必要条件

（2）充分条件

（3）充分条件

（4）充要条件

四、公式:

设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.

证法一:

平面几何证法.

如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得

a2=CD2+DB2

=（bsinA）2+（c-bcosA）2

=b2+c2-2bccosA.

如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得

a2=CD2+BD2

=[bsin（180°-A）]2+[c+bcos（180°-A）]2

=b2+c2-2bccosA.

如果∠A是直角,cosA=0,

∴ a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.

证法二:

解析几何证法

以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得

A（0,0）,B（c,0）,C（bcosA,bsinA）.

由两点间的距离公式得

a2=│BC│2=（c-bcosA）2+（-bsinA）2

=b2+c2-2bccosA.

五、解:

原行列式可逐步简化如下:

故原不等式为

x2（x-a-b-c）>0.

原不等式的解是

x≠0,x>a+b+c.

所以当n=1时等式成立.

（ii）假设当n=k时等式成立,即

所以当n=k+1时等式也成立.

根据（i）和（ii）,就证明了对于一切自然数n等式都成立.

七、解:

（1）所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2,……的第21项,即

x=10×（1.02）20,

两边取对数,得

lgx=1+20lg1.02=1.17200,

∴ x=14.859（亿）.

答:

到2000年底我国人口将达到14.859亿.

（2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得

10×（1+y%）20≤12,

即 （1+y%）20≤1.2.

根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得

20lg（1+y%）≤lg1.2.

即 lg（1+y%）≤0.00396.

∴ 1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.

答:

每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.

八、解:

（1）在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.

∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,

∴∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,

∴CD=BE=4.

连结AC,由余弦定理得

又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.

答:

直线AB和棱a所成的角等于

（2）在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,

连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以

答:

直线AB和平面Q所成的角为

九、解法一:

（1）设直线l的方程为

y=k（x-2）+1, （i）

将（i）式代入双曲线方程,得

（2-k2）x2+（4k2-2k）x-4k2+4k-3=0, （ii）

到此,若指出所求轨迹的参数方程是

这就是所要求的轨迹方程.

（2）设所求直线方程为y=k（x-1）+1,代入双曲线方程,整理得

（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0, （iii）

由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以（Ⅰ）无解.

答:

满足题中条件的直线m不存在.

解法二:

（1）设l的参数方程为

其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得:

（2cos2θ-sin2θ）t2+2（4cosθ-sinθ）t+5=0.（v）

（2）也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.

十、证法一:

通项公式可写为

uk=ak-ak-1b+ak-2b2-…+（-1）kbk

因 a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,

ab=AC·BC=CD2=1.

于是有

证法二:

由平面几何知识算出

通项公式可写为

要证un=un-1+un-2成立,只要证明

an+1-（-1）n+1bn+1=an-（-1）nbn+an-1-（-1）n-1bn-1,

即

an-1·a2-（-1）n-1bn-1·b2=an-1·a+（-1）n-1bn-1·b+an-1-（-1）n-1bn-1,

或

或

上式确是等式,故证得

un=un-1+un-2.