二次函数的综合应用专题培优能力提升复习讲义.docx

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二次函数的综合应用专题培优能力提升复习讲义

二次函数的综合应用——专题培优、能力提升复习讲义

类型一　由某一函数的图象确定其他函数图象的位置

1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）

类型二　由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值

1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A．a＞0B．c＜0

C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小

2．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：

①abc＜0；②＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－.其中正确结论的序号是____________.

类型三　没有限定自变量的范围求最值

1．函数y＝－（x＋1）2＋5的最大值为_______.

2．已知函数y＝x（2－3x），当x为何值时，函数有最大值还是最小值？

并求出最值．

类型四　限定自变量的取值范围求最值

1．函数y＝x2＋2x－3（－2≤x≤2）的最大值和最小值分别是（）

A．4和－3B．－3和－4C．5和－4D．－1和－4

2．二次函数y＝－x2＋x＋2的图象如图所示，当－1≤x≤0时，该函数的最大值是（）

A．3.125B．4C．2D．0

3．已知0≤x≤，则函数y＝x2＋x＋1（）

A．有最小值，但无最大值B．有最小值，有最大值1

C．有最小值1，有最大值D．无最小值，也无最大值

类型五　限定自变量的取值范围求函数值的范围

1．从y＝2x2－3的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是（）

A．－1≤y≤5B．－5≤y≤5C．－3≤y≤5D．－2≤y≤1

2．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是（）

A．y≥3B．y≤3C．y＞3D．y＜3

类型六　已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值

1．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为（）

A．－2B．1C．2D．9

2．已知y＝－x（x＋3－a）＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）

A．a＝9B．a＝5C．a≤9D．a≤5

3．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝（a＋b）x2＋（a＋b）x－（a－b）的最小值为－，则∠A＝_______度．

4．已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．

类型七　抛物线的平移

1．要将抛物线y＝x2＋2x＋3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是（　　）

A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位

2．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2＋1，则原抛物线的解析式不可能的是（　　）

A．y＝x2－1B．y＝x2＋6x＋5

C．y＝x2＋4x＋4D．y＝x2＋8x＋17

类型八　抛物线的对称

1．抛物线y＝ax2＋2ax＋a2＋2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（　　）

A．（，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（3，0）

2．已知二次函数y＝2x2＋9x＋34，当自变量x取两个不同的值x1、x2时，函数值相等，则当自变量x取x1＋x2时的函数值与（　　）

A．x＝1时的函数值相等B．x＝0时的函数值相等

C．x＝时的函数值相等D．x＝－时的函数值相等

3．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________（用含a的式子表示）．

4．已知抛物线p：

y＝ax2＋bx＋c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，则这条抛物线的解析式为________________．

5．如图，已知抛物线C1：

y＝a1x2＋b1x＋c1和C2：

y＝a2x2＋b2x＋c2都经过原点，顶点分别为A、B，与x轴的另一交点分别为M、N.如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线．请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是________________和________________．

类型九　二次函数与三角形的综合

（一）全等三角形的存在性问题

1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点（1，－4）和（－2，5），请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？

若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．

（二）线段（或周长）的最值问题及等腰三角形的存在性问题

2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；

（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

类型十　二次函数与平行四边形的综合

1．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．如图，抛物线y＝x2＋x－与x轴相交于A，B两点，顶点为P.

（1）求点A，B的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？

若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？

直接写出所有符合条件的点F的坐标．

类型十一　二次函数与矩形、菱形、正方形的综合

1．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为________.

2．如图，抛物线y＝ax2－x－与x轴正半轴交于点A（3，0）．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF.则a＝，点E的坐标是_________________．

3．如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，－4）．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；

（3）当

（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．

4．正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点．

（1）建立适当的平面直角坐标系，

①直接写出O，P，A三点的坐标；

②求抛物线l的解析式；

（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．

类型十二、压轴题拔高精选

探究点一：

因动点产生的平行四边形的问题

例1:

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．

求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。

解：

（1）设此抛物线的函数解析式为：

y=ax2+bx+c（a≠0），

将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得：

解得，所以此函数解析式为：

y=x2+x−4；

（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，∴M点的坐标为：

（m，m2+m−4），

∴S=S△AOM+S△OBM-S△AOB=×4×（-m2-m+4）+×4×（-m）-×4×4=-m2-2m+8-2m-8

=-m2-4m=-（m+2）2+4，∵-4＜m＜0，当m=-2时，S有最大值为：

S=-4+8=4．答：

m=-2时S有最大值S=4．

（3）设P（x，x2+x-4）．

当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，

又∵直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）．由PQ=OB，得|-x-（x2+x-4）|=4，

解得x=0，-4，-2±2．x=0不合题意，舍去．如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．

由此可得Q（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2）或（4，-4）．

探究点二：

因动点产生的等腰三角形的问题

例2:

如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？

若存在．请求出点P的坐标）；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

解：

（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，，解得：

b=-4，c=3，

∴二次函数的表达式为：

y=x2-4x+3；

（2）令y=0，则x2-4x+3=0，解得：

x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，

点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：

如图1，

①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC-OC=3-3

∴P1（0，3+3），P2（0，3-3）；

②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3，

∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：

（0，3+3）或（0，3-3）或（0，-3）或（0，0）；

（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2-t，则DN=2t，∴S△MNB=×（2-t）×2t=-t2+2t=-（t-1）2+1，

即当M（2，0）、N（2，2）或（2，-2）时△MNB面积最大，最大面积是1